2017年北京大学金融硕士考研真题

（1）存在。在禀赋点 \((b,c)=(2,3)\) 上，边际替代率为 \[MRS_{b,c}=\frac{MU_b}{MU_c}=\frac cb=\frac32.\] 只要价格满足 \(p_b/p_c=3/2\)，该点就是预算约束下的最优选择；例如可取 \(p_b=3,p_c=2\)。

（2）不存在严格为正的支持价格。完全互补偏好要求消费束尽量位于 \(b=c\) 上，而初始禀赋为 \((3,2)\)。饮料有剩余，消费者总能出售一部分饮料换取薯片并提高效用。

（3）可以用带门槛的偏好表示。令汽油为 \(g\)、牛肉面为 \(n\)，可取 \[ u(g,n)= \begin{cases} 0,&g<6,\\ n,&g\geq6. \end{cases} \] 图形上，\(g<6\) 的消费束均处于最低效用；达到 6 升后，任一正效用水平的无差异曲线是在 \(g\geq6\) 区域内的水平射线。这是非平滑、带明显门槛的偏好。

两种状态下 \(C_1=10\sqrt{s}\)、\(C_2=i\)，预算约束为 \(s+2i=10000\)。

（1）代入 \(i=5000-s/2\)，去掉常数项后的目标函数为 \[0.4\ln s+0.2\ln\left(5000-\frac s2\right).\] 一阶条件给出 \[\frac{0.4}{s}-\frac{0.1}{5000-s/2}=0,\] 因而 \[s^*=\frac{20000}{3},\qquad i^*=\frac{5000}{3}.\]

（2）最优配置要求两种状态消费相等，即 \(10\sqrt{s}=i\)。结合预算约束得 \[s+20\sqrt{s}=10000.\] 令 \(x=\sqrt{s}\) 并取正根，\(x=-10+10\sqrt{101}\)，所以 \[s^*=10200-200\sqrt{101}.\] 相应保险量为 \(i^*=100\sqrt{101}-100\)。

（1）社会规划者最大化 \[120(x_A+x_B)-3x_A^2-5x_B^2-10x_B.\] 两个一阶条件分别为 \(120-6x_A=0\) 与 \(120-10x_B-10=0\)，故 \[x_A^*=20, \qquad x_B^*=11.\]

（2）边际减排成本为 \(MC_A=6x_A\)、\(MC_B=10x_B+10\)，因此统一税率应为每万吨 \[t=MC_A(20)=MC_B(11)=120.\] 若原始排放量为 \(\bar E_A,\bar E_B\)，两厂分别解决 \[ \min_{x_A\geq0}\{3x_A^2+120(\bar E_A-x_A)\}, \qquad \min_{x_B\geq0}\{5x_B^2+10x_B+120(\bar E_B-x_B)\}. \] 一阶条件正好给出 \(x_A=20\)、\(x_B=11\)，与社会最优一致。

（3）若固定总减排量为 2，成本最小化问题是 \[\min 3x_A^2+5x_B^2+10x_B\quad\text{s.t.}\quad x_A+x_B=2.\] 代入 \(x_B=2-x_A\) 后一阶条件为 \(16x_A-30=0\)，所以成本最低的分配是 \[(x_A,x_B)=\left(\frac{15}{8},\frac18\right),\] 而不是 \((1,1)\)。等量减排时 \(MC_A(1)=6\)、\(MC_B(1)=20\)，边际成本不相等；把部分任务从 B 转给 A 可降低总成本。

（1）两家利润为 \(\pi_i=q_i(12-q_1-q_2)\)。反应函数联立后得到 \[q_1^*=q_2^*=4,\qquad P^*=4,\qquad \pi_1^*=\pi_2^*=16.\]

（2）垄断者最大化 \(q_1(12-q_1)\)，故 \(q_1^m=6\)、\(P^m=6\)，垄断利润为 \[\pi_1^m=36.\]

（3）设贿赂为 \(T\)。公司 2 拒绝时可得 16，因此当且仅当 \(T\geq16\) 时接受。公司 1 选择最小可接受金额 \(T=16\)，公司 2 接受并退出；均衡利润为 \[\pi_1=36-16=20,\qquad \pi_2=16.\]

（4）三家的利润一阶条件为 \[ 12-2q_1-q_2-q_3=0,\quad 12-q_1-2q_2-q_3=0,\quad 10-q_1-q_2-2q_3=0. \] 解得 \[q_1^*=q_2^*=\frac72,\qquad q_3^*=\frac32,\qquad P^*=\frac72,\] 从而 \[\pi_1^*=\pi_2^*=\frac{49}{4},\qquad \pi_3^*=\frac94.\]

（5）公司 3 退出后，第（3）问的后续均衡使公司 1、2 分别得到 20 和 16；若公司 3 拒绝，则其得到 \(9/4\)。因此公司 1 向公司 3 支付最小可接受贿赂 \(T=9/4\)，公司 3 接受；随后公司 1 再以 16 使公司 2 退出。子博弈完美均衡利润为 \[\pi_1=20-\frac94=\frac{71}{4},\qquad \pi_2=16,\qquad \pi_3=\frac94.\]

检验 \(H_0:\mu_X=\mu_Y\) 对 \(H_1:\mu_X\ne\mu_Y\)。第一种是配对样本 \(t\) 检验：令 \(D_i=X_i-Y_i\)，计算 \[\bar D=\frac1n\sum D_i,\qquad S_D^2=\frac1{n-1}\sum(D_i-\bar D)^2,\qquad t=\frac{\bar D}{S_D/\sqrt n}.\] 在双侧水平 \(\alpha\) 下，若 \(|t|>t_{\alpha/2}(n-1)\) 则拒绝 \(H_0\)。

第二种是两独立样本均值检验。若假定方差相等，令 \[S_p^2=\frac{(n-1)S_X^2+(n-1)S_Y^2}{2n-2},\qquad t=\frac{\bar X-\bar Y}{S_p\sqrt{2/n}}.\] 若不假定方差相等，则采用 Welch 统计量 \[t=\frac{\bar X-\bar Y}{\sqrt{S_X^2/n+S_Y^2/n}},\] 并使用 Welch 近似自由度。

配对检验允许同一交易日的两个回报相关，但要求差值序列跨日独立且近似正态，或样本足够大；独立样本检验则把两组观测的配对相关性忽略。由于同一公司两个市场的同日回报通常受共同信息冲击，配对检验更合理。当 \(\operatorname{Cov}(X_i,Y_i)>0\) 时，差值方差更小，配对检验也更有功效；只有相关性近似为零时，两种方法才接近。

（1）\(\beta=d\ln y/d\ln x\)，表示 \(y\) 对 \(x\) 的弹性：其他条件不变时，\(x\) 增加 1%，\(y\) 的条件均值近似变化 \(\beta\%\)。

（2）令 \(x_i'=\ln x_i\)、\(y_i'=\ln y_i\)，OLS 估计量为 \[\hat\beta= \frac{\sum_{i=1}^n(x_i'-\bar x')(y_i'-\bar y')} {\sum_{i=1}^n(x_i'-\bar x')^2}.\]

（3）假定模型设定正确、随机抽样、\(\sum(x_i'-\bar x')^2>0\)，并满足严格外生性 \(E(\varepsilon_i\mid x_1',\ldots,x_n')=0\)。代入真实模型可得 \[\hat\beta=\beta+ \frac{\sum(x_i'-\bar x')\varepsilon_i}{\sum(x_i'-\bar x')^2}.\] 条件于全部解释变量取期望，误差项消失，所以 \(E(\hat\beta\mid X)=\beta\)，进而 \(E(\hat\beta)=\beta\)。

建立模型 \[y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2z_i+\varepsilon_i,\] 并假定随机抽样、\(E(\varepsilon_i\mid x_i,z_i)=0\)、无完全多重共线性。检验 \[H_0:\beta_1=\beta_2,\qquad H_1:\beta_1\ne\beta_2.\]

可令 \(\theta=\beta_1-\beta_2\)、\(w_i=x_i+z_i\)，把模型改写为 \[y_i=\beta_0+\theta x_i+\beta_2w_i+\varepsilon_i.\] 对 \(H_0:\theta=0\) 使用 \[t=\frac{\hat\theta}{se(\hat\theta)}\sim t_{n-3}.\] 若 \(|t|>t_{\alpha/2}(n-3)\)，则拒绝两种复习时间效果相同的原假设。

也可比较无约束模型与受限模型 \[y_i=\beta_0+\beta(x_i+z_i)+\varepsilon_i.\] 若残差平方和分别为 \(RSS_{ur}\)、\(RSS_r\)，则 \[F=\frac{(RSS_r-RSS_{ur})/1}{RSS_{ur}/(n-3)}\sim F(1,n-3).\] 因只有一个线性约束，\(F=t^2\)，两种检验等价。

（1）检验 \[H_0:\beta_3=\beta_4=\beta_5=0,\qquad H_1:\beta_3,\beta_4,\beta_5\text{ 不全为 }0.\] 受限模型为 \(y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\varepsilon\)。若完整与受限模型的残差平方和为 \(RSS_{ur}\)、\(RSS_r\)，则 \[F=\frac{(RSS_r-RSS_{ur})/3}{RSS_{ur}/44}\sim F(3,44).\]

（2）新增随机样本后 \(\hat\beta_1\) 一般会改变，但在同一总体和正确设定下没有确定变化方向，应仍围绕真实参数波动。样本量从 50 变为 200，若解释变量离散程度与误差方差大致不变，标准误约减半；若点估计仍接近 0.3，则新的 \(t\) 值约为 \(1.5\times2=3.0\)。调整后的决定系数 \[\bar R^2=1-\frac{RSS/(n-k-1)}{TSS/(n-1)}\] 也会随新样本变化，但可升可降，没有确定的单调关系；样本持续扩大时通常趋于稳定。

（3）盈余管理使 \(x_1\) 混入操纵成分。若该成分与管理者权力、董事会监督等遗漏因素相关，就会导致 \(\operatorname{Cov}(x_1,\varepsilon)\ne0\)，OLS 有偏且不一致；若管理者为提高薪酬而系统性夸大利润，\(\beta_1\) 常会被高估，但严格方向取决于相关性的符号。经典型自变量测量误差通常产生衰减偏误；一种仍可保持无偏的特殊条件是 Berkson 型误差 \(x^*=x+u\)，其中 \(u\) 与观测值 \(x\) 及结构误差独立，使观测解释变量仍与合成回归误差不相关。

令配对价差 \(D_i=A_i-H_i\)。由表中数据得 \[\bar D\approx2.546,\qquad S_D\approx2.916.\]

（1）取 \(t_{0.975}(15)=2.131\)，A 股均价的 95% 置信区间为 \[12.88\pm2.131\frac{10.15}{4}=[7.47,18.29],\] H 股均价的 95% 置信区间为 \[10.33\pm2.131\frac{8.36}{4}=[5.88,14.78].\] 若直接考察平均定价差异，配对价差的 95% 置信区间为 \[2.546\pm2.131\frac{2.916}{4}=[0.996,4.096].\]

（2）检验 \(H_0:\mu_D=0\) 对 \(H_1:\mu_D\ne0\)，统计量为 \[t=\frac{2.546}{2.916/4}\approx3.49.\] 因 \(3.49>t_{0.975}(15)=2.131\)，在 5% 水平下拒绝原假设；价差区间也完全高于 0，因此样本支持两个市场存在显著定价差异，且 A 股价格平均更高。

（3）假定未来价差均值和标准差保持当前水平，需要满足 \[0.873\sqrt n>t_{0.995}(n-1),\qquad 0.873\approx\frac{2.546}{2.916}.\] 用 \(t\) 临界值试算，\(n=12\) 尚不足，\(n=13\) 已满足，因此所需样本量约为 13 家。现有 \(n=16\) 时 \(3.49>t_{0.995}(15)=2.947\)，事实上已足以在 1% 显著性水平下拒绝原假设。