词条：统计功效 · 卓越的经济金融统计考研辅导

# 统计功效 (Statistical Power)

统计功效 (Statistical Power)，或简称为功效，是在{{{假设检验}}} (Hypothesis Testing) 框架下的一个核心概念。它被定义为：当{{{备择假设}}} ($H_1$) 为真时，我们能够正确地拒绝{{{原假设}}} ($H_0$) 的概率。通俗地说，统计功效衡量的是一个研究或一项检验“侦测”到一个真实存在效应的能力。

一个高功效的研究有很大概率能发现一个真实存在的效应，而一个低功效的研究则很可能错过它，即便该效应确实存在。因此，理解和计算统计功效对于研究设计、结果解释以及科学推断的有效性至关重要。

## 正式定义与相关的错误类型

在假设检验中，我们从两个相互对立的假设开始：

* {{{原假设}}} ($H_0$)：通常是我们希望推翻的假设，代表“没有效应”或“没有差异”（例如，新药与安慰剂效果相同）。 * {{{备择假设}}} ($H_1$ 或 $H_a$)：是我们希望证明其为真的假设，代表“存在效应”或“存在差异”（例如，新药比安慰剂更有效）。

在根据样本数据做出推断时，我们可能会犯两种错误：

1. {{{第一类错误}}} (Type I Error)：错误地拒绝了实际为真的原假设 ($H_0$)。这个错误的概率用 $\alpha$ 表示，即{{{显著性水平}}} (Significance Level)。例如，我们得出结论说新药有效，但实际上它无效。这也被称为“假阳性”(False Positive)。

2. {{{第二类错误}}} (Type II Error)：错误地未能拒绝实际为假的原假设 ($H_0$)。这个错误的概率用 $\beta$ 表示。例如，新药实际上是有效的，但我们的研究未能检测出这一效果，因此没能拒绝“新药无效”的原假设。这也被称为“假阴性”(False Negative)。

统计功效正是与第二类错误直接相关的概念。它是我们避免犯第二类错误的概率。其数学关系式为：

$$ \text{Power} = 1 - \beta $$

这意味着，如果一个研究犯第二类错误的概率 ($\beta$) 是 20% (即 0.2)，那么该研究的统计功效就是 80% (即 0.8)。下面这个表格清晰地展示了这四种可能性：

## 影响统计功效的决定性因素

统计功效不是一个固定的值，它受到研究设计中多个因素的共同影响。理解这些因素是进行{{{先验功效分析}}} (A Priori Power Analysis) 的基础。

1. {{{效应大小}}} (Effect Size) 效应大小是衡量现象强度或变量之间关系强度的{{{标准化}}}指标。一个大的效应（例如，一种能将恢复时间减半的药物）比一个小的效应（例如，仅将恢复时间缩短1%的药物）更容易被检测到。效应越大，统计功效越高。效应大小的常用指标包括科恩的 $d$ (Cohen's d)、相关系数 $r$ 或 $R^2$ 等。

2. {{{样本量}}} ($n$) 这是研究者最常用来提高功效的手段。样本量越大，{{{抽样误差}}} (Sampling Error) 就越小，样本统计量（如{{{样本均值}}}）就越能精确地代表{{{总体参数}}}（如{{{总体均值}}}）。这使得从数据“噪音”中分辨出真实“信号”（即效应）变得更容易。样本量越大，统计功效越高。

3. {{{显著性水平}}} ($\alpha$) 显著性水平 $\alpha$ 是我们愿意承担的第一类错误的风险上限（通常设定为 0.05 或 0.01）。如果我们放宽这个标准（例如，将 $\alpha$ 从 0.05 提高到 0.10），我们拒绝原假设的门槛就降低了，这使得我们更容易检测到效应，从而提高了功效。然而，这是一个权衡：提高 $\alpha$ 会提高功效，但同时也会增加犯第一类错误的风险。

4. 数据的变异性 (Variability) 数据的内在变异性，通常用{{{标准差}}} ($\sigma$) 来衡量，对功效有显著影响。如果数据点非常分散（高变异性），真实的效应就可能被随机“噪音”所掩盖。相反，如果数据点非常集中（低变异性），即使是微小的效应也更容易显现出来。数据的变异性越低，统计功效越高。在实验设计中，可以通过使用更精确的测量工具或控制无关变量来降低变异性。

5. 单尾检验与双尾检验 (One-tailed vs. Two-tailed Test) 如果研究者有充分的理论依据预测效应的方向（例如，新药只会更好，不会更差），可以使用{{{单尾检验}}}。在相同的显著性水平 $\alpha$ 下，单尾检验将所有的拒绝域都放在分布的一侧，这使得它在检测该方向的效应时比{{{双尾检验}}}更具功效。

## 为什么统计功效至关重要？

1. 研究设计与资源配置 在进行研究之前，研究者应进行先验功效分析 (A Priori Power Analysis) 来估算所需的最小样本量。这可以确保研究有合理的机会检测到预期的效应，避免因样本量不足（即研究功效过低）而浪费时间、金钱和人力资源。一项从设计上就功效不足的研究是不符合{{{研究伦理}}}的，因为它无法对科学问题给出有意义的回答。

2. 结果的正确解释 统计功效对于解读“不显著”的研究结果（即{{{p值}}}大于 $\alpha$）至关重要。 * 如果一项高功效的研究未能发现显著效应，我们有较强的信心认为，该效应在现实中可能确实不存在或非常微小，可以忽略不计。 * 然而，如果一项低功效的研究未能发现显著效应，这个结果是模棱两可的。我们无法区分“确实没有效应”和“研究只是因为功效不足而未能检测到效应”这两种情况。这正是所谓的“证据的缺席不等于缺席的证据” (Absence of evidence is not evidence of absence)。

3. {{{可重复性危机}}} (Replication Crisis) 在心理学、医学等许多领域，普遍存在的低统计功效被认为是导致“可重复性危机”的一个主要原因。功效不足的研究不仅更容易产生假阴性（第二类错误），而且当它们侥幸获得统计显著的结果时，这些结果也更有可能是假阳性（第一类错误），或者其报告的效应大小会被严重夸大。提高研究的统计功效是增强科学发现稳健性和可信度的关键一步。

## 功效分析的实践

在实践中，功效分析通常在研究开始前进行，目的是为了确定样本量。为此，研究者需要设定以下四个量中的三个，以计算第四个：

1. 统计功效 ($1-\beta$)：通常追求的目标是 0.80 或更高。这是由学者[[雅各布·科恩]]提出的一个广泛接受的惯例，意味着研究者愿意接受 20% 的第二类错误风险。 2. 显著性水平 ($\alpha$)：通常设定为 0.05。 3. 效应大小 (Effect Size)：可以基于先前的研究、领域知识或所关心的最小实际效应来估计。 4. 样本量 ($n$)：通常是功效分析中需要求解的未知数。

研究者可以使用专门的软件（如 G*Power）或编程语言中的包（如 R 语言的 `pwr` 包）来执行这些计算。