2015年北京大学金融硕士考研真题

（1）该消费者风险厌恶，因为 \[U'(W)=\frac{1}{2}W^{-1/2}>0,\qquad U''(W)=-\frac{1}{4}W^{-3/2}<0,\] 效用函数严格凹，财富的边际效用递减。

（2）不投保时，事故与无事故状态的财富分别为 90000 元和 250000 元，故 \[EU=0.05\sqrt{90000}+0.95\sqrt{250000}=490.\] 设完全保险保费为 \(P\)，最高支付意愿满足 \[\sqrt{250000-P_{\max}}=490,\] 因而确定性等价财富为 \(490^2=240100\)，最高保费为 \[P_{\max}=250000-240100=9900\text{ 元}.\] 图形上，随机财富两端点弦上对应的期望效用水平为 490；该水平在凹效用曲线上的横坐标就是确定性等价财富 240100。

（3）公平保费等于期望赔付额： \[P_{\mathrm{fair}}=0.05\times160000=8000\text{ 元}.\] 按公平保费投保后的确定财富为 242000 元，且 \(\sqrt{242000}\approx491.93>490\)，所以公平保险严格优于不投保。

（4）存在交易可能。因为 \(P_{\mathrm{fair}}=8000<9900=P_{\max}\)，保费区间 \[8000\leq P\leq9900\] 可同时覆盖保险公司的期望赔付并满足消费者的投保意愿。

（1）同时把两种投入扩大 \(k\) 倍时，产出扩大为 \(k^{\alpha}\) 倍。因此 \(\alpha>1\) 时规模报酬递增，\(\alpha=1\) 时规模报酬不变，\(0<\alpha<1\) 时规模报酬递减。

（2）固定比例技术要求成本最小时 \(x_1=x_2=x\)。若产量为 \(y\)，则 \(x=y^{1/\alpha}\)，利润为 \[\pi(y)=50y-30y^{1/\alpha}.\] 当 \(0<\alpha<1\) 时，一阶条件给出 \[y^*=\left(\frac{5\alpha}{3}\right)^{\alpha/(1-\alpha)},\qquad x_1^*=x_2^*=\left(\frac{5\alpha}{3}\right)^{1/(1-\alpha)}.\] 当 \(\alpha\geq1\) 时不存在有限的利润最大化投入。

（3）给定产量 \(y\)，成本函数为 \[C(y)=10y^{1/\alpha}+20y^{1/\alpha}=30y^{1/\alpha}.\]

（4）当 \(0<\alpha<1\) 时，成本函数为凸函数，存在唯一有限最优投入；当 \(\alpha=1\) 时，\(C(y)=30y\)，价格 50 高于恒定边际成本 30，利润随产量无限增加；当 \(\alpha>1\) 时成本函数为凹函数，利润同样无上界。

（1）合作时最大化 \[\Pi=e_1+e_2+\frac{e_1e_2}{2}-\frac{e_1^2}{2}-\frac{e_2^2}{2}.\] 一阶条件为 \(1+e_2/2-e_1=0\)、\(1+e_1/2-e_2=0\)，故 \[e_1^*=e_2^*=2.\]

（2）平分收入时，合伙人 1 的最优反应为 \(e_1=\frac12+\frac14e_2\)，合伙人 2 对称地有 \(e_2=\frac12+\frac14e_1\)。联立得到纯策略纳什均衡 \[(e_1^N,e_2^N)=\left(\frac23,\frac23\right),\] 低于合作努力水平。

（3）若合伙人 2 选择 \(e_2=2\)，则 \(R(e_1,2)=2e_1+2\)。当 \(e_1\geq2\) 时收入达到 6，合伙人 1 的收益为 \[u_1=e_1+1-\frac{e_1^2}{2},\] 该函数在 \([2,\infty)\) 上递减，最优边界点是 \(e_1=2\)，收益为 1；当 \(e_1<2\) 时收入被捐出，其收益为 \(-e_1^2/2\leq0\)。故对 \(e_2=2\) 的最优反应是 \(e_1=2\)。由对称性，\((2,2)\) 是纯策略纳什均衡。

（1）小王的纯策略是从信号 \(\{h,l\}\) 到行动 \(\{A,B\}\) 的映射，共四种： \[s_1=(A\mid h,A\mid l),\quad s_2=(A\mid h,B\mid l),\quad s_3=(B\mid h,A\mid l),\quad s_4=(B\mid h,B\mid l).\] 当 \(p=1,q=0\) 时，标准式收益矩阵为：

纯策略纳什均衡为 \((H,s_2)\) 和 \((L,s_4)\)。若进一步要求信号后的序贯理性，则保留 \((H,s_2)\)。

（2）当 \(p<1,q>0\) 时，信号虽有噪声，但小王仍需分别规定看到 \(h\) 和 \(l\) 后的行动，故全部纯策略仍是 \[(A,A),\quad(A,B),\quad(B,A),\quad(B,B),\] 前一分量对应信号 \(h\)，后一分量对应信号 \(l\)。

（3）当 \(p=1,q>0\) 时，完整纯策略空间仍是上述四种。此时看到 \(l\) 可断定小李选择了 \(L\)，因此序贯理性要求小王在 \(l\) 后选择 \(B\)，均衡分析中相应候选策略为 \((A,B)\) 或 \((B,B)\)。

两地反需求分别为 \(P_B=240-4Q_B\)、\(P_T=200-2Q_T\)，边际成本为 \(MC=40\)。

（1）分别定价时，两地各自满足 \(MR=MC\)，得到 \[(Q_B,P_B)=(25,140),\qquad(Q_T,P_T)=(40,120).\] 总利润为 \[\pi_D=140\times25+120\times40-[1000+40(25+40)]=4700.\]

（2）统一价格 \(P\) 下，总需求为 \(Q=160-0.75P\)，故 \[P=\frac{640}{3}-\frac43Q,\qquad MR=\frac{640}{3}-\frac83Q.\] 令 \(MR=40\)，得 \[P=\frac{380}{3},\quad Q=65,\quad Q_B=\frac{85}{3},\quad Q_T=\frac{110}{3}.\] 总利润为 \(\pi_U=13900/3\approx4633.33\)。

（3）因 \(4700>13900/3\)，厂商更偏好分别定价。分别定价时 \[CS_B^D=1250,\qquad CS_T^D=1600;\] 统一定价时 \[CS_B^U=\frac{14450}{9},\qquad CS_T^U=\frac{12100}{9}.\] 因此北京消费者更偏好统一定价，天津消费者更偏好分别定价；两地总消费者剩余分别为 2850 与 2950，消费者整体更偏好统一定价。

题中的 \(s_{\bar{x}}^2\)、\(s_{\bar{y}}^2\) 按样本方差理解，即 \(s_x^2=0.0068\)、\(s_y^2=0.0083\)。总体正态且方差未知，使用 \(t\) 区间。

（1）资产 1 的标准误为 \(\sqrt{0.0068/100}\approx0.008246\)，取 \(t_{0.975}(99)\approx1.984\)，得到 \[0.0125\pm1.984(0.008246)=[-0.00386,0.02886],\] 即约 \([-0.39\%,2.89\%]\)。资产 2 的标准误为 \(\sqrt{0.0083/50}\approx0.01288\)，取 \(t_{0.975}(49)\approx2.009\)，得到 \[0.01\pm2.009(0.01288)=[-0.01588,0.03588],\] 即约 \([-1.59\%,3.59\%]\)。

（2）简单收益率与对数收益率满足 \(R=e^r-1\)。对上述区间端点作单调变换，资产 1 的月简单收益率区间约为 \([-0.39\%,2.93\%]\)，资产 2 约为 \([-1.58\%,3.65\%]\)。

样本量 \(n=20\)，解释变量数为 2，残差自由度为 \(20-2-1=17\)。

（1）检验 \(H_0:\beta_{\mathrm{Income}}=0\) 对 \(H_1:\beta_{\mathrm{Income}}\ne0\)。统计量为 \[t=\frac{0.0976}{0.0034}\approx28.71.\] 10% 双侧检验临界值约为 \(t_{0.95}(17)=1.74\)，故拒绝原假设，Income 的系数显著不为 0。

（2）检验 \(H_0:\beta_{\mathrm{Income}}=\beta_{\mathrm{Interest}}=0\)。整体 \(F\) 统计量为 \[F=\frac{0.7/2}{(1-0.7)/17}\approx19.83.\] 10% 水平下 \(F_{0.90}(2,17)\approx2.64\)，故拒绝原假设：两个解释变量的系数不可能同时为 0，模型整体显著。

仅给出两个边际正态分布不足以唯一确定和的分布，还需给出联合分布或相关结构。设二者联合正态、相关系数为 \(\rho\)。

（1）持有各 1 单位时， \[r_a+r_b\sim N\!\left(2\mu_1,\sigma_1^2+\sigma_2^2+2\rho\sigma_1\sigma_2\right).\] 若二者独立，则令 \(\rho=0\)。

（2）设投资于 \(A\) 的比例为 \(w\)，投资于 \(B\) 的比例为 \(1-w\)。由于两资产期望收益都为 \(\mu_1\)，任一满仓组合的期望收益均为 \(\mu_1\)，故只有目标 \(\mu=\mu_1\) 时可行。组合方差为 \[\sigma_p^2=w^2\sigma_1^2+(1-w)^2\sigma_2^2+2w(1-w)\rho\sigma_1\sigma_2.\] 无约束最小方差权重为 \[w^*=\frac{\sigma_2^2-\rho\sigma_1\sigma_2} {\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2},\qquad 1-w^*=\frac{\sigma_1^2-\rho\sigma_1\sigma_2} {\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}.\] 若独立，则 \(w^*=\sigma_2^2/(\sigma_1^2+\sigma_2^2)\)。

（1）\(a_1\) 表示未控制公司规模时，投资保护程度每增加 1 单位，公司成本的平均变化；它可能混入规模因素。\(r_1\) 表示保持公司规模不变时，投资保护程度增加 1 单位所对应的公司成本平均变化。

一元回归的 OLS 估计量为 \[\hat a_1=\frac{\sum_i(\text{proc}_i-\overline{\text{proc}})(C_i-\bar C)} {\sum_i(\text{proc}_i-\overline{\text{proc}})^2}.\] 对 \(\hat r_1\)，按 Frisch—Waugh—Lovell 定理，先分别把 \(\text{proc}_i\) 和 \(C_i\) 对 \(\text{size}_i\) 回归，记残差为 \(\widetilde{\text{proc}}_i\) 与 \(\widetilde C_i\)，则 \[\hat r_1=\frac{\sum_i\widetilde{\text{proc}}_i\widetilde C_i} {\sum_i\widetilde{\text{proc}}_i^2}.\]

（2）设辅助回归为 \(\text{size}_i=\delta_0+\delta_1\text{proc}_i+v_i\)，则遗漏变量恒等式为 \[\hat a_1=\hat r_1+\hat r_2\hat\delta_1.\] 因而 \(\hat a_1=\hat r_1\) 当且仅当 \(\hat r_2\hat\delta_1=0\)：或者公司规模对成本没有额外解释力，或者公司规模与投资保护程度在样本中不相关。