t检验

t检验 (t-test)

t检验由戈塞特（"Student"）1908年发表→适用于小样本（n<30）且总体标准差未知时比较均值显著差异。核心：t=信号/噪声=均值差/标准误。大样本→t分布趋近正态。

假设：独立性；正态性（但有CLT→n>30稳健）；方差齐性（独立样本时，不满足→Welch's t）；数据连续或有序分类。

三种类型

单样本t：$\bar{x}$与已知$\mu_0$比较→$t=(\bar{x}-\mu_0)/(s/\sqrt{n})$，$df=n-1$。

独立样本t：方差相等→合并标准差$s_p=\sqrt{((n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2)/(n_1+n_2-2)}$→$t=(\bar{x}_1-\bar{x}_2)/(s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2})$，$df=n_1+n_2-2$。方差不一→Welch's t（更稳健推荐）：$t=(\bar{x}_1-\bar{x}_2)/\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}$→Welch-Satterthwaite自由度。

配对样本t：同组前后/配对设计→差异值$d_i=x_{i,\text{后}}-x_{i,\text{前}}$转为单样本→$t=\bar{d}/(s_d/\sqrt{n})$，$df=n-1$。

结果解释与效应量

设显著性水平$\alpha$（通常0.05）→若$p\le\alpha$拒$H_0$→均值差统计显著（非随机造成）；若$p>\alpha$→证据不足表差异。统计显著≠实践意义：大样本下微小差异也可显著。需效应量Cohen's d（标准化→不受样本量影响→度量差异大小实践重要性）。多重比较→勿多t检验→用ANOVA总检验+事后检验。t vs z：标准差已知用z→未知用t（大样本二者趋近）。Levene's test判断方差齐性。