# 马歇尔需求函数 (Marshallian Demand Function)
马歇尔需求函数 (Marshallian Demand Function)，也称为普通需求函数 (Ordinary Demand Function) 或非补偿需求函数 (Uncompensated Demand Function)，是{{{微观经济学}}}和{{{消费者理论}}}中的一个核心概念。它描述了一个理性的、以{{{效用最大化}}}为目标的消费者，在给定其{{{收入}}}和所有商品{{{价格}}}的情况下，会对每种商品需求多少数量。
这个函数以19世纪的经济学家[[阿尔弗雷德·马歇尔]]的名字命名。它的本质是{{{效用最大化问题 (Utility Maximization Problem)}}}的解。理解马歇尔需求函数是分析{{{需求曲线}}}、{{{消费者行为}}}以及政策影响的基础。
## 效用最大化问题
马歇尔需求函数来源于消费者试图在{{{预算约束}}}下最大化其满足感（即{{{效用}}}）的决策过程。这个过程可以被形式化为一个数学上的{{{优化问题}}}。
假设一个经济体中有 $n$ 种商品，消费者的{{{偏好}}}可以用一个{{{效用函数}}} $U(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 来表示，其中 $x_i$ 是消费的第 $i$ 种商品的数量。消费者面临的价格向量为 $\mathbf{p} = (p_1, p_2, \dots, p_n)$，并且拥有固定的收入 $M$。
消费者的目标是： $$ \max_{x_1, \dots, x_n} U(x_1, x_2, \dots, x_n) $$
其约束条件是总支出不能超过总收入，即{{{预算约束}}}(Budget Constraint)： $$ \sum_{i=1}^{n} p_i x_i \le M $$
通常，我们假设消费者是“非饱和的”(non-satiated)，这意味着“多即是好”，因此消费者会花光所有收入，预算约束可以写成等式：$\sum_{i=1}^{n} p_i x_i = M$。
### 求解方法：拉格朗日乘数法
解决这个有约束的优化问题通常使用{{{拉格朗日乘数法 (Lagrange Multiplier Method)}}}。我们构建拉格朗日函数 $\mathcal{L}$： $$ \mathcal{L}(x_1, \dots, x_n, \lambda) = U(x_1, \dots, x_n) + \lambda \left( M - \sum_{i=1}^{n} p_i x_i \right) $$ 其中，$\lambda$ 是{{{拉格朗日乘数}}}，它在经济学上可以被解释为收入的{{{边际效用}}}。
通过对每个变量（包括 $x_1, \dots, x_n$ 和 $\lambda$）求{{{偏导数}}}并令其等于零，我们得到{{{一阶条件 (First-Order Conditions, FOCs)}}}： 1. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = \frac{\partial U}{\partial x_i} - \lambda p_i = 0 \quad$ for all $i = 1, \dots, n$ 2. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = M - \sum_{i=1}^{n} p_i x_i = 0$
从第一个条件可以得到 $\frac{\partial U}{\partial x_i} = \lambda p_i$。这意味着在最优消费束上，每种商品带来的{{{边际效用}}}（Marginal Utility, $MU_i = \frac{\partial U}{\partial x_i}$）与它的价格成正比。换句话说，花费在任何商品上的最后一美元所带来的边际效用是相等的，即： $$ \frac{MU_1}{p_1} = \frac{MU_2}{p_2} = \dots = \frac{MU_n}{p_n} = \lambda $$ 这个条件也等价于任何两种商品之间的{{{边际替代率 (Marginal Rate of Substitution, MRS)}}}等于它们的价格比率： $$ MRS_{ij} = \frac{MU_i}{MU_j} = \frac{p_i}{p_j} $$ 这表明，在最优选择点，消费者愿意用一种商品交换另一种商品的主观比率，恰好等于市场所提供的客观交换比率。
### 函数的定义
通过求解上述一阶条件组成的方程组，我们可以得到每种商品的最优消费量 $x_i^*$ 作为价格 $\mathbf{p}$ 和收入 $M$ 的函数。这个函数就是马歇尔需求函数，通常表示为： $$ x_i^* = x_i(\mathbf{p}, M) $$ 它告诉我们，在给定的价格和收入水平下，消费者会选择购买多少单位的商品 $i$。
## 马歇尔需求函数的性质
马歇尔需求函数具有几个重要的性质，这些性质直接源于效用最大化问题的结构。
1. 零阶齐次性 (Homogeneity of Degree Zero) 这个性质意味着，如果所有商品的价格和消费者的收入都按相同的比例 $k > 0$ 增加，那么需求量将保持不变。 $$ x_i(k\mathbf{p}, kM) = x_i(\mathbf{p}, M) $$ 直观的解释是，当所有价格和收入都翻倍时，消费者的{{{预算线}}}没有发生任何变化，因此其最优选择也不会改变。这一性质有时被称为“没有{{{货币幻觉}}} (Absence of Money Illusion)”，即消费者只关心相对价格和真实购买力，而不是名义上的货币价值。
2. 瓦尔拉斯法则 (Walras's Law) 的满足 在“多即是好”（局部非饱和）的假设下，消费者将耗尽其全部收入。因此，将马歇尔需求函数代入预算约束后，等式恒成立： $$ \sum_{i=1}^{n} p_i x_i(\mathbf{p}, M) = M $$ 这意味着消费者所选择的最优消费束的总价值恰好等于其收入。
3. 对收入变化的反应 当收入 $M$ 变化时，商品的需求量 $x_i$ 也会相应变化。这可以用{{{恩格尔曲线 (Engel Curve)}}}来表示。 * 如果 $\frac{\partial x_i(\mathbf{p}, M)}{\partial M} > 0$，则商品 $i$ 是一个{{{正常品 (Normal Good)}}}。 * 如果 $\frac{\partial x_i(\mathbf{p}, M)}{\partial M} < 0$，则商品 $i$ 是一个{{{劣等品 (Inferior Good)}}}。
## 示例：柯布-道格拉斯效用函数
让我们通过一个具体的例子来推导马歇尔需求函数。假设一个消费者的效用函数是{{{柯布-道格拉斯效用函数 (Cobb-Douglas Utility Function)}}}： $$ U(x_1, x_2) = x_1^\alpha x_2^\beta $$ 其中 $\alpha > 0, \beta > 0$。预算约束为 $p_1x_1 + p_2x_2 = M$。
利用边际替代率等于价格比的条件： $$ MRS_{12} = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\alpha x_1^{\alpha-1} x_2^\beta}{\beta x_1^\alpha x_2^{\beta-1}} = \frac{\alpha x_2}{\beta x_1} $$ 令 $MRS_{12} = \frac{p_1}{p_2}$，我们得到： $$ \frac{\alpha x_2}{\beta x_1} = \frac{p_1}{p_2} \implies \alpha p_2 x_2 = \beta p_1 x_1 $$ 现在我们有两个方程： 1. $\alpha p_2 x_2 = \beta p_1 x_1$ 2. $p_1x_1 + p_2x_2 = M$
将第一个方程变形为 $p_2x_2 = \frac{\beta}{\alpha}p_1x_1$，并代入第二个方程： $$ p_1x_1 + \frac{\beta}{\alpha}p_1x_1 = M \implies p_1x_1 \left(1 + \frac{\beta}{\alpha}\right) = M \implies p_1x_1 \left(\frac{\alpha+\beta}{\alpha}\right) = M $$ 解出 $x_1$： $$ x_1(\mathbf{p}, M) = \left(\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right) \frac{M}{p_1} $$ 同理，我们可以解出 $x_2$： $$ x_2(\mathbf{p}, M) = \left(\frac{\beta}{\alpha+\beta}\right) \frac{M}{p_2} $$ 这两个函数就是该消费者对于商品1和商品2的马歇尔需求函数。它们表明，在柯布-道格拉斯偏好下，消费者会将其收入的固定比例（分别为 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ 和 $\frac{\beta}{\alpha+\beta}$）用于购买每种商品。
## 与希克斯需求函数的关系：斯勒茨基方程
马歇尔需求函数与另一个重要概念——{{{希克斯需求函数 (Hicksian Demand Function)}}}密切相关。希克斯需求函数（也叫补偿需求函数）是在给定效用水平下，为达到该效用水平所需{{{支出最小化}}}的解。
价格变化对马歇ě尔需求的影响可以分解为两部分，这就是著名的{{{斯勒茨基方程 (Slutsky Equation)}}}所揭示的： $$ \underbrace{\frac{\partial x_i(\mathbf{p}, M)}{\partial p_j}}_{\text{总效应}} = \underbrace{\frac{\partial h_i(\mathbf{p}, U)}{\partial p_j}}_{\text{替代效应}} - \underbrace{x_j(\mathbf{p}, M) \frac{\partial x_i(\mathbf{p}, M)}{\partial M}}_{\text{收入效应}} $$ 其中 $h_i(\mathbf{p}, U)$ 是希克斯需求函数。
* {{{总效应}}}：价格 $p_j$ 的变化对商品 $i$ 需求量的总影响，即马歇尔需求曲线的斜率。 * {{{替代效应}}}：当价格变化导致相对价格改变时，消费者会用现在相对便宜的商品替代相对昂贵的商品。这个效应总是负的（或零），即 $\frac{\partial h_i}{\partial p_i} \le 0$。 * {{{收入效应}}}：价格变化会影响消费者的{{{实际购买力}}}。例如价格下降相当于实际收入增加。这个效应的符号取决于该商品是正常品还是劣等品。
斯勒茨基方程是连接效用最大化和支出最小化这两个对偶问题的桥梁，是现代微观经济学中最重要的恒等式之一。它解释了为什么需求曲线通常向下倾斜，并允许了{{{吉芬商品 (Giffen Good)}}}（一种价格上涨导致需求量增加的特殊劣质品）在理论上存在的可能性。
## 间接效用函数
将马歇尔需求函数 $x_i(\mathbf{p}, M)$ 代回原始的效用函数 $U(\cdot)$，我们可以得到{{{间接效用函数 (Indirect Utility Function)}}} $V(\mathbf{p}, M)$： $$ V(\mathbf{p}, M) = U(x_1(\mathbf{p}, M), x_2(\mathbf{p}, M), \dots, x_n(\mathbf{p}, M)) $$ 该函数给出了在给定的价格和收入下，消费者所能达到的最大效用水平。通过一个名为{{{罗伊恒等式 (Roy's Identity)}}}的工具，我们也可以从间接效用函数反推出马歇尔需求函数。