# 效用函数 (Utility Function)
效用函数 (Utility Function) 是在{{{经济学}}}中，特别是{{{微观经济学}}}的{{{消费者理论}}}中，用来表示消费者从消费一定数量的商品组合中所获得满足程度的数学函数。它是一个核心工具，用以将消费者的{{{偏好}}} (Preferences) 进行量化和模型化，从而系统地分析消费者的选择行为。
从本质上讲，效用函数为每一个可能的{{{消费束}}} (Consumption Bundle) 分配一个数值，这个数值被称为{{{效用}}} (Utility)。数值越高，表示消费者对该消费束的偏好程度越高。
## 基本概念与性质
### 1. 效用的序数性 (Ordinal Utility)
现代经济学普遍接受序数效用论的观点，即效用函数所赋予的数值只具有排序意义，而不具有基数意义。这意味着：
* 如果一个消费束 A 的效用值是10，另一个消费束 B 的效用值是5，我们只能得出结论：消费者偏好 A 甚于 B ($U(A) > U(B) \Rightarrow A \succ B$)。 * 我们不能说“消费者对 A 的满意程度是 B 的两倍”。效用数值的大小差异没有实际意义。
因此，对任何一个给定的效用函数 $U(X)$ 进行{{{正单调变换}}} (Positive Monotonic Transformation)，例如 $V(X) = 2U(X) + 3$ 或者 $W(X) = [U(X)]^3$ (假设 $U(X) \ge 0$)，所得到的新函数 $V(X)$ 和 $W(X)$ 与原函数 $U(X)$ 代表的是完全相同的偏好关系。因为如果 $U(A) > U(B)$，那么经过正单调变换后，必然有 $V(A) > V(B)$ 和 $W(A) > W(B)$，偏好顺序得以保留。
### 2. 效用函数的数学表达
一个消费束可以表示为一个向量 $X = (x_1, x_2, \dots, x_n)$，其中 $x_i$ 代表消费者消费的第 $i$ 种商品的数量。效用函数 $U$ 就是一个将这个向量映射到一个实数的函数：
$$ U: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R} $$
其中 $\mathbb{R}^n_+$ 表示消费者消费的商品数量不能为负。
为了使偏好能够被一个连续的效用函数所代表，该偏好关系通常需要满足三个基本{{{公理}}} (Axioms)：
* 完备性 (Completeness)：对于任意两个消费束 A 和 B，消费者总能明确判断出 $A \succ B$ (A优于B)，$B \succ A$ (B优于A)，或 $A \sim B$ (A与B无差异)。 * 反身性 (Reflexivity)：任何消费束至少与自身是同样好的，即 $A \sim A$。 * 传递性 (Transitivity)：如果 $A \succ B$ 且 $B \succ C$，那么必然有 $A \succ C$。
当偏好关系满足完备性、传递性以及一个额外的技术性假设（连续性）时，就可以被一个连续的效用函数所代表，这是{{{消费者理论}}}中的一个重要结论（德布鲁表示定理）。
### 3. "良态"效用函数的常见性质
在经济学分析中，为了便于进行{{{最优化}}}计算和得出有意义的结论，我们通常假设效用函数是"良态的" (well-behaved)，即满足以下性质：
* 单调性 (Monotonicity)：该性质意味着“越多越好”(more is better)。如果一个消费束中的每一种商品的数量都不少于另一个消费束，且至少有一种商品更多，那么前者的效用值更高。在数学上，这意味着效用函数对其任何一个自变量的一阶偏导数（即{{{边际效用}}}）为正： $$ \frac{\partial U}{\partial x_i} > 0 $$
* {{{凹性}}} (Concavity) 与 {{{边际效用递减}}} (Diminishing Marginal Utility)：这个性质通常被归结为{{{边际效用递减}}}规律。它描述了随着对某一商品消费量的增加，每额外增加一单位该商品所带来的效用增量是递减的。例如，你吃第一个冰淇淋的快乐程度通常高于吃第五个。在数学上，这通常假设效用函数是“凹的”，表现为其关于该商品的二阶偏导数为负： $$ \frac{\partial^2 U}{\partial x_i^2} < 0 $$ 这一性质是消费者{{{无差异曲线}}}凸向原点 (convex to the origin) 的一个重要原因。一个（拟）凹的效用函数会产生凸的无差异曲线，这反映了消费者偏好多样化消费的倾向。
## 相关核心概念
### 1. 边际效用 (Marginal Utility, MU)
{{{边际效用}}}是指在保持其他商品消费量不变的情况下，额外消费一单位某商品所带来的总效用的增加量。它是效用函数对该商品数量的一阶偏导数：
$$ MU_i = \frac{\partial U(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\partial x_i} $$
根据边际效用递减规律，边际效用会随着商品消费量的增加而减少。
### 2. 无差异曲线 (Indifference Curve)
{{{无差异曲线}}}是效用函数的一种图形表示。它是在二维商品空间中，所有能给消费者带来相同效用水平的消费束的集合。在数学上，一条无差异曲线是效用函数的一个{{{水平集}}} (Level Set)，由满足以下条件的点 $(x_1, x_2)$ 构成：
$$ \{ (x_1, x_2) | U(x_1, x_2) = \bar{U} \} $$
其中 $\bar{U}$ 是一个常数，代表某一特定的效用水平。
### 3. 边际替代率 (Marginal Rate of Substitution, MRS)
{{{边际替代率}}}衡量的是在保持总效用不变的前提下，消费者愿意放弃多少单位的商品2来换取额外一单位的商品1。它等于无差异曲线上某一点切线斜率的绝对值。
MRS 可以通过两种商品的边际效用之比来计算：
$$ MRS_{1,2} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\partial U / \partial x_1}{\partial U / \partial x_2} $$
## 常见的效用函数类型
在经济学建模中，研究者会使用特定形式的效用函数来刻画不同类型的偏好。
* {{{柯布-道格拉斯效用函数}}} (Cobb-Douglas Utility Function) $$ U(x_1, x_2) = x_1^\alpha x_2^\beta \quad (\alpha > 0, \beta > 0) $$ 这是最常用的效用函数之一。它代表了良态的、凸的偏好。指数 $\alpha$ 和 $\beta$ 反映了消费者对两种商品的偏好程度。例如，如果 $\alpha > \beta$，则表示消费者相对更偏好商品1。
* {{{完全替代品}}} (Perfect Substitutes) $$ U(x_1, x_2) = ax_1 + bx_2 $$ 这类函数表示两种商品对消费者来说可以按固定比例完美替代。例如，某个消费者可能认为一瓶可口可乐和一瓶百事可乐是无差异的。其无差异曲线是斜率恒为 $-a/b$ 的直线。
* {{{完全互补品}}} (Perfect Complements) $$ U(x_1, x_2) = \min\{ax_1, bx_2\} $$ 这类函数表示两种商品必须按固定比例一起消费才有意义。例如，左脚的鞋和右脚的鞋。如果只有一只左脚鞋，再多的右脚鞋也无法增加效用。其无差异曲线是 L 型。
* {{{拟线性效用函数}}} (Quasi-linear Utility Function) $$ U(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2 $$ 其中 $v(x_1)$ 是一个凹函数。这种形式的特点是，对于商品1，不存在{{{收入效应}}} (Income Effect) （在一定范围内）。这意味着消费者对商品1的需求量完全由其价格决定，而不受其收入水平变化的影响。
* {{{恒定替代弹性效用函数}}} (CES Utility Function) $$ U(x_1, x_2) = (a x_1^\rho + b x_2^\rho)^{1/\rho} $$ CES效用函数是一个更为广义的形式，它可以根据参数 $\rho$ 的取值不同，演变成上述几种函数。例如，当 $\rho \to 0$ 时，它趋近于柯布-道格拉斯函数；当 $\rho = 1$ 时，它代表完全替代品；当 $\rho \to -\infty$ 时，它趋近于完全互补品。
## 应用
效用函数是现代微观经济学分析的基石。其最重要的应用是在消费者选择问题中：消费者在给定的{{{预算约束}}} (Budget Constraint) 下，通过选择消费束来最大化其效用函数。
$$ \max_{x_1, x_2, \dots, x_n} U(x_1, x_2, \dots, x_n) $$ $$ \text{subject to} \quad \sum_{i=1}^n p_i x_i \le M $$
其中 $p_i$ 是商品 $i$ 的价格，$M$ 是消费者的总收入。通过求解这个{{{约束最优化}}}问题，可以推导出每种商品的{{{马歇尔需求函数}}} (Marshallian Demand Function)。
此外，效用函数的概念也被扩展到处理不确定性下的决策，形成了{{{期望效用理论}}} (Expected Utility Theory)，在{{{金融学}}}和{{{风险管理}}}领域有广泛应用。