t检验 (t-test)
t检验 由戈塞特 （"Student"）1908年发表→适用于小样本（n<30）且总体标准差 未知时比较均值 显著差异。核心：t=信号/噪声=均值差/标准误 。大样本→t分布 趋近正态。
假设：独立性；正态性 （但有CLT→n>30稳健）；方差齐性（独立样本时，不满足→Welch's t）；数据连续或有序分类。
三种类型
单样本t ：x ˉ \bar{x} x ˉ μ 0 \mu_0 μ 0 t = ( x ˉ − μ 0 ) / ( s / n ) t=(\bar{x}-\mu_0)/(s/\sqrt{n}) t = ( x ˉ − μ 0 ) / ( s / n ) d f = n − 1 df=n-1 df = n − 1
独立样本t ：方差相等→合并标准差s p = ( ( n 1 − 1 ) s 1 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 ) / ( n 1 + n 2 − 2 ) s_p=\sqrt{((n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2)/(n_1+n_2-2)} s p = (( n 1 − 1 ) s 1 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 ) / ( n 1 + n 2 − 2 ) t = ( x ˉ 1 − x ˉ 2 ) / ( s p 1 / n 1 + 1 / n 2 ) t=(\bar{x}_1-\bar{x}_2)/(s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}) t = ( x ˉ 1 − x ˉ 2 ) / ( s p 1/ n 1 + 1/ n 2 ) d f = n 1 + n 2 − 2 df=n_1+n_2-2 df = n 1 + n 2 − 2 Welch's t （更稳健推荐）：t = ( x ˉ 1 − x ˉ 2 ) / s 1 2 / n 1 + s 2 2 / n 2 t=(\bar{x}_1-\bar{x}_2)/\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2} t = ( x ˉ 1 − x ˉ 2 ) / s 1 2 / n 1 + s 2 2 / n 2
配对样本t ：同组前后/配对设计→差异值d i = x i , 后 − x i , 前 d_i=x_{i,\text{后}}-x_{i,\text{前}} d i = x i , 后 − x i , 前 t = d ˉ / ( s d / n ) t=\bar{d}/(s_d/\sqrt{n}) t = d ˉ / ( s d / n ) d f = n − 1 df=n-1 df = n − 1
结果解释与效应量
设显著性水平 α \alpha α p ≤ α p\le\alpha p ≤ α H 0 H_0 H 0 p > α p>\alpha p > α 统计显著≠实践意义 ：大样本下微小差异也可显著。需效应量 Cohen's d （标准化→不受样本量影响→度量差异大小实践重要性）。多重比较→勿多t检验→用ANOVA 总检验+事后检验。t vs z：标准差 已知用z→未知用t（大样本二者趋近）。Levene's test 判断方差齐性。