2014年北京大学金融硕士考研真题

本页整理了 2014 年北京大学金融硕士考研真题，并配有精要答案要点。全卷分为微观经济学和统计学两部分，共十道大题，每部分各五题，每题 15 分。微观经济学部分考查风险分散、垄断价格管制、公共品供给、垂直差异化竞争与公地治理。统计学部分涉及泊松分布置信区间、成对样本检验、内生性、基金收益与风险检验，以及多元回归的方差估计和遗漏变量偏差。题目包含计算、证明、假设检验设计和经济机制分析等任务。

微观经济学部分

风险分散与运输决策（15 分）

一个淘金者挖到了价值 $\$w$ 的金子，他考虑将这些金子从金矿运到城市中花掉。他的一个好朋友答应帮他免费运输，但是这些金子在运输途中有 $p$ 的概率被偷，有 $1-p$ 的概率可以安全到达。假定该淘金者是风险厌恶者，给定其初始财富 $\$w$，效用函数为 $u(w)$，请考虑以下两种运输方案：

一次性运输；
分成两次运输，每次运输一半。

（1）写出上述方案中各种可能发生的情况以及对应的概率和财富值。

（2）该淘金者会选择哪种方案？请给出严格证明。

参考答案要点 ›

（1）一次性运输时，以 $1-p$ 的概率安全到达并拥有财富 $w$，以 $p$ 的概率被偷并拥有财富 0。若两次运输相互独立，则两次都安全、恰有一次安全、两次都被偷的概率分别为 $(1-p)^2$、$2p(1-p)$、$p^2$，对应财富分别为 $w$、$w/2$、0。

（2）两种方案的期望效用分别为 \[ EU_1=(1-p)u(w)+pu(0), \] \[ EU_2=(1-p)^2u(w)+2p(1-p)u\!\left(\frac w2\right)+p^2u(0). \] 因而 \[ EU_2-EU_1=p(1-p)\left[2u\!\left(\frac w2\right)-u(w)-u(0)\right]. \] 风险厌恶意味着 $u$ 严格凹，由 Jensen 不等式，$2u(w/2)>u(w)+u(0)$。所以当 $0<p<1$ 时，淘金者严格偏好分两次运输；$p=0$ 或 $p=1$ 时两种方案无差异。

垄断与价格管制（15 分）

一个垄断厂商所面临的需求为 $Q=\frac{144}{P^{2}}$，平均可变成本为 $AVC=\sqrt{Q}$，固定成本为 $F=5$。求：

（1）该垄断厂商利润最大化时的价格、产量以及利润。

（2）假如政府进行价格管制，规定该产品价格不得高于每单位 $\$4$，则垄断厂商的产量是多少？利润是多少？

（3）假如政府制定最高限价目标使垄断厂商在尽可能高的产量上进行生产，则最高限价应为何种水平？

参考答案要点 ›

反需求函数为 $P=12Q^{-1/2}$，故 $TR=12Q^{1/2}$、$MR=6Q^{-1/2}$。由 $AVC=\sqrt Q$ 得 $TC=Q^{3/2}+5$、$MC=\frac32Q^{1/2}$。

（1）令 $MR=MC$，得到 $Q^*=4$、$P^*=6$，利润为 \[ \pi^*=6\times4-(4^{3/2}+5)=11. \]

（2）限价为 4 时，厂商在水平价格下按 $P=MC$ 选择产量，故 \[ Q=\frac{64}{9}. \] 此时需求量为 9，大于供给量，实际成交量为 $64/9$，利润为 \[ \pi=4\cdot\frac{64}{9}-\left(\frac{64}{9}\right)^{3/2}-5 =\frac{121}{27}. \]

（3）要使受管制产量尽可能高，应令需求价格恰好等于边际成本： \[ 12Q^{-1/2}=\frac32Q^{1/2}. \] 得 $Q=8$，对应最高限价为 $P=3\sqrt2$。此时利润 $8\sqrt2-5>0$，厂商仍愿意生产。

公共品自愿供给（15 分）

某个村子里有 $n$ 个村民和一笔财富 $w_n$，这笔财富会在其中 $k$ 个村民中平均分配（$k\leq n$）。分割钱的人可以自己决定用多少钱来修路、多少钱用于私人消费。每个村民都具有柯布—道格拉斯效用函数 \[ U_i(H,X_i)=H^{0.5}X_i^{0.5}, \] 其中 $H=\sum_{i=1}^kh_i$ 为修路的长度总和，一人修路，全村受益；$X_i$ 为第 $i$ 个村民的私人消费。假设修路和私人消费的单价均为 1。求：

（1）在均衡条件下，这个村子最后修路修了多长？（假设有内点解。）

（2）最优的修路长度随着参与分配这笔财富的村民数 $k$ 发生什么变化？为什么？

参考答案要点 ›

每个参与者获得 $w_i=w_n/k$，预算约束为 $h_i+X_i=w_i$。给定其他人的供给 $H_{-i}$，一阶条件给出 \[ H=h_i+H_{-i}=w_i-h_i=X_i. \] 因此 $h_i=w_i-H$。对 $k$ 个参与者求和： \[ H=\sum_{i=1}^kh_i=w_n-kH, \] 从而均衡修路总长度为 \[ H^*=\frac{w_n}{k+1}. \]

（2）$H^*$ 随 $k$ 增加而下降，因为 \[ \frac{dH^*}{dk}=-\frac{w_n}{(k+1)^2}<0. \] 总财富固定时，参与人数增加会降低每人的禀赋；同时公共品的非排他性强化了搭便车激励，因而自愿供给减少。

垂直差异化产品竞争（15 分）

假设在某地的手机市场上，苹果手机和小米手机进行价格竞争。设小米手机的产品质量为 $S_1=1$，苹果手机的质量为 $S_2=2$，苹果和小米生产手机的边际成本均为 2。消费者都偏好购买高质量手机，但他们对手机质量的偏好程度存在差异，每位消费者只购买一部手机。购买小米手机的净效用为 $\theta S_1-P_1$，购买苹果手机的净效用为 $\theta S_2-P_2$，其中 $P_1,P_2$ 分别为小米手机和苹果手机的价格。$\theta$ 为消费者对质量的看重程度，且在 $[4,11]$ 上服从均匀分布。

（1）当 $P_1=3$、$P_2=10$ 时，$\theta=4$、$\theta=7$、$\theta=11$ 的消费者分别选择何种手机？哪一位消费者会无差异购买苹果手机和小米手机？

（2）给定任一组价格 $(P_1,P_2)$，找出无差异购买苹果手机和小米手机的消费者，并求出消费者对苹果手机和小米手机的需求。

（3）如果苹果手机和小米手机同时决定价格，请求出纳什均衡价格以及均衡时各自的利润。

参考答案要点 ›

消费者购买小米和苹果的净效用分别为 $U_1=\theta-P_1$、$U_2=2\theta-P_2$。

（1）当 $(P_1,P_2)=(3,10)$ 时，$\theta=4$ 选择小米，$\theta=7$ 对两者无差异，$\theta=11$ 选择苹果。一般无差异类型满足 \[ \hat\theta=P_2-P_1, \] 本问中为 $\hat\theta=7$。

（2）在市场完全覆盖且两家需求均为正时，$4\leq\hat\theta\leq11$，需求为 \[ Q_1=\frac{P_2-P_1-4}{7},\qquad Q_2=\frac{11-P_2+P_1}{7}. \]

（3）利润函数为 \[ \pi_1=(P_1-2)\frac{P_2-P_1-4}{7},\qquad \pi_2=(P_2-2)\frac{11-P_2+P_1}{7}. \] 两个一阶条件给出反应函数 $P_2-2P_1-2=0$ 与 $13+P_1-2P_2=0$，联立得 \[ P_1^*=3,\qquad P_2^*=8. \] 此时 $\hat\theta=5$，$Q_1=1/7$、$Q_2=6/7$，两家利润分别为 \[ \pi_1^*=\frac17,\qquad \pi_2^*=\frac{36}{7}. \]

公地悲剧与许可证制度（15 分）

某海湾盛产一种龙虾，附近有一个村子以捕龙虾为生。经营一艘捕虾船每个月花费 200。如果有 $x$ 艘捕虾船，捕虾船的总收入为 \[ f(x)=1000(10.2x-x^2). \]

（1）请计算最大化捕捉龙虾总利润的船只数，此时最大利润为多少？

（2）实际情况下，每个村民都有捕虾的权利，因此没有人可以限制别人的进入。此时会有多少艘捕虾船进入？利润水平如何？

（3）村委会决定发放捕虾许可证，提供许可证的成本为 0，每张许可证只允许一艘船使用。村委会的目标是最大化发放许可证所得利润。每张许可证应收费多少？村委会的利润为多少？

（4）请从经济直觉上说明为什么第（2）问中的解是无效率的，而第（3）问可以解决这种无效率问题。

参考答案要点 ›

总成本为 $200x$，故行业总利润为 \[ \pi(x)=1000(10.2x-x^2)-200x=10000x-1000x^2. \]

（1）由 $\pi'(x)=10000-2000x=0$，社会最优船只数为 $x^*=5$，最大总利润为 $\pi(5)=25000$。

（2）自由进入持续到单船平均收入等于经营成本： \[ 1000(10.2-x)=200. \] 因此有 10 艘船进入，行业总利润为 0。

（3）设许可证费为 $t$，零利润进入条件给出 $x=10-t/1000$。村委会收入为 \[ R(t)=t\left(10-\frac{t}{1000}\right). \] 最大化得 $t^*=5000$，此时发放 5 张许可证，村委会利润为 25000。

（4）自由进入者只比较自己的平均收入和私人成本，没有考虑新增船只压低其他渔民收入的负外部性，导致船只过度进入。许可证通过限制进入并给稀缺的捕捞权定价，将外部成本内部化，使船只数回到社会最优的 5 艘。

统计学部分

泊松分布参数的置信区间（15 分）

连续 201 天观察某一地区商品房交易情况，共记录下 150 笔交易，其分布如下：

一天内交易笔数 $x$	0	1	2	3	4	5	$\geq6$	合计
出现 $x$ 笔交易的天数	102	59	31	8	0	1	0	201

假设一天内交易的笔数 $x$ 服从泊松分布，请求出该分布常数 $\lambda$ 的 0.95 置信区间。

参考答案要点 ›

按题干的 $n=201$ 计算。样本交易总数为 150，故 \[ \hat\lambda=\bar x=\frac{150}{201}\approx0.7463. \] 大样本下 $\bar X$ 近似服从 $N(\lambda,\lambda/n)$，以 $\bar x$ 代替 $\lambda$，标准误为 \[ SE(\hat\lambda)=\sqrt{\frac{0.7463}{201}}\approx0.0609. \] 因此正态近似的 95% 置信区间为 \[ 0.7463\pm1.96\times0.0609=[0.6269,0.8657], \] 即约为 $[0.627,0.866]$。

成对样本 t 检验（15 分）

某公司同时在 A 股及 H 股上市，现观察到该公司股票在两个市场上 8 天的日度回报。请问这些观察结果能否表明该公司的股票在 A 和 H 市场上有显著差别？为什么？

参考答案要点 ›

同一天、同一公司的 A 股与 H 股回报具有配对结构，应令 \[ D_i=R_{A,i}-R_{H,i},\qquad i=1,\ldots,8, \] 并检验 $H_0:\mu_D=0$ 对 $H_1:\mu_D\neq0$。若差值近似正态，使用成对样本统计量 \[ t=\frac{\bar D}{S_D/\sqrt8}\sim t_7. \] 成对检验能剔除同日共同信息造成的变动，比把两组数据视为独立样本更合适。原题未给出 8 天的具体回报数据，因此只能说明检验方法，无法计算统计量或作出数值上的显著性结论。

内生性与 OLS 估计（15 分）

某研究利用以下线性模型研究公司的资本成本问题：

\[ y=\beta_0+\beta_1\operatorname{prot}+\mu, \]

其中 $\operatorname{prot}$ 是投资者保护程度。请回答：

（1）如果误差项 $\mu$ 与解释变量相独立，$\beta_1$ 的经济学含义是什么？

（2）如果误差项 $\mu$ 与 $\operatorname{prot}$ 相关，$\beta_1$ 的经济学含义是什么？

（3）请给出 $\beta_1$ 的 OLS 估计，并说明在什么条件下该估计是无偏的。

参考答案要点 ›

（1）若 $E(\mu\mid\operatorname{prot})=0$，则 $\beta_1$ 表示其他条件不变时，投资者保护程度每提高一个单位，公司资本成本的平均变化量；在模型设定正确时可解释为边际因果效应。

（2）若 $\mu$ 与 $\operatorname{prot}$ 相关，模型存在内生性。此时斜率混合了投资者保护本身与遗漏因素的影响，只能解释为条件相关关系，不能视为净因果效应。

（3）令 $x_i=\operatorname{prot}_i$，则 \[ \hat\beta_1= \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}. \] 在模型正确、解释变量具有样本变异，且满足外生性 $E(\mu_i\mid x_i)=0$ 时，$E(\hat\beta_1)=\beta_1$，所以 OLS 斜率估计无偏。

均值差检验与方差齐性检验（15 分）

一个投资者收集了两只基金过去一年（假定一年有 3 周无交易）的周数据，通过计算得到它们的年化收益率的期望值和方差的无偏估计，分别为 $N(16\%,25\%)$ 和 $N(18\%,36\%)$。做好上述工作后，投资者觉得数据周期稍短，又收集了更早的 15 个周的数据（假设前后时期的数据不相同），只使用这 15 个周的数据计算得到两只基金期望值和方差的无偏估计分别为 $N(15\%,34\%)$ 和 $N(17\%,45\%)$。根据这些数据讨论：

（1）假定两只基金的收益率数据彼此不相关，根据收集到的所有数据，投资者希望判断两只基金的投资收益是否存在显著差异。请给出检验方法，并在 5% 的显著水平下给出判断结论。

（2）如果只根据过去一年的数据，投资者是否能判断两只基金的投资风险存在显著差异？请给出检验方法，并在 5% 的显著水平下给出判断结果。

参考答案要点 ›

过去一年有 49 个周数据，加上更早的 15 周后，每只基金共有 64 个观察值。合并两个时期后，两只基金的均值分别为 \[ \bar X_A=\frac{49\times0.16+15\times0.15}{64}=0.15765625, \] \[ \bar X_B=\frac{49\times0.18+15\times0.17}{64}=0.17765625. \] 按组内与组间离差合并，方差约为 $s_A^2=0.26605$、$s_B^2=0.37430$。按题中年化口径，两独立样本的均值差统计量为 \[ t=\frac{0.02}{\sqrt{52(0.26605+0.37430)/64}}\approx0.0277. \] 其绝对值远小于 5% 双侧临界值，故不能拒绝两只基金平均收益相同的原假设，没有显著收益差异的证据。

（2）只用过去一年数据比较风险，可检验 $H_0:\sigma_A^2=\sigma_B^2$。取较大样本方差置于分子： \[ F=\frac{0.36}{0.25}=1.44. \] 自由度为 $(48,48)$ 时，5% 双侧检验的上侧临界值约为 1.77。由于 $1.44<1.77$，不能拒绝方差相等，不能认定两只基金的风险存在显著差异。

多元回归的方差估计与遗漏变量偏差（15 分）

假定一个研究者使用中国过去三十年的数据，研究经济增长 $y$ 与消费 $x_1$、投资 $x_2$、出口 $x_3$ 之间的关系： \[ y=\alpha_0+\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\alpha_3x_3+\varepsilon. \] 计算得到 $y$ 的方差为 5%，回归模型的调整 $R^2$ 为 0.6。

（1）请给出 $\varepsilon$ 方差的无偏估计。

（2）假如 $x_2$ 的方差为 0.08，$x_1$ 与 $x_2$ 之间的相关系数为 0.5，$x_2$ 与 $x_3$ 不相关，且 $\alpha_2$ 的估计为 0.35，请利用第（1）问估计的 $\varepsilon$ 方差来估计 $\hat\alpha_2$ 的方差。

（3）如果估计模型不是上述完整模型，而是 $y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\eta$，在什么情况下 $\alpha_1=\beta_1$？

参考答案要点 ›

样本量 $n=30$，解释变量数 $k=3$。调整决定系数满足 \[ \bar R^2=1-\frac{RSS/(n-k-1)}{TSS/(n-1)} =1-\frac{\hat\sigma^2}{S_y^2}. \] 因此 \[ \hat\sigma^2=(1-0.6)\times0.05=0.02. \]

（2）多元回归中 \[ \operatorname{Var}(\hat\alpha_2)= \frac{\hat\sigma^2}{SST_2(1-R_2^2)}. \] 由样本方差 0.08 得 $SST_2=29\times0.08=2.32$。在题目未给出其他相关信息的口径下，取 $R_2^2=0.5^2=0.25$，于是 \[ \widehat{\operatorname{Var}}(\hat\alpha_2) =\frac{0.02}{2.32(1-0.25)}\approx0.0115. \]

（3）省略 $x_3$ 后，若 $\alpha_3=0$，或 $x_3$ 在控制 $x_2$ 后与 $x_1$ 不相关，则 $x_1$ 不产生遗漏变量偏差，可有 $\alpha_1=\beta_1$。

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