# 现代投资组合理论 (Modern Portfolio Theory)
现代投资组合理论 (Modern Portfolio Theory, 简称MPT)，由经济学家[[哈里·马科维茨]] (Harry Markowitz) 在1952年首次提出，是现代{{{金融学}}}和投资管理的基石。该理论提供了一个数学框架，用于构建和选择资产{{{投资组合}}}，其核心思想是，一个理性的、{{{风险规避}}}的投资者，其投资决策目标是在给定的风险水平下最大化预期收益，或在给定的预期收益水平下最小化风险。
马科维茨的开创性工作，为他赢得了1990年的诺贝尔经济学奖，其理论的精髓在于它并非孤立地评估单个资产的风险和收益，而是强调资产如何在一个投资组合中相互作用。这引出了MPT中最为人所知的结论：{{{多元化投资}}} (Diversification) 是降低投资组合风险的有效手段。
## MPT的核心假设
现代投资组合理论建立在一系列严格的假设之上，理解这些假设对于把握该理论的精髓和局限性至关重要：
1. 投资者是理性的 (Rational)：投资者追求{{{效用}}}最大化，投资决策完全基于风险和收益的权衡。 2. 投资者是风险规避的 (Risk-Averse)：在预期收益相同的情况下，投资者会选择风险更低的投资组合。为了接受更高的风险，投资者必须得到更高的预期收益作为补偿。 3. 资产收益率服从正态分布 (Normal Distribution)：理论假设任何资产的投资回报率都遵循{{{正态分布}}}，这意味着可以用{{{均值}}}（期望收益）和{{{方差}}}（或{{{标准差}}}）来完整地描述其分布特征。 4. 风险由方差或标准差衡量：MPT将投资组合收益的波动性，即{{{方差}}} ($\sigma^2$) 或{{{标准差}}} ($\sigma$)，作为风险的代理指标。 5. 市场信息有效性：所有投资者都能接触到相同的信息，并对未来资产的预期收益、方差和{{{协方差}}}有一致的预期。 6. 无交易成本和税收：理论假设市场是{{{无摩擦市场}}}，不存在买卖资产的{{{交易成本}}}和影响收益的税收。 7. 存在无风险资产：投资者可以按一个确定的{{{无风险利率}}} ($R_f$) 自由借入或贷出资金。
## 投资组合的预期收益与风险
MPT通过数学公式来量化一个投资组合的两个关键特征：预期收益和风险。
### 1. 投资组合的预期收益 (Portfolio Expected Return)
投资组合的预期收益是其包含的各项资产预期收益的加权平均值，权重为各项资产在投资组合总价值中所占的比例。
对于一个包含 $n$ 项资产的投资组合，其预期收益 $E(R_p)$ 计算公式为：
$$ E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i E(R_i) $$
其中： * $w_i$ 是资产 $i$ 在投资组合中的权重，且 $\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$。 * $E(R_i)$ 是资产 $i$ 的预期收益率。
例如，一个由资产A和资产B组成的投资组合，其预期收益为：$E(R_p) = w_A E(R_A) + w_B E(R_B)$。
### 2. 投资组合的风险 (Portfolio Risk)
与预期收益不同，投资组合的风险不是其包含的各项资产风险的简单加权平均。它还取决于各项资产收益之间的相互关系，这种关系由{{{协方差}}} (Covariance) 或{{{相关系数}}} (Correlation Coefficient) 来衡量。
对于一个包含两种资产（A和B）的投资组合，其风险（用方差 $\sigma_p^2$ 表示）计算公式为：
$$ \sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_A w_B \text{Cov}(R_A, R_B) $$
其中： * $\sigma_A^2$ 和 $\sigma_B^2$ 分别是资产A和资产B的方差。 * $\text{Cov}(R_A, R_B)$ 是资产A和资产B收益率的协方差。
协方差可以进一步用{{{相关系数}}} $\rho_{AB}$ 来表示，$\text{Cov}(R_A, R_B) = \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B$。因此，公式也可以写成：
$$ \sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_A w_B \rho_{AB} \sigma_A \sigma_B $$
多元化的力量： 这个公式揭示了多元化投资的数学原理。相关系数 $\rho_{AB}$ 的取值范围在 -1 到 +1 之间。 * 如果 $\rho_{AB} = 1$ (完全正相关)，资产收益同向变动，多元化无法降低风险。 * 如果 $\rho_{AB} < 1$ (非完全正相关)，则投资组合的风险将小于各资产风险的加权平均值。 * 如果 $\rho_{AB} = -1$ (完全负相关)，通过特定权重组合，甚至可以构建一个零风险的投资组合。
由于现实世界中大部分资产都不是完全正相关的，将它们组合在一起可以有效分散掉一部分非系统性风险，这就是“不要把所有鸡蛋放在同一个篮子里”的数学诠释。
对于包含 $n$ 项资产的投资组合，其方差可以用{{{矩阵}}}表示为：
$$ \sigma_p^2 = \mathbf{w}^T \mathbf{\Sigma} \mathbf{w} $$ 其中 $\mathbf{w}$ 是权重向量，$\mathbf{\Sigma}$ 是资产收益的{{{协方差矩阵}}}。
## 有效边界 (Efficient Frontier)
{{{有效边界}}} 是MPT的核心概念和图形化表示。它是在风险-收益坐标系中的一条曲线，代表了所有可能的投资组合中，“最优”的组合集合。
* 对于任意一个给定的风险水平（标准差），有效边界上的点代表了能提供最高预期收益的投资组合。 * 对于任意一个给定的预期收益水平，有效边界上的点代表了风险最低的投资组合。
所有位于有效边界下方的投资组合都是次优的 (sub-optimal)，因为存在一个位于边界上的组合，它要么在相同风险下提供更高收益，要么在相同收益下承担更低风险。理性的投资者只会选择有效边界上的投资组合。
寻找有效边界的过程是一个{{{优化}}}(Optimization)问题，具体来说是{{{二次规划}}} (Quadratic Programming)，其目标是在满足特定收益水平的约束下，最小化投资组合的方差。
## 引入无风险资产：资本市场线 (Capital Market Line)
当我们在仅包含风险资产的有效边界基础上，引入一个{{{无风险资产}}}（如{{{国库券}}}）时，投资机会集得到了扩展。投资者现在可以在无风险资产和某个风险资产组合之间进行配置。
所有这些由无风险资产和一个风险资产组合构成的新组合，在风险-收益图上形成一条直线，称为{{{资本配置线}}} (Capital Allocation Line, CAL)。
在所有可能的CAL中，有一条是“最优”的，它从无风险利率点出发，与有效边界相切。这条切线被称为{{{资本市场线}}} (Capital Market Line, CML)。
* 切点组合 (Tangency Portfolio)：CML与有效边界的切点所代表的投资组合被称为最优风险资产组合 (Optimal Risky Portfolio)。理论上，这个组合是独立于投资者个人风险偏好的，所有理性投资者都会选择持有这个相同的风险资产组合。在{{{资本资产定价模型}}} (CAPM) 的框架下，这个组合就是{{{市场组合}}} (Market Portfolio)。 * 夏普比率 (Sharpe Ratio)：CML的斜率衡量了每单位总风险所能获得的超额回报（超过无风险利率的回报），即该组合的{{{夏普比率}}}。CML是所有可能组合中夏普比率最高的。
## 两基金分离定理 (Two-Fund Separation Theorem)
CML的出现引出了一个重要的结论：两基金分离定理。该定理指出，所有投资者的最优投资决策可以分为两步：
1. 投资决策 (Investment Decision)：确定最优风险资产组合（即市场组合）。这一步对于所有投资者都是相同的。 2. 融资决策 (Financing Decision)：根据个人独有的{{{风险容忍度}}}，决定如何在无风险资产和最优风险资产组合之间分配资金。 * 风险规避程度高的投资者，会持有较多无风险资产和较少市场组合。 * 风险规避程度低的投资者，会持有较少无风险资产和较多市场组合，甚至可能通过借入无风险资金来{{{杠杆化}}}投资于市场组合。
因此，所有投资者的投资组合都只是“无风险资产”和“市场组合”这两个“基金”的不同组合。
## MPT的批评与局限性
尽管MPT具有里程碑式的意义，但其严格的假设在现实中往往难以成立，因此该理论也面临诸多批评：
* 对输入的极端敏感性：MPT的输出（最优权重）对输入参数（预期收益、方差、协方差）的微小变化极为敏感。而这些参数，特别是预期收益，极难准确预测，导致模型在实践中可能产生不稳定且不直观的资产配置建议，这被称为“误差最大化”问题。 * 正态分布假设不成立：大量实证研究表明，金融资产的收益率分布常常表现出{{{厚尾}}} (Fat Tails)和{{{偏度}}} (Skewness)，意味着极端事件（崩盘或暴涨）的发生概率远高于正态分布的预测。 * 风险的定义：MPT将风险等同于波动性（标准差），这可能不完全符合投资者的直观感受。投资者通常更关心{{{下行风险}}}（即亏损的可能性），而不是上行的波动。为解决此问题，后续理论如{{{后现代投资组合理论}}} (PMPT) 提出了使用如{{{索提诺比率}}} (Sortino Ratio) 等下行风险指标。 * 忽视了交易成本和税收：在现实世界中，交易成本和税收会显著影响投资组合的调整和最终回报。 * 行为金融学的挑战：{{{行为金融学}}}的研究表明，投资者并非总是理性的，会受到情绪、认知偏见等心理因素的影响，从而做出偏离MPT理性人假设的决策。
尽管存在这些局限，现代投资组合理论依然是不可或缺的金融工具。它首次用科学和数学的语言系统地阐述了多元化的好处，为后来的{{{资本资产定价模型}}} (CAPM)、{{{套利定价理论}}} (APT) 以及整个{{{资产配置}}}行业奠定了理论基础。它改变了投资行业的游戏规则，使投资的关注点从挑选“明星股票”转向构建一个稳健的、经过风险调整的整体投资组合。