# 驻点 (Stationary Point)
在{{{微积分学}}}和{{{数学分析}}}中，驻点 (Stationary Point) 是{{{可微函数}}}（Differentiable Function）理论中的一个基本概念。对于一个实值函数，其驻点是指函数上某一点，该点的{{{导数}}}为零。从几何直观上看，这意味着函数在这一点的{{{切线}}}是水平的。
驻点是理解函数行为和解决{{{最优化}}}问题（Optimization Problems）的关键。寻找驻点是确定函数{{{极值}}}（Extrema），即{{{局部极大值}}}（Local Maximum）和{{{局部极小值}}}（Local Minimum）的第一步，这在{{{经济学}}}、{{{金融学}}}、{{{统计学}}}和工程学中有着广泛的应用。
## 定义
### 单变量函数
对于一个单变量的可微函数 $f(x)$，如果点 $x_0$ 满足： $$ f'(x_0) = \frac{df}{dx}\bigg|_{x=x_0} = 0 $$ 那么，$x_0$ 就是函数 $f(x)$ 的一个驻点。在函数图像上，点 $(x_0, f(x_0))$ 也是一个驻点。
### 多变量函数
对于一个多变量的可微函数 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，如果点 $\mathbf{x}_0 = (x_{1,0}, x_{2,0}, \ldots, x_{n,0})$ 满足其{{{梯度}}}（Gradient）为零向量，即： $$ \nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0} $$ 那么，$\mathbf{x}_0$ 就是函数 $f(\mathbf{x})$ 的一个驻点。这等价于函数在该点的所有{{{偏导数}}}（Partial Derivatives）都为零： $$ \frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0) = 0, \quad \frac{\partial f}{\partial x_2}(\mathbf{x}_0) = 0, \quad \ldots, \quad \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0) = 0 $$
## 驻点的分类
驻点标志着函数的变化率在该点为零，但它本身并不告诉我们该点是函数的“峰顶”、“谷底”还是其他形态。为了确定驻点的性质，我们需要对其进行分类。主要有以下三种类型：
1. 局部极大值 (Local Maximum)：函数在该点的值大于或等于其邻近所有点的值。函数在经过此点时，从{{{增函数}}}变为{{{减函数}}}。 2. 局部极小值 (Local Minimum)：函数在该点的值小于或等于其邻近所有点的值。函数在经过此点时，从{{{减函数}}}变为{{{增函数}}}。 3. 鞍点 (Saddle Point)：该点是一个驻点，但既不是局部极大值也不是局部极小值。 * 对于单变量函数，这通常是一个水平{{{拐点}}} (Horizontal Inflection Point)。例如，函数在经过此点前后，均为增函数或均为减函数。 * 对于多变量函数，该点在某个方向上是极大值，而在另一个方向上是极小值，形状如同马鞍。
## 判断驻点类型的检验方法
找到驻点（即解 $f'(\mathbf{x})=0$）后，我们需要使用进一步的检验来判别其类型。
### 一阶导数检验 (First Derivative Test)
此方法主要用于单变量函数 $f(x)$，通过考察驻点 $x_0$ 两侧导数 $f'(x)$ 的符号来判断。
* 如果导数 $f'(x)$ 在 $x_0$ 左侧为正（$f'(x)>0$），在右侧为负（$f'(x)<0$），则 $f(x_0)$ 是一个局部极大值。 * 如果导数 $f'(x)$ 在 $x_0$ 左侧为负（$f'(x)<0$），在右侧为正（$f'(x)>0$），则 $f(x_0)$ 是一个局部极小值。 * 如果导数 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧的符号不改变（例如，均为正或均为负），则 $x_0$ 是一个水平拐点。 * 示例：考虑函数 $f(x) = x^3$。其导数为 $f'(x) = 3x^2$。令 $f'(x) = 0$，得到驻点 $x_0 = 0$。在 $x=0$ 的左侧（如 $x=-1$），$f'(-1)=3>0$；在右侧（如 $x=1$），$f'(1)=3>0$。导数符号未变，因此 $(0,0)$ 是一个水平拐点。
### 二阶导数检验 (Second Derivative Test)
此方法通过考察函数在驻点的{{{二阶导数}}}（Second Derivative）来判断其{{{凹凸性}}}（Concavity），从而确定其类型。
#### 单变量函数
对于驻点 $x_0$：
* 如果 $f''(x_0) > 0$，函数在该点是{{{凹函数}}}（Concave Up，形如杯口向上），因此 $f(x_0)$ 是一个局部极小值。 * 如果 $f''(x_0) < 0$，函数在该点是{{{凸函数}}}（Concave Down，形如杯口向下），因此 $f(x_0)$ 是一个局部极大值。 * 如果 $f''(x_0) = 0$，则此检验无效 (inconclusive)，需要退回使用一阶导数检验或其他更高阶的导数检验。 * 示例1：$f(x) = x^2$。$f'(x) = 2x$，驻点为 $x_0=0$。$f''(x) = 2$。由于 $f''(0) = 2 > 0$，因此 $(0,0)$ 是一个局部极小值。 * 示例2：$f(x) = -x^2$。$f'(x) = -2x$，驻点为 $x_0=0$。$f''(x) = -2$。由于 $f''(0) = -2 < 0$，因此 $(0,0)$ 是一个局部极大值。 * 示例3 (检验无效)：对于 $f(x) = x^4$，驻点为 $x_0=0$，$f''(x)=12x^2$，$f''(0)=0$，检验无效。但通过一阶导数检验可知其为局部极小值。对于 $f(x)=x^3$，驻点为 $x_0=0$，$f''(x)=6x$，$f''(0)=0$，检验同样无效，但通过一阶导数检验可知其为拐点。
#### 多变量函数
对于多变量函数（以二元函数 $f(x,y)$ 为例），我们需要使用{{{Hesse矩阵}}}（Hessian Matrix）进行判断。在驻点 $(x_0, y_0)$，Hesse矩阵为： $$ H(x_0, y_0) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x_0, y_0) & f_{xy}(x_0, y_0) \\ f_{yx}(x_0, y_0) & f_{yy}(x_0, y_0) \end{pmatrix} $$ 其中 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$ 是二阶偏导数。根据{{{克莱罗定理}}}（Clairaut's Theorem），在二阶偏导数连续的条件下，$f_{xy} = f_{yx}$。
令 $D$ 为Hesse矩阵的{{{行列式}}}（Determinant）: $$ D = \det(H) = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 $$
* 如果 $D > 0$ 且 $f_{xx}(x_0, y_0) > 0$，则 $(x_0, y_0)$ 是一个局部极小值。 * 如果 $D > 0$ 且 $f_{xx}(x_0, y_0) < 0$，则 $(x_0, y_0)$ 是一个局部极大值。 * 如果 $D < 0$，则 $(x_0, y_0)$ 是一个鞍点。 * 如果 $D = 0$，则此检验无效。
## 与其他概念的辨析
* 驻点 vs. 临界点 (Critical Point)：驻点是{{{临界点}}}的一种。一个函数的临界点是指其导数为零或导数不存在的点。因此，所有驻点都是临界点，但反之不成立。例如，函数 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处有一个临界点（因为导数不存在），但该点不是驻点。 * 局部极值 vs. 全局极值 (Global Extremum)：驻点给出的是局部极值。一个函数在一个给定的{{{定义域}}} (Domain) 内的全局极大/小值是函数在该定义域内能取到的最大/小值。全局极值可能出现在驻点，也可能出现在定义域的边界上。因此，在求解全局最优化问题时，不仅要评估所有驻点处的函数值，还需评估边界点上的函数值。
## 应用
寻找驻点是解决无约束最优化问题的核心步骤。
* 经济学：在{{{微观经济学}}}中，企业追求{{{利润}}}最大化。利润函数 $\Pi(q) = R(q) - C(q)$（其中 $R$ 是{{{总收入}}}，$C$ 是{{{总成本}}}，$q$ 是产量）的驻点出现在{{{边际收入}}}等于{{{边际成本}}}（$MR=MC$）的地方，这是确定最优产量的条件。同样，消费者通过在{{{预算约束}}}下最大化其{{{效用函数}}}来做出选择，这也涉及寻找驻点（通常使用{{{拉格朗日乘数法}}}）。 * 统计学与计量经济学：在参数估计中，{{{最大似然估计}}}（Maximum Likelihood Estimation）方法通过寻找{{{似然函数}}}的驻点来确定最优参数。同样，{{{普通最小二乘法}}}（Ordinary Least Squares）通过最小化{{{残差平方和}}}（Sum of Squared Residuals）来估计回归系数，这也是通过求解偏导数为零的方程组，即寻找驻点来实现的。