2011年北京大学金融硕士考研真题

（1）预算约束为 \(pX+qY=I\)。内部解的一阶条件给出 \(p(X-3)=q(Y+2)\)，故 \[ X^*=\frac{I+3p+2q}{2p},\qquad Y^*=\frac{I-3p-2q}{2q}. \] 有效消费要求 \(Y^*\geq0\)，即 \(I\geq3p+2q\)；在此条件下 \(X^*>3\)，所以定义域与非负性要求均得到满足。

（2）在 \(I>3p+2q\) 的内部解下，收入需求弹性为 \[ E_{X,I}=\frac{I}{I+3p+2q},\qquad E_{Y,I}=\frac{I}{I-3p-2q}. \] （3）因此 \(0<E_{X,I}<1\)，\(X\) 是正常品中的必需品；\(E_{Y,I}>1\)，\(Y\) 是正常品中的奢侈品。

（4）由于 \[ \frac{\partial X^*}{\partial I}=\frac1{2p}>0,\qquad \frac{\partial Y^*}{\partial I}=\frac1{2q}>0, \] 两者都不可能是低档品。又有 \[ \frac{\partial X^*}{\partial p}=-\frac{I+2q}{2p^2}<0, \qquad \frac{\partial Y^*}{\partial q}=-\frac{I-3p}{2q^2}<0, \] 其中第二个不等式由 \(I\geq3p+2q>3p\) 得到，故两者也都不可能是吉芬商品。

（1）分别令两类消费者对应的边际收益等于 \(MC=3\)。第一类有 \(MR_1=6-1.6q_1\)，第二类有 \(MR_2=12-2q_2\)，所以每位消费者的最优价格与产量分别为 \[ (p_1,q_1)=(4.5,1.875),\qquad (p_2,q_2)=(7.5,4.5). \]

（2）若两类都进入，给定按件价格 \(p<6\)，固定费应取第一类消费者剩余 \[ F=CS_1(p)=0.625(6-p)^2. \] 总利润为 \[ \Pi(p)=18.75(6-p)^2+(p-3)(315-32.5p), \qquad \Pi'(p)=187.5-27.5p>0. \] 因而严格要求两类都有正消费时不存在达到最大值的有限方案；令 \(p\to6^-\)、\(F\to0\)，利润上确界为 360。

若只服务一类消费者，最优按件价格为边际成本 \(p=3\)，再以固定费提取消费者剩余。只服务第一类时 \(F=5.625\)、利润为 56.25；只服务第二类时 \(F=40.5\)、利润为 810。比较可知厂商选择只服务第二类消费者，即 \[ p^*=3,\qquad F^*=40.5. \]

边际成本为 \(MC_i=2\alpha\beta+2\beta^2q_i\)。（1）价格接受者把市场价格 \(P\) 视为给定，因此 \[ q_i^*=\max\left\{\frac{P-2\alpha\beta}{2\beta^2},0\right\}. \] 企业自身不能决定价格；题目未另给需求时，最优价格只能记为外生市场价格 \(P\)。

（2）在给定 \(P\) 下，两家、四家或一般 \(N\) 家相同企业的平均产量都等于上述单个企业供给量，平均价格均为 \(P\)。若把 \(N\to\infty\) 进一步解释为自由进入的长期竞争极限，则 \(P=\min AC\)。由 \(MC=AC\) 得 \[ \bar q\to\frac{\alpha}{\beta},\qquad P\to4\alpha\beta. \]

（3）若市场中只有该企业，则 \(Q=q_i\)。联立 \(P=a-bQ\) 与供给条件得到 \[ Q^*=q_i^*=\frac{a-2\alpha\beta}{b+2\beta^2}. \] 代数解唯一要求 \(b+2\beta^2\neq0\)，正产量还要求分子与分母同号；在通常的 \(b>0\)、\(\beta>0\) 设定下，唯一正均衡的条件是 \(a>2\alpha\beta\)。

（1）古诺企业的一阶条件为 \[ P+q_iP'(Q)-c_i=0, \] 故 \(P-c_i=-P'(Q)q_i\)。由需求价格弹性 \(\varepsilon=-\frac{dQ}{dP}\frac{P}{Q}\) 可得 \(P'(Q)=-\frac{P}{Q\varepsilon}\)，于是 \[ \pi_i=(P-c_i)q_i=\frac{Pq_i^2}{Q\varepsilon}. \] 对企业求和并除以 \(PQ\)，便有 \[ \frac{\sum_i\pi_i}{PQ} =\frac1\varepsilon\sum_i\left(\frac{q_i}{Q}\right)^2 =\frac{H}{\varepsilon}. \]

（2）同一阶条件还给出 \[ \frac{P-c_i}{P}=\frac{q_i}{Q\varepsilon}=\frac{\alpha_i}{\varepsilon}. \] 两边乘以 \(\alpha_i\) 并求和，即得 \[ \sum_{i=1}^N\alpha_i\frac{P-c_i}{P} =\frac1\varepsilon\sum_{i=1}^N\alpha_i^2 =\frac{H}{\varepsilon}. \]

至少一人告发时，告发者收益为 3，未告发者收益为 4；无人告发时所有人收益为 0。（1）所有纯战略纳什均衡都是“恰有一人告发”，共有 \(k\) 个。无人告发时任一人愿意告发；两人及以上告发时任一告发者愿意改为不告发。

（2）两人对称地以概率 \(p\) 告发时，告发收益为 3，不告发的期望收益为 \(4p\)。无差异条件 \(3=4p\) 给出 \[ p^*=\frac34. \]

（3）一般 \(k\) 人下，不告发的期望收益为 \(4[1-(1-p)^{k-1}]\)。由无差异条件得到 \[ p^*=1-\left(\frac14\right)^{\frac1{k-1}}. \] 因此罪犯被抓获的概率为 \[ 1-(1-p^*)^k =1-\left(\frac14\right)^{\frac{k}{k-1}}. \]

（1）两个总体均值的矩估计量分别为样本均值，因此 \[ \hat\mu=\bar X-\bar Y. \] （2）两组样本独立时 \[ D(\hat\mu)=D(\bar X)+D(\bar Y) =\frac4{n_1}+\frac9{n_2}. \]

（3）在 \(n_2=100-n_1\) 下令方差对 \(n_1\) 的导数为零： \[ -\frac4{n_1^2}+\frac9{(100-n_1)^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n_1}{n_2}=\frac23. \] 故最优分配为 \[ n_1=40,\qquad n_2=60, \] 此时 \(D(\hat\mu)=0.25\)。

（1）原假设与备择假设为 \[ H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3, \qquad H_1:\mu_1,\mu_2,\mu_3\text{ 不全相等}. \]

（2）总样本均值为 \(\bar{\bar x}=14\)。组间平方和与组内平方和分别为 \[ SSA=20(20-14)^2+20(12-14)^2+20(10-14)^2=1120, \] \[ SSE=19\times20+19\times13+19\times10=817. \] 自由度分别为 2 和 57，所以 \[ F=\frac{1120/2}{817/57}\approx39.07. \]

（3）在 5% 显著性水平下，\(F_{0.95}(2,57)\approx3.16\)。由于 \(39.07>3.16\)，拒绝 \(H_0\)，认为三种策略的销售效果存在显著差异；从样本均值看，广告策略最高。

（1）最小化 \(\sum_i(Y_i-\beta X_i)^2\) 得 \[ \beta_{\mathrm{ols}} =\frac{\sum_{i=1}^nX_iY_i}{\sum_{i=1}^nX_i^2}. \] （2）将 \(X_i\) 视为给定常数并利用干扰项相互独立，有 \[ D(\beta_{\mathrm{ols}}) =\frac{\sum_{i=1}^nX_i^2\delta_i^2} {\left(\sum_{i=1}^nX_i^2\right)^2}. \]

（3）已知异方差时，以 \(1/\delta_i^2\) 为权重最小化加权残差平方和，得到 \[ \beta_{\mathrm{gls}} =\frac{\sum_{i=1}^n X_iY_i/\delta_i^2} {\sum_{i=1}^n X_i^2/\delta_i^2}. \] （4）其方差为 \[ D(\beta_{\mathrm{gls}}) =\frac1{\sum_{i=1}^n X_i^2/\delta_i^2}. \]