2012年北京大学金融硕士考研真题

（1）未被查获和被查获时的财富分别为 \[ W_0=w-tx,\qquad W_1=w[1-t(1+\theta)]+\theta tx. \] 因而期望效用为 \[ EU(x)=(1-p)\ln(w-tx)+p\ln\!\left(w[1-t(1+\theta)]+\theta tx\right). \] 内点一阶条件给出 \[ x_I=\frac{w\{p\theta-(1-p)[1-t(1+\theta)]\}}{\theta t}. \] 最优申报额为 \(x^*=\min\{w,\max\{0,x_I\}\}\)，并且与真实收入 \(w\) 成正比，比例只取决于 \(p,t,\theta\)。

（2）当 \(\theta=0\) 时，被查获后的财富与申报额无关，而 \[ EU'(x)=-(1-p)\frac{t}{w-tx}<0, \] 所以最优选择为 \(x^*=0\)。

（3）当 \(x=0\) 处的边际期望效用不为正时，零申报是最优角点： \[ p\theta\leq(1-p)[1-t(1+\theta)]. \] 同时必须有 \(1-t(1+\theta)>0\)，否则被查获时的财富非正，对数效用无定义。

（1）统一价格下，总需求和利润为 \[ Q=100(x+y)-(2x+y)p,\qquad \pi=pQ. \] 一阶条件给出 \[ p^*=\frac{50(x+y)}{2x+y}. \] 因而每个学生和每个非学生的消费量分别为 \[ q_s=\frac{100x}{2x+y},\qquad q_{ns}=\frac{150x+50y}{2x+y}. \]

（2）分市场最大化 \(p_s(100-2p_s)\) 与 \(p_{ns}(100-p_{ns})\)，得到 \[ p_s^*=25,\quad p_{ns}^*=50,\quad q_s^*=q_{ns}^*=50. \]

（3）两种制度的总产量均为 \(50(x+y)\)。统一定价使两类消费者在消费边界上的边际支付意愿相同；价格歧视下学生与非学生的边际支付意愿分别为 25 和 50，仍可把产品从低估值者转给高估值者以增加总剩余。因此在本题中，统一定价的社会福利更高。

（1）给定产能 \((x_1,x_2)\)，第二阶段均衡中两家均以产能上限销售，\(q_i=x_i\)。市场出清价格为 \[ p=\frac{\alpha-x_1-x_2}{\beta}. \]

（2）厂商 \(i\) 的第一阶段利润为 \[ \pi_i=\left(\frac{\alpha-x_i-x_j}{\beta}-c\right)x_i-\frac12kx_i^2. \] 因此其反应函数为 \[ BR_i(x_j)=\max\left\{0,\frac{\alpha-\beta c-x_j}{2+\beta k}\right\}. \]

（3）对称均衡满足 \(x_1=x_2=x^*\)，故 \[ x_1^*=x_2^*=\frac{\alpha-\beta c}{3+\beta k}. \]

（4）\(\beta c<\alpha\) 等价于需求价格轴截距 \(\alpha/\beta\) 高于边际成本，保证存在正的产能投资和非平凡均衡；否则最优产能退化为 0。条件 \(\alpha<kc\) 在现有变量定义下量纲不一致，若无进一步说明，不能赋予明确的均衡作用。

（1）第二阶段最大化 \(Q(10-Q)\)，故 \[ Q^*(K_X,K_Y)=\min\{5,K_X+K_Y\}. \] 若总产能小于 5，\(X\) 的利润为 \(K_X(8-K_X-K_Y)\)；若总产能不小于 5，其利润为 \(25K_X/(K_X+K_Y)-2K_X\)。比较各区域并加入非负约束，得到 \[ BR_X(K_Y)= \begin{cases} \dfrac{8-K_Y}{2}, & 0\leq K_Y<2,\\ \sqrt{\dfrac{25K_Y}{2}}-K_Y, & 2\leq K_Y<\dfrac{25}{2},\\ 0, & K_Y\geq\dfrac{25}{2}. \end{cases} \] \(BR_Y(K_X)\) 由对称性同理得到。

（2）总产能小于 5 的对称候选解为 \(K=8/3\)，但其总产能 \(16/3>5\)，与区域条件矛盾。总产能不小于 5 时，对称一阶条件为 \[ \frac{25}{4K}-2=0, \] 因而 \[ K_X^*=K_Y^*=\frac{25}{8},\qquad Q^*=5. \] 两人的均衡净收益均为 \[ \pi_X^*=\pi_Y^*=\frac{25}{4}=6.25. \]

（1）无收费均衡要求两条路线的通行时间相同： \[ 45=20+\frac{N}{100}, \] 因而 \(N=2500\)。

（2）设 \(N\) 人走市区，总通行时间为 \[ T(N)=(6000-N)45+N\left(20+\frac{N}{100}\right) =270000-25N+\frac{N^2}{100}. \] 由 \(T'(N)=0\) 得社会最优人数 \(N^*=1250\)。

（3）平均返还对路线比较是共同项。要实现 \(N^*=1250\)，令第 1250 人恰好无差异。此时市区通行时间为 32.5 分钟，\(W_{1250}=13.75\)，所以 \[ F=(45-32.5)\times13.75=171.875. \]

（4）收费方案最优。无收费造成过度进入；随机限额与收费都能把流量降至 1250，但随机抽签不能保证快速通道分配给时间价值较高者。收费既内部化拥堵外部性，又通过支付意愿改善通道的配置效率。

（1）最小化 \(\sum_i(y_i-\beta x_i)^2\)，得到 \[ \hat\beta_{OLS}=\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2}, \qquad \operatorname{Var}(\hat\beta_{OLS})=\frac{\delta^2}{\sum_{i=1}^n x_i^2}. \]

（2）本题误差协方差矩阵为 \(\Omega=\delta^2I_n\)，故 \[ \hat\beta_{GLS}=(X'\Omega^{-1}X)^{-1}X'\Omega^{-1}Y =\hat\beta_{OLS}, \] 其方差同样为 \(\delta^2/\sum_i x_i^2\)。

（3）加入 \(z_i\) 后需联立两个正态方程，得到 \[ \hat\beta= \frac{(\sum z_i^2)(\sum x_iy_i)-(\sum x_iz_i)(\sum z_iy_i)} {(\sum x_i^2)(\sum z_i^2)-(\sum x_iz_i)^2}. \] 新估计量会剔除 \(z_i\) 与 \(x_i\) 的相关影响；只有当 \(\sum x_iz_i=0\) 时，才退化为原来的一元过原点估计式。

（1）设三种策略的总体均值为 \(\mu_1,\mu_2,\mu_3\)，则 \[ H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3, \qquad H_1:\text{至少有两个总体均值不相等}. \]

（2）总样本量 \(N=60\)，总均值为 \(\bar x=40/3\)。组间与组内平方和分别为 \[ SSB=\frac{13440}{9},\qquad SSW=19(7^2+13^2+10^2)=6042. \] 因此 \[ MSB=\frac{SSB}{2}=\frac{2240}{3},\qquad MSW=\frac{SSW}{57}=106, \] \[ F=\frac{MSB}{MSW}=\frac{1120}{159}\approx7.04. \] 统计量服从 \(F(2,57)\) 分布；\(7.04\) 大于 5% 临界值约 3.16，也大于 1% 临界值约 5.00。

（3）在 1% 显著性水平下拒绝 \(H_0\)。三种销售策略对应的总体均值并不完全相同，销售策略对观测指标有显著影响。

（1）直接使用线性概率模型时，拟合概率可能落在 \([0,1]\) 之外；误差条件方差 \(P_i(1-P_i)\) 随 \(x_i\) 变化，存在异方差；误差不服从正态分布；并且固定边际效应难以反映概率接近 0 或 1 时效应趋弱的特征。

（2）经典模型是 Logit 与 Probit： \[ P(y_i=1\mid x_i)=F(x_i'\beta), \] 其中 Logit 取 \(F(z)=\Lambda(z)=e^z/(1+e^z)\)，Probit 取 \(F(z)=\Phi(z)\)。两者都把预测概率限制在 \((0,1)\) 内。

（3）一般二元选择模型的对数似然函数为 \[ \ell(\beta)=\sum_{i=1}^n\left\{ y_i\ln F(x_i'\beta)+(1-y_i)\ln[1-F(x_i'\beta)] \right\}. \] 令其得分为零，得到似然方程 \[ \sum_{i=1}^n \frac{y_i-F(x_i'\beta)}{F(x_i'\beta)[1-F(x_i'\beta)]} f(x_i'\beta)x_i=0. \]

（4）设配偶收入系数为 \(\beta_x\)，其余线性组合为 \(\eta_i\)，收入增加 \(\Delta x\) 后就业概率的精确变化为 \[ \Delta P=F(\eta_i+\beta_x\Delta x)-F(\eta_i), \] 小幅变化时约为 \(f(\eta_i)\beta_x\Delta x\)。若收入以万元计，\(\Delta x=1\)；若以元计，\(\Delta x=10000\)。因此没有系数、模型和个体取值时不能给出唯一数值。若“几率”指 Logit 的发生比，则一万元增长会使发生比乘以 \(e^{\beta_x\Delta x}\)。