# 拟凹函数 (Quasiconcave Function)
拟凹函数 (Quasiconcave Function) 是数学、经济学和运筹学中的一个重要概念，是对{{{凹函数}}} (Concave Function) 概念的推广。虽然其定义比凹函数更弱，但它保留了许多在{{{优化理论}}}中非常有用的性质，特别是在{{{微观经济学}}}中的{{{效用理论}}}和{{{生产理论}}}中扮演着核心角色。
## 形式化定义
一个定义在{{{凸集}}} $S \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的实值函数 $f: S \to \mathbb{R}$ 被称为 拟凹函数，如果对于任意的 $x, y \in S$ 和任意的 $\theta \in [0, 1]$，都满足以下条件：
$$ f(\theta x + (1-\theta)y) \geq \min\{f(x), f(y)\} $$
这个定义直观地说明，连接定义域中任意两点 $x$ 和 $y$ 的线段上，函数 $f$ 的取值不会低于这两点函数值的最小值。
### 基于上水平集的等价定义
拟凹函数有一个非常重要且等价的定义，它通过“上水平集”来刻画。
{{{上水平集}}} (Upper Contour Set)：对于函数 $f$ 和任意实数 $c$，其上水平集定义为定义域中所有使得函数值大于或等于 $c$ 的点的集合。记作 $U_c$：
$$ U_c = \{x \in S \mid f(x) \geq c\} $$
一个函数 $f$ 是 拟凹函数，当且仅当它的所有上水平集 $U_c$ 都是{{{凸集}}}。
这个定义在经济学中尤其直观。例如，在{{{消费者理论}}}中，如果一个{{{效用函数}}}是拟凹的，那么其所有的“至少和$...$一样好”的消费组合集合（即上水平集）都是凸集。这意味着消费者偏好平均组合胜过极端组合。
## 与凹函数的关系
拟凹函数的概念是凹函数的延伸，理解它们之间的区别至关重要。
1. 所有{{{凹函数}}}都是拟凹函数。 证明：如果一个函数 $f$ 是凹函数，根据定义，对于任意的 $x, y \in S$ 和 $\theta \in [0, 1]$，有： $$ f(\theta x + (1-\theta)y) \geq \theta f(x) + (1-\theta)f(y) $$ 由于 $f(x)$ 和 $f(y)$ 的加权平均值 $\theta f(x) + (1-\theta)f(y)$ 必然大于或等于它们的最小值 $\min\{f(x), f(y)\}$，即： $$ \theta f(x) + (1-\theta)f(y) \geq \min\{f(x), f(y)\} $$ 因此，结合两个不等式可知，$f(\theta x + (1-\theta)y) \geq \min\{f(x), f(y)\}$，满足拟凹函数的定义。
2. 并非所有拟凹函数都是凹函数。 拟凹的要求比凹函数弱。一个单变量函数只要是单调的，或者是“单峰的”（先增后减），它就是拟凹的，但它不一定是凹的。 反例：考虑定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x) = x^3$。 * 它是拟凹的：因为 $f(x) = x^3$ 是一个严格单调递增函数。对于任意 $x, y$，假设 $x \leq y$，则 $f(x) \leq f(y)$。连接 $x$ 和 $y$ 的任何点 $z = \theta x + (1-\theta)y$ 满足 $x \leq z \leq y$，因此 $f(z) \geq f(x)$，即 $f(z) \geq \min\{f(x), f(y)\}$。所以 $f(x)=x^3$ 是拟凹的。 * 它不是凹的：凹函数要求其二阶导数非正。$f(x) = x^3$ 的二阶导数为 $f''(x) = 6x$。当 $x > 0$ 时，$f''(x) > 0$，函数是凸的，因此它不是一个凹函数。
## 图形化理解
* 单变量函数：一个单变量拟凹函数在图形上表现为或者是单调的，或者只有一个全局最大值点（即“单峰”形状）。从曲线上任意一点出发，沿着连接到另一点的直线路径，函数值不会先下降再回升到比出发点更高的位置。 * 多变量函数：对于多变量函数，其图形（一个曲面）的“等高线”或“水平切片”能够提供直观理解。如果一个函数是拟凹的，那么你从上方俯瞰其图形，所有海拔高于或等于某个特定高度 $c$ 的区域（即上水平集）都是凸形的。这个“山”可以有平顶或者梯田状的平台，但其轮廓不会有“凹陷”或“海湾”。
## 主要性质
1. 保序变换：如果 $f$ 是一个拟凹函数，而 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是一个 非递减函数，那么复合函数 $h(x) = g(f(x))$ 也是一个拟凹函数。这个性质在效用理论中极为重要，它意味着对{{{效用函数}}}进行任何保持偏好顺序的单调变换（例如取对数、乘以一个正常数），得到的仍然是代表相同偏好的拟凹效用函数。
2. 一阶条件：如果一个可微函数 $f$ 是拟凹的，那么对于其定义域中的任意两点 $x, y$，我们有： $$ f(y) \geq f(x) \quad \implies \quad \nabla f(x)^T (y-x) \geq 0 $$ 这个条件表明，如果我们要从点 $x$ 移动到函数值更高（或相等）的点 $y$，那么移动方向 $(y-x)$ 与在 $x$ 点的{{{梯度}}} $\nabla f(x)$（即函数增长最快的方向）之间的夹角必须小于或等于90度。
3. 最优化：在{{{最优化理论}}}中，拟凹函数的一个关键性质是：在{{{凸集}}}上最大化一个拟凹函数时，任何{{{局部最大值}}}都是{{{全局最大值}}}。这极大地简化了寻找最优解的过程。
## 在经济学中的应用
拟凹函数是现代微观经济学分析的基石。
* {{{效用理论}}}：在分析{{{消费者选择}}}时，通常假设消费者的{{{偏好}}}是{{{凸偏好}}}。这意味着消费者偏爱多样化的消费组合。一个代表凸偏好的{{{效用函数}}}必定是 拟凹的。在这种情况下，效用函数的上水平集（即包含所有至少能带来某特定效用水平的消费束的集合）是凸集。{{{无差异曲线}}}作为上水平集的边界，会呈现出“凸向原点”的形状。
* {{{生产理论}}}：在分析企业生产决策时，{{{生产函数}}}通常被假定为拟凹的。这意味着生产的{{{等产量线}}}（Isoquant）所包围的区域是凸的。这对应着{{{边际技术替代率递减}}}的经济学假设，即当一种生产要素（如劳动力）不断增加，而另一种生产要素（如资本）相应减少以保持产量不变时，需要用越来越多的劳动力才能替代一单位的资本。
## 相关概念
* {{{拟凸函数}}} (Quasiconvex Function)：与拟凹函数相对。一个函数 $f$ 是拟凸的，如果 $-f$ 是拟凹的。等价地，其定义满足 $f(\theta x + (1-\theta)y) \leq \max\{f(x), f(y)\}$，或者其所有 {{{下水平集}}} (Lower Contour Set) $\{x \in S \mid f(x) \leq c\}$ 都是凸集。
* {{{强拟凹函数}}} (Strictly Quasiconcave Function)：这是拟凹函数的一个更强的形式。一个函数 $f$ 是强拟凹的，如果对于任意 $x, y \in S$ 且 $f(x) \neq f(y)$，以及任意 $\theta \in (0, 1)$，都有： $$ f(\theta x + (1-\theta)y) > \min\{f(x), f(y)\} $$ （在某些文献中，对 $f(x)=f(y)$ 的情况也有更严格的要求）。这个性质能够保证在某些经济模型中（如标准的消费者预算约束问题中）最优解的 唯一性。