# 累积分布函数 (Cumulative Distribution Function)
累积分布函数 (Cumulative Distribution Function, 简称 CDF)，在{{{概率论}}}和{{{统计学}}}中，是一个用于描述{{{随机变量}}} $X$ 的概率分布的函数。对于任意实数 $x$，CDF的值定义为随机变量 $X$ 取值小于或等于 $x$ 的{{{概率}}}。其标准数学表示为 $F_X(x)$。
CDF的核心思想是“累积”，它提供了从负无穷到某个特定点的概率总和。因此，它也被称为 分布函数。理解CDF对于掌握随机变量的特性、计算概率以及进行统计推断至关重要。
## 形式化定义
设 $X$ 是一个定义在某个{{{概率空间}}}上的随机变量。其累积分布函数 $F_X: \mathbb{R} \to [0, 1]$ 定义为： $$ F_X(x) = P(X \le x) $$ 其中，$P(X \le x)$ 表示随机变量 $X$ 的取值不大于实数 $x$ 的概率。
根据随机变量的类型，CDF的具体计算方式有所不同：
一. {{{离散随机变量}}} (Discrete Random Variable) 如果 $X$ 是一个离散随机变量，其可能的取值为 $x_1, x_2, \ldots$。其{{{概率质量函数}}} (Probability Mass Function, PMF)为 $p(x_i) = P(X=x_i)$。那么，它的CDF是所有小于等于 $x$ 的可能取值的概率之和： $$ F_X(x) = \sum_{x_i \le x} P(X=x_i) = \sum_{x_i \le x} p(x_i) $$ 离散随机变量的CDF是一个阶梯函数（step function），在每个可能的取值点 $x_i$ 处发生跳跃，跳跃的高度等于 $P(X=x_i)$。
二. {{{连续随机变量}}} (Continuous Random Variable) 如果 $X$ 是一个连续随机变量，其{{{概率密度函数}}} (Probability Density Function, PDF)为 $f_X(t)$。那么，它的CDF是其PDF从负无穷到 $x$ 的{{{积分}}}： $$ F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt $$ 连续随机变量的CDF是一个连续且非递减的函数。
## CDF的基本性质
任何一个合法的CDF，无论其对应的随机变量是离散的、连续的还是混合的，都必须满足以下三个基本性质：
1. 非递减性 (Non-decreasing) 对于任意两个实数 $x_1$ 和 $x_2$，如果 $x_1 \le x_2$，那么必然有 $F_X(x_1) \le F_X(x_2)$。 讲义解释：这个性质源于概率的非负性。从 $x_1$ 到 $x_2$ 的区间 $(x_1, x_2]$ 的概率是 $P(x_1 < X \le x_2) = F_X(x_2) - F_X(x_1)$。由于概率不能为负，所以 $F_X(x_2) - F_X(x_1) \ge 0$，即 $F_X(x_2) \ge F_X(x_1)$。随着 $x$ 的增加，我们是在累积更多的概率，所以函数值只能增加或保持不变。
2. 极限行为 (Limiting Behavior) CDF在正负无穷处的极限分别为： $$ \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 $$ $$ \lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1 $$ 讲义解释：当 $x$ 趋向负无穷时，$X \le x$ 是一个几乎不可能发生的事件，其概率为0。当 $x$ 趋向正无穷时，$X \le x$ 包含了所有可能的取值，是一个必然事件，其总概率为1。
3. 右连续性 (Right-continuity) CDF在任何点 $x$ 都是右连续的，即： $$ \lim_{h \to 0^+} F_X(x+h) = F_X(x) $$ 讲义解释：这意味着当你从一个点 $x$ 的右侧无限逼近它时，函数的极限值等于该点的函数值。对于离散随机变量，这表现为在跳跃点处，函数值等于阶梯较高处的值。
## 与PDF/PMF的关系
CDF与PDF（连续情况）或PMF（离散情况）是描述同一概率分布的两种不同方式，它们可以相互转换。
* 从 PDF/PMF 到 CDF：如定义所示，通过积分（连续）或求和（离散）可以得到CDF。
* 从 CDF 到 PDF/PMF： * 对于连续随机变量，其PDF是CDF的{{{导数}}}（在CDF可导的点上）： $$ f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x) $$ * 对于离散随机变量，其PMF可以通过计算CDF在相邻可能取值点上的差值得到。假设 $x_i$ 是一个可能的取值，则： $$ p(x_i) = P(X=x_i) = F_X(x_i) - \lim_{h \to 0^+} F_X(x_i - h) = F_X(x_i) - F_X(x_{i-1}) $$ 这里的 $F_X(x_{i-1})$ 是在 $x_i$ 之前的那个可能取值点的CDF值。跳跃的高度即为该点的概率。
## 示例
#### 示例1：离散随机变量（公平的六面骰子）
考虑投掷一个公平的六面骰子，随机变量 $X$ 表示掷出的点数。$X$ 的可能取值为 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，每个取值的概率（PMF）为 $p(x) = 1/6$。
其CDF $F_X(x) = P(X \le x)$ 的计算如下： * 如果 $x < 1$, $F_X(x) = P(X \le x) = 0$。 * 如果 $1 \le x < 2$, $F_X(x) = P(X \le x) = P(X=1) = 1/6$。 * 如果 $2 \le x < 3$, $F_X(x) = P(X=1) + P(X=2) = 1/6 + 1/6 = 2/6$。 * 如果 $3 \le x < 4$, $F_X(x) = 3/6$。 * 如果 $4 \le x < 5$, $F_X(x) = 4/6$。 * 如果 $5 \le x < 6$, $F_X(x) = 5/6$。 * 如果 $x \ge 6$, $F_X(x) = P(X=1) + \ldots + P(X=6) = 6/6 = 1$。
这是一个典型的阶梯函数，在 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 各点处向上跳跃了 $1/6$。
#### 示例2：连续随机变量（{{{均匀分布}}}）
考虑一个服从区间 $[a, b]$ 上{{{均匀分布}}}的随机变量 $X$。其PDF为： $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{if } a \le x \le b \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ 我们可以通过积分得到其CDF $F_X(x)$： * 对于 $x < a$： $$ F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0 $$ * 对于 $a \le x \le b$： $$ F_X(x) = \int_{-\infty}^{a} 0 \, dt + \int_{a}^{x} \frac{1}{b-a} \, dt = 0 + \left[ \frac{t}{b-a} \right]_{a}^{x} = \frac{x-a}{b-a} $$ * 对于 $x > b$： $$ F_X(x) = \int_{-\infty}^{a} 0 \, dt + \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} \, dt + \int_{b}^{x} 0 \, dt = 0 + 1 + 0 = 1 $$
综上，均匀分布的CDF是一个从0线性增长到1的函数。
## 应用
CDF在理论和应用中都极为重要：
1. 计算概率：CDF最直接的应用是计算随机变量落在某个区间的概率。 $$ P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a) $$ 对于连续变量，由于单点概率为0，所以 $P(a < X < b) = P(a \le X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$。但对于离散变量，必须小心处理边界点。
2. 定义{{{分位数}}} (Quantiles)：{{{分位数函数}}}（或百分点函数）是CDF的{{{反函数}}}，$Q(p) = F_X^{-1}(p)$。它回答了这样一个问题：“哪个值 $x$ 使得随机变量小于或等于它的概率为 $p$？”。中位数就是 $p=0.5$ 时的分位数。这在金融中的{{{风险价值 (Value at Risk, VaR)}}}计算中至关重要。
3. 生成随机数：在{{{蒙特卡洛模拟}}}中，CDF被用于{{{逆变换采样法}}} (Inverse Transform Sampling)。通过在 $[0, 1]$ 区间上生成一个均匀分布的随机数 $u$，然后计算 $x = F_X^{-1}(u)$，就可以得到一个服从所需分布 $F_X$ 的随机数 $x$。
4. 统计检验：一些{{{非参数检验}}}方法，如{{{柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验}}} (Kolmogorov-Smirnov Test)，直接比较两个样本的{{{经验分布函数}}} (Empirical Distribution Function, ECF)，ECDF是真实CDF的一个样本估计，从而判断它们是否来自同一分布。