2016年北京大学金融硕士考研真题

本页整理了 2016 年北京大学金融硕士考研真题，并配有精要答案要点。全卷分为微观经济学和统计学两部分，共十道大题，每部分各五题。微观经济学部分考查消费者折扣券交易、多产品垄断定价、跨期消费、质量竞争与外部性治理。统计学部分涉及配对数据检验、泊松分布参数估计、多元回归检验、抽样分布与 CAPM 回归的 OLS 无偏性。题型涵盖计算、检验设计、经济机制分析和数学证明。

微观经济学部分

消费者优惠券与交易

假定市场有甲、乙两个消费者以及两种商品 \(X_{1}\) 和 \(X_{2}\)，\(X_{1}\) 代表馅饼，\(X_{2}\) 代表其他商品。假定甲乙二人具有相同的偏好：\(U(X_{1},X_{2})=X_{1}^{0.5}X_{2}^{0.5}\)，其中 \(X_{1}\) 的价格 \(P_{1}\) 为 10 元，\(X_{2}\) 的价格 \(P_{2}\) 为 1 元，甲乙二人均有 \(I=100\) 元的收入。消费者乙有商品 \(X_{1}\) 的一张折扣券，该折扣券只能使用一次，可以按 \(50\%\) 的折扣购买任意数量的商品 \(X_{1}\)，甲没有折扣券。

（1）试求甲乙二人的最优消费决策。

（2）甲若向乙购买折扣券，他最高愿意支付多少钱给乙？

（3）乙最低索取多少钱才会转让自己的折扣券？

（4）甲乙之间能否达成交易？

参考答案要点 ›

（1）对称 Cobb-Douglas 偏好会把收入各一半用于两种商品。甲面对 \((P_1,P_2)=(10,1)\)，最优消费束为 \[(X_{1A}^*,X_{2A}^*)=(5,50);\] 乙用券后面对 \((5,1)\)，最优消费束为 \[(X_{1B}^*,X_{2B}^*)=(10,50).\]

（2）间接效用为 \(V(I,P_1,P_2)=I/(2\sqrt{P_1P_2})\)。令甲买券前后效用相等，得到最高支付额 \[T_{\mathrm{max}}=100-50\sqrt2\approx29.29.\]

（3）令乙持券与卖券后的效用相等，得到最低接受价格 \[S_{\mathrm{min}}=100(\sqrt2-1)\approx41.42.\]

（4）由于 \(T_{\mathrm{max}}<S_{\mathrm{min}}\)，不存在使双方都受益的价格区间，因而不能达成交易。

多产品垄断定价

一个垄断厂商生产两种产品，各自的市场需求函数为：\(D_{1}(p_{1},p_{2})=\frac{3-p_{2}}{p_{1}^{2}}\)，\(D_{2}(p_{1},p_{2})=\frac{3-p_{1}}{p_{2}^{2}}\)，厂商的成本函数为 \(C(y_{1},y_{2})=y_{1}+y_{2}\)，\(y_{1}\) 和 \(y_{2}\) 分别代表两种产品的销量。

（1）请问两种商品之间是互补品还是替代品？

（2）请写出垄断厂商的利润（表示成 \(p_{1},p_{2}\) 的函数）。

（3）若商品 2 的价格受到管制，\(p_{2}=1\)，\(p_{1}\) 处于 0 至 3 之间。厂商追求利润最大化目标，那么 \(p_{1}\) 应为多少？

（4）若厂商能让两种商品保持相同的价格，即 \(p_{1}=p_{2}=p\)，求最优的价格 \(p_{p}\)。

参考答案要点 ›

（1）\(\partial D_1/\partial p_2=-1/p_1^2<0\)，\(\partial D_2/\partial p_1=-1/p_2^2<0\)，一种商品涨价会降低另一种商品的需求，因此两者是互补品。

（2）利润函数为 \[ \pi(p_1,p_2)=(p_1-1)\frac{3-p_2}{p_1^2}+(p_2-1)\frac{3-p_1}{p_2^2}. \]

（3）当 \(p_2=1\) 时，\(\pi=2(p_1-1)/p_1^2\)。一阶条件给出 \(p_1=2\)，且该点位于给定区间内。

（4）同价时 \(\pi(p)=2(p-1)(3-p)/p^2\)，一阶条件给出 \[p_p=\frac32.\]

跨期消费与借贷约束

某消费者面临跨期消费选择问题。假设此消费者在今天的消费量为 \(c_{0}\)，在明天的消费量为 \(c_{1}\)，两期的价格均为 1。假设该消费者今天的收入为 \(I_{0}=100\)，设明天的收入为 \(I_{1}\)。消费者的效用函数是 \(U(c_{0},c_{1})=\ln c_{0}+\ln c_{1}\)，消费者可以选择储蓄，但不能向他人借款，假设利率水平为 \(r=0\)，求：

（1）若明天的收入 \(I_{1}=34\)，求此消费者的消费决策。

（2）若明天的收入存在两种可能，分别是 \(I_{1}=100\) 和 \(I_{1}=0\)，两种可能性发生的概率各为 \(50\%\)，求此消费者的消费决策。

参考答案要点 ›

（1）预算约束为 \(c_0+c_1=134\)，且不能借款要求 \(c_0\le100\)。对数效用下最优平滑消费，得到 \[c_0^*=c_1^*=67,\] 因而今天储蓄 33，借贷约束不生效。

（2）设今天储蓄为 \(s\ge0\)，则 \(c_0=100-s\)，明天在高、低收入状态下分别消费 \(100+s\) 与 \(s\)。最大化 \[\ln(100-s)+\tfrac12\ln(100+s)+\tfrac12\ln s\] 得 \[s^*=\frac{25(\sqrt{17}-1)}2\approx39.04.\] 所以 \(c_0^*\approx60.96\)，明天两种状态下的消费分别约为 \(139.04\) 和 \(39.04\)。

质量竞争与投资决策

谷歌和百度在市场进行质量竞争，谷歌的质量是 \(r_{1}\)，百度的质量为 \(r_{2}\)。质量 \(r_{1}\) 和 \(r_{2}\) 介于 0 至 5 之间。谷歌的收入函数为：\(200[0.5+0.05(r_{1}-r_{2})]\)，成本函数为 \(c_{1}=r_{1}^{2}\)；百度的收入函数为 \(200[0.5+0.05(r_{2}-r_{1})]\)，成本函数为 \(c_{2}=1.25r_{2}^{2}\)。试求：

（1）若百度收购了谷歌，那么利润最大化时的质量 \(r_{1}\) 和 \(r_{2}\) 分别为多少？

（2）若百度和谷歌进行寡头竞争，\(r_{1}\) 和 \(r_{2}\) 分别为多少？各自的利润分别为多少？总的质量为多少？和（1）的总质量相比如何？

（3）若谷歌有一个投资计划，投入 60 单位的费用进行宣传和市场推广，投资之后的市场结构会发生变化：即谷歌的收入函数变为 \(200[0.75+0.05(r_{1}-r_{2})]\)，百度的收入函数变为 \(200[0.25+0.05(r_{2}-r_{1})]\)，假设各自成本不变。请问谷歌会做这项投资么？

参考答案要点 ›

（1）收购后两家总收入恒为 200，联合利润为 \(200-r_1^2-1.25r_2^2\)，故成本最小时 \[r_1^*=r_2^*=0.\]

（2）分别最大化 \(100+10(r_1-r_2)-r_1^2\) 与 \(100+10(r_2-r_1)-1.25r_2^2\)，得到纳什均衡 \[r_1^*=5,\qquad r_2^*=4.\] 谷歌利润为 85，百度利润为 70，总质量为 9，高于收购情形的 0；竞争促使双方以质量争夺市场份额。

（3）投资只改变收入常数项，不改变最优质量。投资后谷歌净利润为 \[150+10(5-4)-5^2-60=75,\] 低于不投资时的 85，因此谷歌不会投资。

外部性与庇古税

在一个完全竞争的钢铁市场，市场的需求函数为 \(P_{d}=20-Q\)，市场的供给函数为 \(P_{s}=2+Q\)。炼钢企业的污染边际损耗是 \(MD=0.5Q\)，当生产一单位钢铁时，产生一单位的社会污染。

（1）画出需求曲线、供给曲线、边际损耗曲线以及社会的边际成本曲线。

（2）如果企业不对污染采取措施，那么市场的均衡价格和产量是多少？

（3）请问社会最优的产量是什么？相应的污染成本为多少？

（4）请问污染的外部性造成的社会福利损失为多少？

（5）政府能否通过对产量征税从而达到社会最优产量水平？如果可以，如何征税？

参考答案要点 ›

（1）需求曲线为 \(P_d=20-Q\)，私人边际成本即供给曲线 \(MPC=2+Q\)，边际损害为 \(MD=0.5Q\)，故社会边际成本为 \[MSC=MPC+MD=2+1.5Q.\] 图中需求向右下倾斜，其余三条曲线向右上倾斜，且 \(MSC\) 位于 \(MPC\) 上方。

（2）令 \(P_d=MPC\)，得市场均衡 \(Q_m=9\)、\(P_m=11\)。

（3）令 \(P_d=MSC\)，得社会最优产量 \(Q^*=7.2\)。污染总成本为 \[\int_0^{7.2}0.5Q\,dQ=12.96.\]

（4）过量生产形成的无谓损失为 \[DWL=\tfrac12(9-7.2)[MSC(9)-P_d(9)]=4.05.\]

（5）可以。按社会最优产量处的边际损害征收从量税： \[t^*=MD(7.2)=3.6.\] 此时企业面对 \(MPC+t^*=5.6+Q\)，市场均衡产量恰为 \(7.2\)。

统计学部分

股票回报率的统计检验

收集两只股票的日回报率，其中 \((x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\) 为 \(A\) 市场的股票的回报率，\((y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})\) 为 \(B\) 市场的股票的回报率。

（1）描述如何检验 \(A\) 的回报率是否比 \(B\) 的高。

（2）如何检验 \(A\) 的回报率方差和 \(B\) 的是否一样。

（3）如何检验 \(A\) 与 \(B\) 的股票日回报是否相关。

（4）如果 \((x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\) 为 \(A\) 市场的股票的价格，\((y_{1},y_{2},\cdots,y_{n})\) 为 \(B\) 市场的股票的价格。如何检验 \(A\) 的股价是否高于 \(B\)。

参考答案要点 ›

（1）同一日期的数据宜作配对处理。令 \(d_i=x_i-y_i\)，检验 \(H_0:\mu_A\le\mu_B\) 对 \(H_1:\mu_A>\mu_B\)，统计量为 \[t=\frac{\bar d}{s_d/\sqrt n}\sim t_{n-1}.\] 若 \(t>t_{1-\alpha,n-1}\)，则认为 \(A\) 的平均回报率显著更高。

（2）配对回报通常并不独立，可用 Pitman-Morgan 检验。令 \(U_i=x_i+y_i\)、\(V_i=x_i-y_i\)，方差相等等价于 \(\operatorname{Corr}(U,V)=0\)。以样本相关系数 \(r_{UV}\) 构造 \[t=\frac{r_{UV}\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r_{UV}^2}},\] 在二元正态假设下按 \(t_{n-2}\) 作双侧检验。

（3）检验 \(H_0:\rho=0\)。计算 Pearson 样本相关系数 \(r\)，使用 \[t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\sim t_{n-2}\] 作双侧检验。

（4）股票价格通常是非平稳序列，不能直接比较两个价格序列的样本均值。应先做单位根检验；若两者均为 \(I(1)\)，再检验价差 \(P_{A,t}-P_{B,t}\) 是否平稳。只有价差平稳时，才适合在协整框架下检验其均值是否大于 0；价差不平稳时，标准均值检验没有可靠含义。

泊松分布参数估计

给出泊松分布如下 \(P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x}}{x!}\)（原题可能漏掉分母），收集样本数据如下：\((\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\cdots,\theta_{m})\)，请估计参数 \(\lambda\) 并检验其统计性质。

参考答案要点 ›

设样本独立同分布。对数似然为 \[\ell(\lambda)=-m\lambda+\Bigl(\sum_{i=1}^m\theta_i\Bigr)\ln\lambda-\sum_{i=1}^m\ln(\theta_i!),\] 一阶条件给出极大似然估计 \[\hat\lambda=\bar\theta=\frac1m\sum_{i=1}^m\theta_i.\]

由于 \(E(\theta_i)=\operatorname{Var}(\theta_i)=\lambda\)，有 \[E(\hat\lambda)=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(\hat\lambda)=\frac\lambda m.\] 因而估计量无偏，并达到 Cramér-Rao 下界 \(\lambda/m\)，是有效估计量。

此外，\(\hat\lambda\xrightarrow{p}\lambda\)，且 \[\sqrt m(\hat\lambda-\lambda)\xrightarrow{d}N(0,\lambda),\] 所以它具有一致性和渐近正态性。

回归分析

某老师做研究生成绩 grade 对平时成绩 cGPA 和逃课率 Skipped 的回归如下：

\[\text{grade}=\alpha_{0}+\alpha_{1}\text{cGPA}+\alpha_{2}\text{Skipped}+\varepsilon\]

其中样本容量为 \(n=141\)，标准误分别为 \((0.33)\)、\((0.094)\)、\((0.021)\)，\(R^{2}=0.234\)，\(\hat{\alpha}_{2}=0.36\)。

（1）为什么要选择 cGPA 做自变量？

（2）在显著性水平为 \(1\%\) 时，Skipped 对 grade 是否没有影响？

（3）在显著性水平为 \(1\%\) 时，cGPA 和 Skipped 是否对 grade 同时没有影响？

参考答案要点 ›

（1）cGPA 控制学生既有学业能力和学习基础。若遗漏它，能力既可能影响研究生成绩，也可能与逃课行为相关，从而使 Skipped 的系数产生遗漏变量偏差。

（2）检验 \(H_0:\alpha_2=0\)。由 \[t=\frac{0.36}{0.021}\approx17.14\] 且自由度为 \(138\)，其绝对值远大于 1% 双侧临界值约 \(2.61\)，故拒绝“没有影响”的原假设。估计系数为正，但这一反常方向也提示不能仅凭显著性作因果解释。

（3）联合检验 \(H_0:\alpha_1=\alpha_2=0\)。统计量为 \[F=\frac{0.234/2}{(1-0.234)/(141-2-1)}\approx21.08.\] 该值大于 \(F_{0.99}(2,138)\) 的临界值约 \(4.78\)，故拒绝原假设，两变量具有显著的联合解释力。

抽样分布推导

两只股票的收益率是独立的，方差相等。现有两只股票收益率的样本，\((\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\varepsilon_{3},\cdots,\varepsilon_{n})\) 和 \((\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\cdots,\theta_{m})\)。试求 \[ \frac{\sum_{i=1}^{n}(\varepsilon_{i}-\bar{\varepsilon})^{2}} {\sum_{i=1}^{n}(\varepsilon_{i}-\bar{\varepsilon})^{2}+\sum_{i=1}^{m}(\theta_{i}-\bar{\theta})^{2}} \] 的概率分布。

参考答案要点 ›

精确分布还需补充两组样本分别来自独立正态总体这一条件。令 \[S_1=\sum_{i=1}^n(\varepsilon_i-\bar\varepsilon)^2,\qquad S_2=\sum_{i=1}^m(\theta_i-\bar\theta)^2.\] 在共同方差为 \(\sigma^2\) 时，\(U=S_1/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)\)、\(V=S_2/\sigma^2\sim\chi^2(m-1)\)，且二者独立。

因此 \[\frac{S_1}{S_1+S_2}=\frac{U}{U+V}\sim\operatorname{Beta}\!\left(\frac{n-1}{2},\frac{m-1}{2}\right).\] 若没有正态性假设，仅凭独立与等方差不能确定该统计量的这一精确分布。

CAPM 回归的 OLS 无偏性

记 \(r_{t}=\alpha+\beta rm_{t}+\varepsilon_{t}\) 为股票市场回报的回归方程，试求：

（1）在什么假设下 \(\beta\) 的 OLS 估计量是无偏的？请给出严格的数学证明。

（2）上述假设在实际中成立么？为什么？

参考答案要点 ›

（1）核心条件是严格外生性： \[E(\varepsilon_t\mid rm_1,\ldots,rm_T)=0.\] 令 \(X\) 包含截距与市场回报，\(\mathbf b=(\alpha,\beta)'\)。由 \(Y=X\mathbf b+\varepsilon\)， \[\hat{\mathbf b}=(X'X)^{-1}X'Y=\mathbf b+(X'X)^{-1}X'\varepsilon.\] 因而 \[E(\hat{\mathbf b}\mid X)=\mathbf b+(X'X)^{-1}X'E(\varepsilon\mid X)=\mathbf b,\] 再用迭代期望可得 \(E(\hat{\mathbf b})=\mathbf b\)，所以 \(\hat\beta\) 无偏。

（2）现实中该条件通常只能近似成立。CAPM 可能遗漏规模、价值、流动性等与市场回报相关的系统性因素；市场组合只能用指数代理，存在测量误差；个股和市场还可能受到共同冲击或存在反馈关系。这些因素都可能使 \(rm_t\) 与误差项相关，破坏严格外生性。

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