# CARA (Constant Absolute Risk Aversion)
CARA，即 恒定绝对风险厌恶 (Constant Absolute Risk Aversion) 的缩写，是{{{微观经济学}}}、特别是{{{不确定性下的选择理论}}}和{{{金融学}}}中的一个核心概念。它描述了一类特定的{{{风险偏好}}}，其中个体的{{{风险厌恶}}}程度不随其财富水平的变化而改变。拥有CARA偏好的个体在面对一个给定绝对规模的{{{赌局}}}时，其决策行为与其初始财富无关。
## 数学定义与推导
CARA偏好是通过特定的{{{效用函数}}} $U(W)$ 来刻画的，其中 $W$ 代表个体的财富水平。衡量风险厌恶程度的标准工具是 {{{阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数}}} (Arrow-Pratt measure of absolute risk aversion, ARA)，定义为 $A(W)$：
$$ A(W) = - \frac{U''(W)}{U'(W)} $$
在这个公式中： * $U'(W)$ 是财富的{{{边际效用}}}，对于任何理性个体，该值恒为正，即财富越多，总效用越高。 * $U''(W)$ 是边际效用的变化率。对于{{{风险厌恶}}}的个体，边际效用是递减的，即 $U''(W) < 0$。因此，对于风险厌恶者，$A(W)$ 的值为正。
当一个效用函数的ARA系数是一个不随财富 $W$ 变化的常数时，我们就称其具有CARA特性。即：
$$ A(W) = \alpha $$
其中 $\alpha$ 是一个正常数，代表了该个体恒定的风险厌恶水平。
我们可以通过求解这个{{{微分方程}}}来推导出CARA效用函数的具体形式：
$$ - \frac{U''(W)}{U'(W)} = \alpha \implies U''(W) = -\alpha U'(W) $$
这是一个二阶线性常微分方程。我们可以令 $V(W) = U'(W)$，则方程变为 $V'(W) = -\alpha V(W)$。这是一个标准的一阶微分方程，其解为：
$$ V(W) = c_1 e^{-\alpha W} $$
其中 $c_1$ 是一个积分常数。由于 $V(W) = U'(W)$，我们再次对 $W$ 积分以求得 $U(W)$：
$$ U(W) = \int c_1 e^{-\alpha W} dW = -\frac{c_1}{\alpha} e^{-\alpha W} + c_2 $$
其中 $c_2$ 是另一个积分常数。在效用理论中，效用函数经过正向线性变换（positive affine transformation）后仍代表相同的偏好。也就是说，$a + b U(W)$ (其中 $b>0$) 与 $U(W)$ 描述的是同一个偏好排序。为了简化，我们可以设定合适的常数，得到CARA效用函数的标准形式，即 指数效用函数 (exponential utility function)：
$$ U(W) = -e^{-\alpha W} $$
任何形式为 $U(W) = a - b e^{-\alpha W}$（其中 $b>0, \alpha>0$）的效用函数都表现出CARA特性。
## CARA偏好的核心性质与经济学含义
1. 财富无关性 (Wealth Invariance)：这是CARA最显著的特征。一个具有CARA偏好的决策者在考虑是否接受一个具有确定绝对收益和损失的风险项目时，其决策与他当前的财富水平无关。无论他是贫穷还是富有，他对于“赢100 USD或输100 USD”这类赌局的态度是完全一样的。
2. 恒定的风险溢价 (Constant Risk Premium)：{{{风险溢价}}} ($\pi$) 是指个体为了规避某项风险而愿意支付的最大金额。对于一个具有期望值为零的小风险 $\tilde{z}$，其风险溢价可以近似表示为： $$ \pi(W, \tilde{z}) \approx \frac{1}{2} \sigma_z^2 A(W) $$ 其中 $\sigma_z^2$ 是风险的{{{方差}}}。由于CARA投资者的 $A(W) = \alpha$ 是一个常数，其风险溢价 $\pi \approx \frac{1}{2} \sigma_z^2 \alpha$ 同样是一个不依赖于财富 $W$ 的常数。这意味着，无论一个CARA投资者多有钱，他为了避免一项特定规模的风险所愿意放弃的财富数量是固定的。
3. 资产配置的含义：在经典的{{{资产组合选择}}}问题中，投资者需要在{{{无风险资产}}}和{{{风险资产}}}之间分配其财富。一个具有CARA偏好的投资者，会选择在其投资组合中投入一个 恒定绝对金额 的资金到风险资产中，而这个金额不随其总财富的增加而增加。例如，如果一个CARA投资者在他有100,000 USD财富时，决定投资20,000 USD于股票；那么当他的财富增长到1,000,000 USD时，他仍然只会投资20,000 USD于股票。这在现实中通常被认为是不太合理的行为，因为人们更倾向于按比例增加风险投资。
## 数值示例
假设一个体具有CARA偏好，其效用函数为 $U(W) = -e^{-0.01 W}$，即 $\alpha = 0.01$。他面临一个公平的赌局：有50%的概率赢得100 USD，50%的概率输掉100 USD。
情况一：初始财富 $W_0 = 1,000$ USD
* 拒绝赌局的效用：$U(1000) = -e^{-0.01 \times 1000} = -e^{-10} \approx -0.0000454$ * 接受赌局的{{{期望效用}}} (Expected Utility)： $$ EU(\text{赌局}) = 0.5 \times U(1100) + 0.5 \times U(900) \\ = 0.5 \times (-e^{-11}) + 0.5 \times (-e^{-9}) \\ \approx 0.5 \times (-0.0000167) + 0.5 \times (-0.0001234) \approx -0.0000701 $$ 由于 $EU(\text{赌局}) < U(1000)$，该个体将拒绝此赌局。
为了计算风险溢价 $\pi$，我们找到与赌局期望效用相等的{{{确定性等价物}}} (Certainty Equivalent, CE)，即满足 $U(CE) = EU(\text{赌局})$: $$ -e^{-0.01 \times CE} = -0.0000701 \implies CE = \frac{\ln(0.0000701)}{-0.01} \approx 955.05 \text{ USD} $$ 风险溢价为 $\pi = W_0 - CE = 1000 - 955.05 = 44.95$ USD。
情况二：初始财富 $W_0' = 10,000$ USD
* 拒绝赌局的效用：$U(10000) = -e^{-100}$ * 接受赌局的期望效用： $$ EU'(\text{赌局}) = 0.5 \times U(10100) + 0.5 \times U(9900) \\ = 0.5 \times (-e^{-101}) + 0.5 \times (-e^{-99}) \\ = -0.5 e^{-100}(e^{-1} + e^{1}) \approx -1.543 \times e^{-100} $$ 由于 $1.543 > 1$，我们有 $|EU'(\text{赌局})| > |U(10000)|$，所以 $EU'(\text{赌局}) < U(10000)$。该个体同样会拒绝赌局。其决策不随财富变化。
其确定性等价物 $CE'$ 满足: $$ -e^{-0.01 \times CE'} = -1.543 \times e^{-100} \implies CE' = \frac{\ln(1.543 \times e^{-100})}{-0.01} = \frac{-100 + \ln(1.543)}{-0.01} \approx 9956.55 \text{ USD} $$ 新的风险溢价为 $\pi' = W_0' - CE' = 10000 - 9956.55 = 43.45$ USD。 这个数值与之前的44.95 USD非常接近（微小差异源于近似计算的精度），说明了风险溢价在财富水平变化时保持基本恒定。
## 与其他风险厌恶类型的比较
CARA是三种基本的绝对风险厌恶类型之一： * {{{CARA}}} (Constant Absolute Risk Aversion): $A'(W)=0$。如上文所述，对于绝对风险的态度不随财富改变。 * {{{DARA}}} (Decreasing Absolute Risk Aversion): $A'(W)<0$。随着财富增加，个体对绝对风险的厌恶程度降低。这意味着富人比穷人更愿意参与同等绝对规模的赌局。例如，对数效用函数 $U(W)=\ln(W)$ 和幂函数 $U(W)=W^\gamma, (0<\gamma<1)$ 都属于DARA。DARA被认为是更符合现实世界观察的偏好类型。 * {{{IARA}}} (Increasing Absolute Risk Aversion): $A'(W)>0$。随着财富增加，个体对绝对风险的厌恶程度反而增强。这种情况较为罕见且违反直觉。
另一个相关的概念是 {{{CRRA}}} (Constant Relative Risk Aversion)，即恒定相对风险厌恶。它衡量的是对“相当于财富一定比例”的风险的态度。CRRA投资者会将其财富的 固定比例 投资于风险资产，这通常被认为比CARA的行为假设更具现实意义。
## 总结
CARA (恒定绝对风险厌恶) 以其数学上的简洁性——指数效用函数——在经济和金融模型中扮演了重要角色。它提供了一个基准模型，尤其适用于那些财富变化不是分析核心的理论问题，例如在某些{{{保险}}}模型和{{{委托代理理论}}}中。然而，其“投资固定绝对金额于风险资产”的推论限制了它在描述长期资产配置行为时的现实性，使得DARA和CRRA等其他风险偏好假设在许多应用中更受青睐。