# 预算约束 (Budget Constraint)
在{{{微观经济学}}}和{{{消费者理论}}} (Consumer Theory) 中，预算约束 (Budget Constraint) 是一个基本概念，它描述了一个消费者在给定的{{{收入}}} (Income) 和{{{商品}}} (Goods) {{{价格}}} (Price) 下所能购买的商品和{{{服务}}} (Services) 的各种组合。预算约束体现了经济学中的一个核心思想：{{{稀缺性}}} (Scarcity)。由于资源（在此即消费者的收入）是有限的，消费者必须在不同的商品之间做出选择，而他们不能购买超出其支付能力的商品组合。
预算约束定义了消费者的可行选择集，即所有能够负担得起的消费束。与之相对应的图形表示被称为预算线 (Budget Line)。
## 数学表述
为了简化分析，我们从一个只存在两种商品（商品X和商品Y）的世界开始。这个模型可以很容易地推广到多种商品的情况。假设：
* 消费者的总收入或预算为 $M$。 * 商品X的价格为 $P_x$。 * 商品Y的价格为 $P_y$。 * 消费者购买的商品X和商品Y的数量分别为 $X$ 和 $Y$。
消费者在商品X上的总支出是 $P_x \cdot X$，在商品Y上的总支出是 $P_y \cdot Y$。预算约束要求消费者的总支出不能超过其总收入。因此，预算约束可以用以下不等式表示：
$$ P_x X + P_y Y \le M $$
这个不等式所定义的所有 $(X, Y)$ 组合构成了消费者的预算集 (Budget Set) 或可行集 (Feasible Set)。它包括了消费者所有能够负担得起的商品组合。
### 预算线 (Budget Line)
预算线是预算集的一个重要组成部分，它表示消费者正好花完其全部收入时所能购买的商品X和商品Y的组合。预算线是预算约束不等式取等号时的情形：
$$ P_x X + P_y Y = M $$
预算线在图形上是一条直线，是理解消费者选择的关键工具。
## 预算线的图形表示
我们可以将预算线方程整理成标准的斜截式，以便于在坐标系中绘制。通常，我们将商品Y的数量放在纵轴，商品X的数量放在横轴。
将方程 $P_x X + P_y Y = M$ 变形，解出 $Y$：
$$ P_y Y = M - P_x X $$ $$ Y = \frac{M}{P_y} - \frac{P_x}{P_y} X $$
这个线性方程有三个关键特征：
1. 纵轴截距 (Vertical Intercept)：当 $X=0$ 时，$Y = \frac{M}{P_y}$。这个点表示消费者将其全部收入用于购买商品Y时，所能购买的最大数量。
2. 横轴截距 (Horizontal Intercept)：当 $Y=0$ 时，$X = \frac{M}{P_x}$。这个点表示消费者将其全部收入用于购买商品X时，所能购买的最大数量。
3. 斜率 (Slope)：预算线的斜率是 $-\frac{P_x}{P_y}$。 * 斜率的数值意义：斜率的绝对值 $\frac{P_x}{P_y}$ 表示两商品的价格比 (Price Ratio)。 * 斜率的经济学意义：这个斜率代表了在市场上用一种商品交换另一种商品的比率，也就是消费的{{{机会成本}}} (Opportunity Cost)。具体来说，它表示为了多购买一个单位的商品X，消费者必须放弃多少单位的商品Y。例如，如果 $P_x = 10 \text{ USD}$，$P_y = 5 \text{ USD}$，那么斜率就是 $-2$。这意味着，为了增加一单位的X消费，消费者必须减少两单位的Y消费，以保持总支出不变。
整个位于预算线下方以及预算线上的区域，共同构成了预算集。预算集内的任何一点都是消费者可以负担的，而预算集外的任何一点都是无法负担的。
## 预算线的变动
预算线的位置和斜率由消费者的收入 ($M$) 和商品价格 ($P_x, P_y$) 共同决定。当这些因素发生变化时，预算线也会随之移动，从而影响消费者的可行选择范围。
#### 1. 收入变动 (Change in Income)
* 收入增加：当消费者收入 $M$ 增加时（价格不变），预算线会向外平行移动。纵轴截距 $\frac{M}{P_y}$ 和横轴截距 $\frac{M}{P_x}$ 都会按比例增加。因为商品的价格比 $\frac{P_x}{P_y}$ 没有改变，所以预算线的斜率保持不变。这意味着消费者的{{{购买力}}} (Purchasing Power) 增强了，能够负担的商品组合更多。 * 收入减少：当收入 $M$ 减少时，预算线会向内平行移动。斜率同样保持不变，但可行集缩小，消费者的购买力下降。
#### 2. 价格变动 (Change in Price)
* 单一商品价格变动：假设只有商品X的价格 $P_x$ 发生变化。 * 如果 $P_x$ 下降，横轴截距 $\frac{M}{P_x}$ 会变大，预算线会以纵轴截距为轴心向外旋转。预算线的斜率绝对值 $|\text{slope}| = \frac{P_x}{P_y}$ 会变小，直线变得更平坦。这表示商品X相对于商品Y变得更便宜了。 * 如果 $P_x$ 上升，横轴截距 $\frac{M}{P_x}$ 会变小，预算线会以纵轴截距为轴心向内旋转。斜率绝对值会变大，直线变得更陡峭。 * 两种商品价格同比例变动：如果 $P_x$ 和 $P_y$ 以相同的比例 $k$ 发生变化（例如，由于{{{通货膨胀}}}），新的价格为 $kP_x$ 和 $kP_y$。新的预算线方程为 $kP_x X + kP_y Y = M$，这等价于 $P_x X + P_y Y = \frac{M}{k}$。这与收入变为 $\frac{M}{k}$ 的效果是完全一样的。因此，价格的同比例上升（$k>1$）等同于{{{实际收入}}}的下降，导致预算线向内平行移动。
## 在消费者选择中的作用
预算约束本身只说明了消费者“能够”做什么，即哪些消费组合是可行的。要确定消费者的最终选择，我们还需要引入{{{消费者偏好}}} (Consumer Preferences) 的概念，通常用{{{无差异曲线}}} (Indifference Curve) 来表示。
消费者的目标是在其预算约束的范围内，寻求最大的{{{效用}}} (Utility)。在图形上，这表现为消费者试图达到离原点最远（即效用水平最高）的无差异曲线。
最终的{{{消费者均衡}}} (Consumer Equilibrium) 点是预算线与一条无差异曲线相切的点。在这个点上：
1. 该点位于预算线上，意味着消费者花光了所有收入。 2. 该点的无差异曲线的斜率等于预算线的斜率。
无差异曲线的斜率被称为{{{边际替代率}}} (Marginal Rate of Substitution, MRS)，它表示消费者在保持同样效用水平下，愿意用多少单位的商品Y来交换一单位的商品X。因此，在均衡点上，我们有：
$$ \text{MRS}_{xy} = \frac{P_x}{P_y} $$
这个等式的经济学含义是：消费者个人对两种商品的价值评估（主观交换意愿，MRS）恰好等于市场对这两种商品的价值评估（客观交换比率，价格比）。这是{{{消费者选择理论}}} (Theory of Consumer Choice) 中最核心的结论之一。
## 推广到N种商品
尽管我们通常使用两种商品的模型进行图形分析，但预算约束的概念可以无缝推广到任意 $n$ 种商品的情形。如果一个消费者消费 $n$ 种商品，其数量为 $X_1, X_2, \dots, X_n$，对应的价格为 $P_1, P_2, \dots, P_n$，总收入为 $M$，那么预算约束可以表示为：
$$ \sum_{i=1}^{n} P_i X_i \le M $$
在这种情况下，预算线变成了一个在 $n$ 维空间中的超平面 (Hyperplane)，其基本经济学原理与二维情况完全相同。