# 固定效应模型 (Fixed Effects Model)
固定效应模型 (Fixed Effects Model, FE)，是{{{计量经济学}}}和{{{统计学}}}中用于分析{{{面板数据}}} (Panel Data) 或{{{纵向数据}}} (Longitudinal Data) 的一种核心方法。其主要目标是通过控制个体之间不随时间变化的、不可观测的异质性 (unobserved time-invariant heterogeneity)，从而获得对自变量影响的无偏估计。
当使用面板数据时，一个关键的挑战是存在一些可能与我们关心的解释变量相关的、但又难以衡量或获取的个体特征。例如，在研究教育对收入的影响时，个人的“内在能力”或“进取心”就是这类不可观测的特征。由于更有能力的人可能倾向于接受更多教育，并且其收入也更高，忽略这一因素会导致{{{遗漏变量偏误}}} (Omitted Variable Bias)。固定效应模型正是为了解决这一问题而设计的。
## 核心思想与直觉
固定效应模型的基本思想是，如果我们无法直接衡量这些不随时间变化的个体特征（如能力、文化背景、企业管理哲学等），我们可以通过一种数学变换将它们从模型中“消除”。
该模型假设每个个体（如个人、公司、国家）都有其自身的、独特的截距项，这个截距项捕捉了所有不随时间变化的、该个体特有的影响因素。这些独特的截距项就是所谓的固定效应 ($a_i$)。
固定效应模型不关注个体之间的差异（"between" variation），而是完全聚焦于每个个体内部随时间发生的变化（"within" variation）。换句话说，它通过分析“对于同一个人，当其教育水平变化时，其收入是如何变化的？”来估计教育的回报，而不是通过比较“一个高学历的人和一个低学历的人的收入差异”。通过这种方式，所有不随时间变化的个人特征（如固有的能力、家庭背景等）都被控制住了，因为在对同一个人进行纵向比较时，这些特征是恒定的。
## 数学模型与推导
一个标准的面板数据回归模型可以写为：
$$ y_{it} = \beta_0 + \beta_1 x_{it.k} + a_i + u_{it} $$
其中： - $i$ 代表个体单位 ($i = 1, 2, $...$, N$)。 - $t$ 代表时间周期 ($t = 1, 2, $...$, T$)。 - $y_{it}$ 是因变量。 - $x_{it.k}$ 是一系列（$k$个）随时间变化的自变量。 - $\beta_1$ 是我们最感兴趣的、需要估计的系数。 - $a_i$ 是个体固定效应，捕捉了所有不随时间变化但可能影响 $y_{it}$ 的不可观测因素。它对于每个个体 $i$ 是一个常数，但不同个体之间可以不同。 - $u_{it}$ 是特异性误差项 (idiosyncratic error term)，代表了其他随时间和个体变化的、未被模型包含的因素。
核心问题在于，$a_i$ 很可能与 $x_{it.k}$ 相关。例如，更高的个人能力 ($a_i$) 可能导致个人选择接受更多教育 ($x_{it}$)。这种相关性，即 $Cov(x_{it.k}, a_i) \neq 0$，使得使用传统的{{{普通最小二乘法}}} (Ordinary Least Squares, OLS) 对上述方程进行估计会产生偏误。
固定效应模型通过以下几种等价的方法来消除 $a_i$，从而解决这个问题。
### 估计方法一：组内离差变换 (Within Transformation)
这是最常用的固定效应估计方法，也称为离差形式 (Demeaning)。
1. 计算个体均值：对模型中的每个变量，计算其在所有时间周期内对每个个体的均值： $$ \bar{y}_i = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} y_{it} $$ $$ \bar{x}_{i.k} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} x_{it.k} $$ $$ \bar{u}_i = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} u_{it} $$ 由于 $a_i$ 不随时间变化，其均值就是它本身，即 $\bar{a}_i = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} a_i = a_i$。
2. 进行离差变换：将原始方程中的每个变量减去其对应的个体均值： $$ y_{it} - \bar{y}_i = \beta_1 (x_{it.k} - \bar{x}_{i.k}) + (a_i - \bar{a}_i) + (u_{it} - \bar{u}_i) $$
3. 消除固定效应：由于 $a_i - \bar{a}_i = a_i - a_i = 0$，个体固定效应 $a_i$ 被完美地消除了。变换后的模型变为： $$ \ddot{y}_{it} = \beta_1 \ddot{x}_{it.k} + \ddot{u}_{it} $$ 其中，$\ddot{y}_{it} = y_{it} - \bar{y}_i$，$\ddot{x}_{it.k} = x_{it.k} - \bar{x}_{i.k}$，$\ddot{u}_{it} = u_{it} - \bar{u}_i$。这些经过离差变换的变量被称为“组内离差”(within-group deviations)。
4. OLS估计：现在，我们可以对这个变换后的方程使用{{{OLS}}}进行回归，得到的系数估计量 $\hat{\beta}_1$ 是无偏且一致的。这个估计量被称为固定效应估计量或组内估计量 (Within Estimator)。
### 估计方法二：最小二乘虚拟变量模型 (LSDV)
另一种概念上等价的方法是直接在回归模型中为每个个体单位（除了一个作为基准组以避免{{{虚拟变量陷阱}}}）创建一个{{{虚拟变量}}} (Dummy Variable)。模型设定如下：
$$ y_{it} = \beta_1 x_{it.k} + \gamma_2 D_{2i} + \gamma_3 D_{3i} + $...$ + \gamma_N D_{Ni} + u_{it} $$
- $D_{ni}$ 是一个虚拟变量，如果观测值来自个体 $n$，则 $D_{ni}=1$，否则为 $0$。 - $\gamma_n$ 是个体 $n$ 的虚拟变量的系数，它直接估计了个体 $n$ 相对于基准组（个体1）的固定效应。
LSDV模型通过OLS估计，得到的 $\beta_1$ 的估计值与组内离差变换方法得到的结果完全相同。然而，当个体数量 $N$ 非常大时（例如成千上万个个体），在模型中加入大量的虚拟变量会使得计算量巨大，甚至不可行。因此，在实践中，组内离差变换更为常用。
### 估计方法三：一阶差分 (First-Differencing)
当时间周期 $T$ 只有两期时，一阶差分法与组内离差变换是完全等价的。对于 $T>2$ 的情况，它也是一种有效的估计方法。
1. 将 $t$ 时期的方程减去 $t-1$ 时期的方程： $$ (y_{it} - y_{i,t-1}) = \beta_1 (x_{it.k} - x_{i,t-1,k}) + (a_i - a_i) + (u_{it} - u_{i,t-1}) $$
2. 简化后得到差分模型： $$ \Delta y_{it} = \beta_1 \Delta x_{it.k} + \Delta u_{it} $$ 其中 $\Delta$ 表示一阶差分。
通过对差分后的数据进行OLS回归，同样可以得到 $\beta_1$ 的一致估计量。
## 优点与局限性
优点： 1. 控制遗漏变量偏误：FE模型最大的优点是，它能够控制所有不随时间变化（无论是可观测还是不可观测）的个体特征所带来的{{{内生性}}}问题，前提是这些特征与自变量相关。 2. 模型设定要求低：它不对个体效应 $a_i$ 的分布做任何假设，也不要求 $a_i$ 与 $x_{it.k}$ 不相关。
局限性： 1. 无法估计时不变变量的效应：任何不随时间变化的变量（如性别、种族、企业成立地点）在组内离差变换或一阶差分的过程中都会被消除。因此，FE模型无法估计这类变量对因变量的直接影响。 2. 对测量误差敏感：FE变换可能会加剧{{{测量误差}}} (Measurement Error) 的问题。由于该方法依赖于变量随时间的变化，如果这些变化大部分是噪音（测量误差）而非真实信号，那么估计结果的偏误可能会被放大。 3. 自由度损失：在组内离差变换中，每个个体都损失了一个自由度（用于计算其均值），总共损失 $N$ 个{{{自由度}}}。如果时间周期 $T$ 很短，这可能是一个问题。
## 固定效应 vs. 随机效应
在面板数据分析中，与固定效应模型相对应的是{{{随机效应模型}}} (Random Effects Model, RE)。
- 固定效应模型 (FE)：将 $a_i$ 视为需要被估计（或消除）的参数。它允许 $a_i$ 与自变量 $x_{it}$ 相关。 - 随机效应模型 (RE)：将 $a_i$ 视为随机误差项的一部分。它严格要求 $a_i$ 与自变量 $x_{it}$ 不相关，即 $Cov(x_{it.k}, a_i) = 0$。
如何选择： - 如果理论上或直觉上认为不可观测的个体特征（$a_i$）很可能与模型中的自变量相关，那么为了获得一致的估计，必须使用固定效应模型。 - 如果可以确信 $a_i$ 与自变量不相关，那么随机效应模型更优，因为它更有效率（即有更小的{{{方差}}}），并且能够估计不随时间变化的变量的效应。
在实践中，经济学家通常使用{{{豪斯曼检验}}} (Hausman Test) 来辅助决策。该检验的原假设是随机效应模型是一致的（即 $Cov(x_{it.k}, a_i) = 0$）。如果检验结果在统计上显著，则拒绝原假设，表明应采用固定效应模型。
## 扩展：双向固定效应
在许多应用中，研究者不仅关心个体固定效应，还关心时间固定效应。双向固定效应模型 (Two-Way Fixed Effects Model) 同时控制了这两种效应：
$$ y_{it} = \beta_1 x_{it.k} + a_i + \lambda_t + u_{it} $$
- $a_i$ 仍为个体固定效应，控制不随时间变化的个体特征。 - $\lambda_t$ 是时间固定效应，捕捉了所有在特定时间点 $t$ 影响所有个体的共同冲击，如{{{宏观经济}}}周期、政策变化、自然灾害等。
双向固定效应模型是现代应用计量经济学中非常强大和常用的工具，尤其是在{{{因果推断}}}的研究中。