# 交叉价格弹性 (Cross-Price Elasticity of Demand)
交叉价格弹性 (Cross-Price Elasticity of Demand)，有时也简称为交叉弹性，是{{{微观经济学}}}中的一个核心{{{弹性}}}概念。它衡量的是当另一种相关商品的价格发生变化时，某一种商品的{{{需求}}}量变化的敏感程度或反应程度。
具体而言，交叉价格弹性回答了这样一个问题：“如果商品 Y 的价格上涨 1%，那么商品 X 的需求量会变化百分之几？” 这个指标揭示了不同商品在{{{消费者理论}}}中的相互关系。
## 数学定义与计算
交叉价格弹性（表示为 $E_{XY}$ 或 $E_{X,P_Y}$）的计算公式为商品 X 需求量的百分比变化量除以商品 Y 价格的百分比变化量。
$$ E_{XY} = \frac{\text{商品 X 需求量的百分比变化}}{\text{商品 Y 价格的百分比变化}} = \frac{\%\Delta Q_X^d}{\%\Delta P_Y} $$
其中： * $Q_X^d$ 是商品 X 的需求量。 * $P_Y$ 是商品 Y 的价格。 * $\Delta$ 表示变化量。
1. 点弹性 (Point Elasticity)
当价格变化非常微小时，或者当需求函数为已知连续函数时，我们使用点弹性的概念。它通过导数来精确计算某一点上的弹性。
$$ E_{XY} = \frac{\partial Q_X^d}{\partial P_Y} \cdot \frac{P_Y}{Q_X^d} $$
这个公式在理论分析和计量经济学模型中尤为重要。
2. 弧弹性 (Arc Elasticity)
在实际应用中，我们通常处理的是两个离散的价格和数量点。为了避免因选择起始点还是终点作为基准而产生的偏差，我们常常使用中点法 (Midpoint Method) 来计算弧弹性，这提供了两点之间平均弹性的更准确估计。
$$ E_{XY} = \frac{ (Q_{X2} - Q_{X1}) / [ (Q_{X1} + Q_{X2}) / 2 ] }{ (P_{Y2} - P_{Y1}) / [ (P_{Y1} + P_{Y2}) / 2 ] } $$
其中： * $P_{Y1}$ 和 $Q_{X1}$ 是商品 Y 的初始价格和商品 X 的初始需求量。 * $P_{Y2}$ 和 $Q_{X2}$ 是商品 Y 的最终价格和商品 X 的最终需求量。
## 交叉价格弹性的解读
交叉价格弹性的符号（正、负或零）是其最重要的特征，它直接揭示了两种商品之间的经济关系。
### 一. $E_{XY} > 0$：替代品 (Substitutes)
当交叉价格弹性为正数时，商品 X 和商品 Y 互为{{{替代品}}}。
* 逻辑关系：这意味着当商品 Y 的价格 ($P_Y$) 上涨时，消费者会减少对 Y 的购买，转而购买与其功能相似的商品 X，从而导致商品 X 的需求量 ($Q_X$) 增加。反之，当 $P_Y$ 下降时，$Q_X$ 也会减少。价格和需求量同向变动。 * 弹性大小：$E_{XY}$ 的数值越大，表示两种商品的替代性越强。例如，可口可乐和百事可乐的交叉价格弹性会是一个较大的正数。而咖啡和茶虽然也是替代品，但其弹性值可能相对较小。 * 示例： * 黄油和人造黄油 * 牛肉和鸡肉 * 乘坐公共汽车和乘坐网约车
### 二. $E_{XY} < 0$：互补品 (Complements)
当交叉价格弹性为负数时，商品 X 和商品 Y 互为{{{互补品}}}。
* 逻辑关系：这意味着当商品 Y 的价格 ($P_Y$) 上涨时，消费者会减少对 Y 的购买。由于商品 X 通常需要与 Y 一起消费才能获得{{{效用}}}，因此对 X 的需求量 ($Q_X$) 也会随之减少。反之，当 $P_Y$ 下降时，$Q_X$ 会增加。价格和需求量反向变动。 * 弹性大小：$E_{XY}$ 的绝对值越大（即数值越负），表示两种商品的互补性越强。例如，打印机和墨盒的交叉价格弹性会是一个绝对值较大的负数。 * 示例： * 汽车和汽油 * 智能手机和手机应用程序 * 咖啡和方糖
### 三. $E_{XY} = 0$：无关品 (Unrelated Goods)
当交叉价格弹性为零（或接近于零）时，商品 X 和商品 Y 为无关品。
* 逻辑关系：这意味着商品 Y 价格的变化对商品 X 的需求量没有影响。这两种商品在消费上相互独立。 * 示例： * 书籍和牛奶 * 电脑和雨伞
## 交叉价格弹性的应用
交叉价格弹性不仅是理论概念，在商业决策和公共政策制定中也具有重要的实际意义。
* 企业定价策略：企业可以利用交叉价格弹性来预测竞争对手调价行为对自身产品销量的影响。如果两家公司的产品是强替代品（高正弹性），一家公司降价会严重冲击另一家的销量，可能引发价格战。 * 产品组合与营销：对于互补品（负弹性），企业可以通过“剃刀与刀片”模式（低价销售主体产品，高价销售其消耗性配件）来获取利润，例如游戏机和游戏光盘。捆绑销售也是基于互补关系的常见策略。 * 市场界定与{{{反垄断法}}} (Antitrust Law)：在反垄断案件中，监管机构经常使用交叉价格弹性来界定相关市场。如果两种产品的交叉价格弹性很高，则可以认为它们处于同一个市场，受同一组竞争力量的约束。这有助于评估企业合并是否会削弱市场竞争。 * 税收政策分析：政府在对某一商品（如汽油）征税时，需要考虑其对互补品（如汽车）和替代品（如公共交通）需求的影响，以全面评估政策的经济后果。
## 计算示例
假设市场上有两种苏打水：品牌A和品牌B。当品牌B苏打水的价格从每罐 2.00 USD 上涨到 2.40 USD 时，消费者对品牌A苏打水的日需求量从 500 罐增加到 600 罐。我们来计算这两种产品之间的交叉价格弹性。
* 初始状态: $P_{B1} = 2.00$, $Q_{A1} = 500$ * 最终状态: $P_{B2} = 2.40$, $Q_{A2} = 600$
我们使用弧弹性（中点法）公式进行计算：
1. 计算需求量的百分比变化: $$ \% \Delta Q_A = \frac{Q_{A2} - Q_{A1}}{(Q_{A1} + Q_{A2})/2} = \frac{600 - 500}{(500 + 600)/2} = \frac{100}{550} \approx 0.1818 \text{ (即 18.18\%)} $$
2. 计算价格的百分比变化: $$ \% \Delta P_B = \frac{P_{B2} - P_{B1}}{(P_{B1} + P_{B2})/2} = \frac{2.40 - 2.00}{(2.00 + 2.40)/2} = \frac{0.40}{2.20} \approx 0.1818 \text{ (即 18.18\%)} $$
3. 计算交叉价格弹性: $$ E_{AB} = \frac{\%\Delta Q_A}{\%\Delta P_B} = \frac{0.1818}{0.1818} = 1 $$
结果解读：交叉价格弹性 $E_{AB} = 1$。这是一个正数，表明品牌A和品牌B的苏打水是替代品。具体来说，品牌B的价格每上涨 1%，品牌A的需求量也会上涨 1%。
## 与其他弹性的区别
为了更好地理解，需要将交叉价格弹性与其他关键弹性概念区分开来：
* {{{需求价格弹性}}} (Price Elasticity of Demand)：衡量一种商品的需求量对其自身价格变化的反应程度。 * {{{需求收入弹性}}} (Income Elasticity of Demand)：衡量一种商品的需求量对消费者收入水平变化的反应程度。
这三个弹性概念共同构成了{{{需求理论}}}的基石，从不同维度解释了影响消费者需求决策的关键因素。