# 微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)
微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus, FTC) 是{{{calculus}}}理论的基石，它以一种精确而优美的方式揭示了{{{微观}}}变化率（{{{导数}}}）与{{{宏观}}}累积量（{{{积分}}}）之间深刻的内在联系。该定理将{{{微分学}}} (Differential Calculus) 与{{{积分学}}} (Integral Calculus) 这两个看似独立的分支统一起来，是数学史上最重要的成就之一。
该定理通常分为两个相辅相成的部分，即 第一基本定理 和 第二基本定理。（注意：不同教材对“第一”和“第二”的称呼可能相反，但其数学内容是相同的。）这个定理的发现，主要归功于17世纪的数学家{{{Isaac Newton}}}和{{{Gottfried Wilhelm Leibniz}}}，他们的独立工作奠定了现代微积分的理论基础。
## 第一部分：第一基本定理 (FTC1)
第一基本定理阐述了变上限积分函数的求导法则，本质上说明了{{{微分}}}运算是{{{积分}}}运算的逆运算。
### 定理陈述
假设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是一个{{{连续函数}}}。我们可以定义一个新的函数 $F(x)$，它表示从起点 $a$ 到任意点 $x$ 之间，函数曲线 $y=f(t)$ 与坐标轴所围成的有向面积。这个函数被称为 变上限积分函数 (area-so-far function)。
$$ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \quad \text{其中 } x \in [a, b] $$
那么，函数 $F(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上是可微的，并且其导数恰好就是 $f(x)$。
$$ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = f(x) $$
### 原理与直观理解
我们可以将 $F(x)$ 理解为一个“面积累积”的过程。当变量 $x$ 增加一个微小的量 $\Delta x$ 时，面积 $F$ 也会相应地增加一个微小的量 $\Delta F$。
$\Delta F = F(x+\Delta x) - F(x) = \int_x^{x+\Delta x} f(t) \, dt$
这个增量 $\Delta F$ 的值是在区间 $[x, x+\Delta x]$ 上曲线 $y=f(t)$ 下方的狭长区域的面积。由于 $\Delta x$ 非常小，函数 $f(t)$ 在这个小区间内的值可以近似地看作常量 $f(x)$。因此，这块狭长区域的面积可以近似为一个矩形的面积：
$$ \Delta F \approx f(x) \cdot \Delta x $$
两边同时除以 $\Delta x$，我们就得到了面积变化的平均速率：
$$ \frac{\Delta F}{\Delta x} \approx f(x) $$
当我们取极限，让 $\Delta x \to 0$ 时，这个近似就变成了精确的相等关系。左边变为 $F(x)$ 的{{{导数}}}定义，而右边仍然是 $f(x)$。
$$ F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta F}{\Delta x} = f(x) $$
这个结论的直观意义是：在某一点，面积函数 $F(x)$ 的瞬时变化率，等于被积函数 $f(x)$ 在该点的高度。换句话说，对一个函数进行积分（累积），然后再进行微分（求变化率），会回到原来的函数。
### 意义
1. 保证了反导数的存在性：FTC1证明了任何一个{{{连续函数}}}都必然存在一个{{{反导数}}}（或称原函数），这个反导数就是它的变上限积分函数。 2. 揭示了微积分的逆运算关系：它从理论上确立了微分与积分是一对互逆的运算。
## 第二部分：第二基本定理 (FTC2)
第二基本定理提供了一种计算{{{定积分}}} (Definite Integral) 的强大而实用的方法，因此也被称为 牛顿-莱布尼茨公式 (Newton-Leibniz formula)。它将计算一个复杂的面积问题，转化为寻找一个函数的反导数并进行简单的代数运算。
### 定理陈述
假设函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，并且 $F$ 是 $f$ 在该区间上的 任意一个 {{{反导数}}} (Antiderivative)，即 $F'(x) = f(x)$。那么：
$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$
表达式 $F(b) - F(a)$ 通常被简记为 $[F(x)]_a^b$ 或 $F(x) \Big|_a^b$。
### 原理与证明概要 (基于FTC1)
我们可以基于第一基本定理来理解第二基本定理。
1. 根据FTC1，我们知道函数 $G(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 是 $f(x)$ 的一个反导数。 2. 我们又已知 $F(x)$ 也是 $f(x)$ 的一个反导数。 3. 根据导数理论，如果两个函数的导数相同，那么它们之间必然只相差一个常数。因此，存在一个常数 $C$，使得：$F(x) = G(x) + C$。 4. 现在，我们来计算 $F(b) - F(a)$： $$ F(b) - F(a) = (G(b) + C) - (G(a) + C) = G(b) - G(a) $$ 5. 根据 $G(x)$ 的定义，我们有： * $G(b) = \int_a^b f(t) \, dt$ * $G(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0$ (从点 $a$ 到点 $a$ 的积分为零) 6. 将上述结果代入第4步，即可得到： $$ F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) \, dt - 0 = \int_a^b f(x) \, dx $$ (积分变量用 $t$ 或 $x$ 均可，不影响结果)
### 意义
1. 强大的计算工具：FTC2是计算定积分最核心的方法。它使得我们无需通过复杂的{{{黎曼和}}} (Riemann Sums) 求极限来计算面积，而是通过寻找反导数来解决问题，极大地简化了计算。 2. 连接宏观与微观：这个公式表明，一个量在某个区间上的总变化量（宏观累积，即定积分 $\int_a^b f(x) dx$），等于其变化率（微观瞬时变化，即反导数 $F$）在区间端点值的差。例如，对速度函数进行积分，得到的是位移的变化量。
## 学习应用示例
### 示例 1: 应用第一基本定理 (FTC1)
求函数 $g(x) = \int_2^x \sqrt{1+t^2} \, dt$ 的导数。
解：根据第一基本定理，被积函数是 $f(t) = \sqrt{1+t^2}$。变上限积分的导数就是被积函数在上限 $x$ 处的取值。因此， $$ g'(x) = \sqrt{1+x^2} $$ 这是一个直接应用，无需计算积分本身。
### 示例 2: 应用第一基本定理与链式法则
求函数 $h(x) = \int_0^{x^2} \cos(t) \, dt$ 的导数。
解：这里的上限不是 $x$，而是 $x^2$。我们需要结合使用{{{链式法则}}} (Chain Rule)。 令 $u = x^2$。则 $h(x) = \int_0^{u} \cos(t) \, dt$。 根据链式法则，$\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。 根据FTC1, $\frac{dh}{du} = \cos(u)$。 同时，$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。 因此， $$ h'(x) = \cos(u) \cdot 2x = \cos(x^2) \cdot 2x $$
### 示例 3: 应用第二基本定理 (FTC2)
计算定积分 $\int_1^2 x^2 \, dx$。
解： 1. 找到反导数：首先，我们需要找到被积函数 $f(x) = x^2$ 的一个反导数。根据幂函数的求导法则，我们知道 $F(x) = \frac{1}{3}x^3$ 是一个反导数，因为 $F'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{3}x^3) = x^2$。 2. 应用公式：根据第二基本定理，$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $。 $$ \int_1^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_1^2 = F(2) - F(1) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{1}{3}(1)^3 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $$ 这个结果表示函数 $y=x^2$ 的曲线在 $x=1$到 $x=2$之间与x轴围成的面积为 $\frac{7}{3}$。