2013年北京大学金融硕士考研真题

（1）消费集由 \[2x_1+x_2\le60,\qquad x_1+2x_2\le30,\qquad x_1,x_2\ge0\] 确定；第一象限内粮票约束更紧，有效边界为 \(x_1+2x_2=30\)。代入效用函数得 \(U=40x_2-2x_2^2\)，故 \[(x_1^*,x_2^*)=(10,10).\]

（2）粮票按 1 元自由交易时，两种商品的完全价格均为 3 元，总财富为 \(60+30=90\)，所以消费集为 \[x_1+x_2\le30,\qquad x_1,x_2\ge0.\] 在预算线上最大化 \(U=x_2(40-x_2)\)，得 \((x_1^*,x_2^*)=(10,20)\)。该组合需要 50 张粮票，超过原有 30 张，故需净买入 20 张粮票。

（1）每个人在两种安排下的财富分布为：

（2）风险中性时可取 \(U(V)=V\)。两方案期望财富同为 \(W-PL\)，因而期望效用相同，二人无差异。

（3）若 \(U''(V)<0\)，则两方案期望效用之差为 \[ E[U(V_B)]-E[U(V_A)] =2P(1-P)\left[U(W-0.5L)-\frac{U(W-L)+U(W)}2\right]. \] 由严格凹性和 Jensen 不等式，方括号内为正；当 \(0<P<1\) 时，风险共担在不改变期望财富的同时压缩波动，因此风险厌恶者严格偏好风险共担。

（1）若只服务第一类消费者，令 \(MR_1=125-6X_1=MC=5\)，得 \(X_1=20\)、\(P=65\)，利润为 1200。若价格降至第二类消费者可以购买的区间，内部最优价格 35 与 \(P\le25\) 矛盾；边界 \(P=25\) 的利润仅为 \(2000/3\)。故最优统一价格为 \[P^*=65.\]

（2）按整单折扣解释，第一类消费者购买 \(q\) 单位的总价值为 \[V_1(q)=125q-\tfrac32q^2.\] 令 \(p_1\ge125\) 排除小额购买，并使门槛订单满足 \(p_2x=V_1(x)\)，厂商利润为 \(\pi(x)=V_1(x)-5x=120x-\tfrac32x^2\)。最优门槛和价格为 \[x^*=40,\qquad p_2=\frac{V_1(40)}{40}=65,\qquad p_1\ge125,\] 对应利润为 2400；同一门槛下不再单独服务第二类消费者。

（1）纯策略纳什均衡为 \[(L,L),\qquad(N,H),\qquad(N,N).\] 后两个是弱纳什均衡。另有一族混合均衡：王刚以 \(1/3\) 选择 L、以 \(2/3\) 选择 N；李红以 \(2/3\) 选择 L，其余 \(1/3\) 的概率可在 H 与 N 之间任意分配。

（2）李红先行动时，王刚对 H、L、N 的最优回应分别是 N、L、N。李红预见后选择 L，唯一子博弈精炼纳什均衡结果为 \[(L,L),\qquad \text{收益 }(1,2).\]

（3）王刚先行动时，李红对 H、L 的最优回应分别为 N、L，对 N 则在 H 与 N 间无差异。若她在 N 后选 N，均衡结果为 \((L,L)\)；若她在 N 后选 H，均衡结果为 \((N,H)\)。两者均可构成纯策略子博弈精炼纳什均衡。

（4）李红先行动时王刚收益为 1；王刚先行动时存在使其收益为 3 的均衡，因此按可能达到的均衡结果，他偏好自己先行动。若排除依赖李红在无差异节点选择 H 的弱均衡，则两种顺序均得到 \((L,L)\)，王刚无差异。

（1）独立决策时，电影院由 \(48-2x=0\) 得 \(x^*=24\)、利润 576；肯德基由 \(60-2y+x=0\) 得 \(y^*=42\)、利润 1764。因此 \[(x^*,y^*)=(24,42),\qquad \Pi=2340.\]

（2）合并企业最大化 \[\Pi=48x-x^2+60y-y^2+xy.\] 联立 \(48-2x+y=0\) 与 \(60-2y+x=0\)，得 \[(x^*,y^*)=(52,56),\qquad \Pi^*=2928.\] 合并通过内部化电影院带来的正外部性提高了两类店面数量和总利润。

（3）补贴下电影院选择 \(x=24+S/2\)，肯德基选择 \(y=42+S/4\)。代回肯德基利润得 \[\pi_k(S)=1764-3S-\frac7{16}S^2.\] 在 \(S\ge0\) 下最优补贴为 \(S^*=0\)，故最终仍有 \[x^*=24,\qquad y^*=42.\]

（1）大样本下均值的 95% 置信区间为 \[15\%\pm1.96\frac{9\%}{\sqrt{100}}=15\%\pm1.764\%,\] 即 \([13.24\%,16.76\%]\)。

（2）若将题意理解为未来一年价格区间，则一年对数收益率的 95% 区间为 \[0.15\pm1.96\times0.09=[-0.0264,0.3264].\] 由 \(P_1=10e^r\)，价格区间为 \[[10e^{-0.0264},10e^{0.3264}]\approx[9.74,13.86]\text{ 元}.\]

（1）A 股平均收益率的 90% 置信区间为 \[5\%\pm1.645\frac{5\%}{\sqrt{100}}=[4.18\%,5.82\%].\]

（2）检验 \(H_0:\mu_A=\mu_B\)。大样本统计量为 \[ Z=\frac{0.05-0.075}{\sqrt{0.05^2/100+0.10^2/100}}\approx-2.236. \] 因 \(|Z|>1.96\)，在 5% 显著性水平下拒绝原假设，B 股平均收益率显著高于 A 股。

（3）B 股绝对收益更高，但标准差是 A 股的两倍。若无风险利率近似为 0，则 \(SR_A=1\)、\(SR_B=0.75\)，A 股风险调整后表现更优；风险厌恶者可偏向 A 股，能够承受更大波动且重视绝对收益者可考虑 B 股。

（1）残差自由度为 \(141-3-1=137\)，10% 双侧临界值约为 1.656。三个斜率的统计量分别为 \[t_{\mathrm{Income}}\approx14.29,\qquad t_{\mathrm{Age}}\approx0.20,\qquad t_{\mathrm{Investment}}\approx10.85.\] 因此 Income 与 Investment 对 GDP 有显著影响，Age 的影响不显著。

（2）总体检验的原假设为三个斜率同时等于 0。统计量 \[F=\frac{0.234/3}{(1-0.234)/137}\approx13.95.\] 该值大于 \(F(3,137)\) 在 10% 水平下约为 2.1 的临界值，故拒绝“所有变量同时无影响”的原假设，回归方程整体显著。

（1）回归模型为 \[Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\varepsilon.\] \(\beta_0\) 是两个解释变量均为 0 时的平均基准成绩；\(\beta_1\) 是控制 \(X_2\) 后，\(X_1\) 每增加一单位带来的平均成绩变化；\(\beta_2\) 同理表示控制 \(X_1\) 后 \(X_2\) 的边际影响。

（2）总体显著性检验为 \[H_0:\beta_1=\beta_2=0,\qquad H_1:\beta_1,\beta_2\text{ 至少一个不为 }0.\] 常规 \(F\) 检验还要求误差项均值为 0、同方差且相互独立，并在有限样本精确推断中假定正态性。

（3）设样本量为 \(n\)，方差分析表为：

检验统计量为 \[F=\frac{SSR/2}{SSE/(n-3)}.\] 若 \(F>F_{\alpha}(2,n-3)\)，则拒绝 \(H_0\)，认为回归整体显著。原题未给出 \(SSR\)、\(SSE\)、\(n\) 或现成方差分析表的数值，因此无法作数值判断。

设 \(R_t=\alpha+\beta M_t+\varepsilon_t\)。（1）最小二乘估计为 \[ \hat\beta=\frac{\sum_{t=1}^n(M_t-\bar M)(R_t-\bar R)}{\sum_{t=1}^n(M_t-\bar M)^2}, \qquad \hat\alpha=\bar R-\hat\beta\bar M. \]

（2）当自变量为 \(M_0\) 时，点预测为 \[\hat R_0=\hat\alpha+\hat\beta M_0.\]

（3）记 \[S_e=\sqrt{\frac{\sum_{t=1}^n(R_t-\hat R_t)^2}{n-2}},\qquad S_{MM}=\sum_{t=1}^n(M_t-\bar M)^2.\] 若 \(R_0\) 指在 \(M_0\) 处的新观测值，其 95% 预测区间为 \[ \hat R_0\pm t_{0.975,n-2}S_e \sqrt{1+\frac1n+\frac{(M_0-\bar M)^2}{S_{MM}}}. \] 若题目要求条件均值 \(E(R\mid M_0)\) 的 95% 置信区间，则去掉根号内的首项 1。