# 复利 (Compound Interest)
复利 (Compound Interest) 是{{{金融学}}}和数学中的一个核心概念，指的是在计算{{{利息}}}时，不仅将{{{本金}}} (Principal) 计入，还将之前累计的利息也作为新的本金，从而实现“利滚利”的效应。这种利息计算方法是{{{投资}}}、{{{储蓄}}}和{{{贷款}}}等金融活动中财富增长或债务累积的基本驱动力，并体现了{{{时间价值}}} (Time Value of Money) 的核心思想。
与 {{{单利}}} (Simple Interest) 只对原始本金计算利息不同，复利的关键在于其利息的 再投资 过程。每一期的利息都会加入到本金中，成为下一期计算利息的基础。这种机制导致了资本价值随时间推移呈现出 {{{指数增长}}} (Exponential Growth)，而不是线性增长。
## 基本原理：与单利的对比
为了更好地理解复利，我们可以通过一个简单的例子将其与单利进行对比。
假设有 ＄1,000 的本金，年{{{利率}}}为 10%。
单利计算方式： 每年的利息都是基于原始本金 ＄1,000 计算的。 * 第一年利息：＄1,000 × 10% = ＄100。年末总额：＄1,100。 * 第二年利息：＄1,000 × 10% = ＄100。年末总额：＄1,200。 * 第三年利息：＄1,000 × 10% = ＄100。年末总额：＄1,300。 在单利下，每年的利息收入是固定的。
复利计算方式 (假设每年计息一次)： 每年的利息是基于上一年度的末尾总额计算的。 * 第一年末总额：＄1,000 × (1 + 10%) = ＄1,100。 * 第二年末总额：＄1,100 × (1 + 10%) = ＄1,210。其中，第二年的利息为 ＄110，这 ＄10 的额外利息是第一年产生的 ＄100 利息所赚取的利息 (＄100 × 10%)。 * 第三年末总额：＄1,210 × (1 + 10%) = ＄1,331。其中，第三年的利息为 ＄121。
通过对比可以发现，在复利模式下，账户价值的增长速度越来越快。这种加速增长的效应正是复利的威力所在，尤其在长期投资中表现得极为显著。
## 复利的计算公式
复利的计算依赖于一个标准公式，该公式可以计算出在一定时期后投资的{{{未来值}}} (Future Value, FV)。
$$ FV = PV \cdot \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} $$
其中： * $FV$ (Future Value) 是终值或未来价值，即本金和利息的总和。 * $PV$ (Present Value) 是{{{现值}}}或本金，即初始投资金额。 * $r$ 是名义年利率 (Nominal Annual Interest Rate)，以小数形式表示 (例如，5% 应写为 0.05)。 * $n$ 是每年计息的次数 (Compounding Frequency)。例如，年复利 $n=1$，半年复利 $n=2$，季度复利 $n=4$，月复利 $n=12$。 * $t$ 是投资或贷款的年数。
### 计息频率 (Compounding Frequency) 的影响
计息频率 $n$ 对最终的投资回报有着重要影响。在相同的名义年利率 $r$ 下，计息频率越高，利息转化为本金的速度就越快，总回报也越高。
示例： 本金 $PV = ＄1,000$，年利率 $r = 10\%$，投资期 $t = 1$ 年。 * 按年计息 ($n=1$)：$FV = 1000 \cdot (1 + \frac{0.10}{1})^{1 \cdot 1} = ＄1,100.00$ * 按半年计息 ($n=2$)：$FV = 1000 \cdot (1 + \frac{0.10}{2})^{2 \cdot 1} = 1000 \cdot (1.05)^2 = ＄1,102.50$ * 按季度计息 ($n=4$)：$FV = 1000 \cdot (1 + \frac{0.10}{4})^{4 \cdot 1} = 1000 \cdot (1.025)^4 \approx ＄1,103.81$ * 按月计息 ($n=12$)：$FV = 1000 \cdot (1 + \frac{0.10}{12})^{12 \cdot 1} \approx ＄1,104.71$ * 按日计息 ($n=365$)：$FV = 1000 \cdot (1 + \frac{0.10}{365})^{365 \cdot 1} \approx ＄1,105.16$
从上例可以看出，随着 $n$ 的增加，终值 $FV$ 也在增加。然而，当 $n$ 变得非常大时，其边际效应递减。这就引出了{{{连续复利}}}的概念。
## 连续复利 (Continuous Compounding)
连续复利是复利的一个理论极限情况，它假设计息的频率 $n$ 趋向于无穷大，即利息在每一瞬间都在被计算并加入本金。这在理论金融模型中，如期权定价的{{{Black-Scholes模型}}}中，是一个非常重要的概念。
当 $n \to \infty$ 时，复利公式收敛于一个基于自然常数 {{{欧拉数e}}} ($e \approx 2.71828$) 的新公式。
数学上，$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} = e^{rt}$。
因此，连续复利的公式为：
$$ FV = PV \cdot e^{rt} $$
其中 $e$ 是自然对数的底。
示例： 继续使用上面的例子，$PV = ＄1,000$，$r = 10\%$，$t = 1$ 年。 在连续复利下，$FV = 1000 \cdot e^{0.10 \cdot 1} \approx 1000 \cdot 1.10517 = ＄1,105.17$。 这个值是所有计息频率下能达到的最大终值。
## 应用与重要性
1. 投资与财富积累：复利是长期投资（如{{{股票}}}、{{{债券}}}、{{{共同基金}}}）获得显著回报的核心。对于年轻的投资者而言，更长的投资时间（$t$ 值更大）能让复利效应最大化。
2. 债务与贷款：复利同样作用于债务。例如，{{{信用卡}}}的未偿还余额通常会按月甚至按日计算复利，这使得债务能够迅速增长，给借款人带来沉重负担。
3. 宏观经济分析：经济学家使用复利增长模型来描述和预测{{{国内生产总值}}} (GDP) 的增长、{{{通货膨胀}}}对购买力的侵蚀，以及人口增长等。
## 72法则 (Rule of 72)
{{{72法则}}} 是一个快速估算投资翻倍所需时间的经验法则。虽然它是一个近似值，但在进行快速心算时非常有用。
公式：
$$ \text{投资翻倍所需年数} \approx \frac{72}{\text{年利率 (百分比形式)}} $$
示例： 如果一项投资的年回报率为 8%，那么大约需要 $72 / 8 = 9$ 年，这笔投资的价值才能翻倍。 这个法则的数学基础来自于对复利公式的{{{对数}}}求解。精确解为 $t = \frac{\ln(2)}{\ln(1+r)}$。当 $r$ 较小时，$\ln(1+r) \approx r$，因此 $t \approx \frac{\ln(2)}{r} \approx \frac{0.693}{r}$。为了便于计算，人们选择 69.3 的近似数 72，因为它能被更多的整数（如2, 3, 4, 6, 8, 9, 12）整除。