2018年北京大学金融硕士考研真题

（1）今天没有初始禀赋，期货交易的净支出必须为零： \[p_1x_1+p_2x_2=0.\]

（2）记雨天期望禀赋 \(\bar y_2=(y_H+y_L)/2\)。Leontief 型偏好在内点最优时要求两种状态的期望消费相等，即 \[y_1+x_1=\bar y_2+x_2.\] 结合 \(x_2=-(p_1/p_2)x_1\)，得到 \[x_1=\frac{p_2}{p_1+p_2}\left(\frac{y_H+y_L}{2}-y_1\right).\]

（3）不一定。\(x_1\) 的符号由 \(\bar y_2-y_1\) 决定：雨天期望禀赋高于晴天禀赋时 \(x_1>0\)，低于时 \(x_1<0\)，相等时 \(x_1=0\)。

（4）两种价格同时翻倍不改变 \(p_2/(p_1+p_2)\)，所以 \(x_1\) 不变；需求只取决于相对价格。

企业 \(i\) 的利润为 \[\pi_i=(P_i-C_i)\left(1-P_i+k\sum_{j\ne i}P_j\right).\] 在需求为正的内点均衡中，一阶条件为 \[2P_i-k\sum_{j\ne i}P_j=1+C_i.\]

令 \(T=P_1+P_2+P_3\)，对三家企业的一阶条件求和可得 \[T=\frac{3+C_1+C_2+C_3}{2(1-k)}.\] 因而每家企业的均衡价格为 \[ P_i^*=\frac{1+C_i}{2+k}+ \frac{k(3+C_1+C_2+C_3)}{2(2+k)(1-k)}. \] 一阶条件还给出 \(q_i^*=P_i^*-C_i\)，所以 \[\pi_i^*=(P_i^*-C_i)^2.\] 以上结果要求参数使内点解存在且销量非负；否则需比较边界解。

若三家公司边际成本相同，\(C_1=C_2=C_3=C\)，则 \[P^*=\frac{1+C}{2(1-k)},\qquad \pi^*=\left[\frac{1-C+2kC}{2(1-k)}\right]^2.\]

（1）小丽的无差异曲线为 \(x+y=\bar u\)，是一组斜率为 \(-1\) 的平行直线。小贾的无差异曲线满足 \(\max\{x,y\}=\bar u\)，由 \(x=\bar u,\ y\leq\bar u\) 与 \(y=\bar u,\ x\leq\bar u\) 两段组成，呈反映非凸偏好的折线形；在埃奇沃思盒中应以小贾的右上角原点反向绘制。

（2）均衡必须有 \(p_x=p_y\)。若一种商品更便宜，两人都会把全部收入用于该商品，另一种商品在总禀赋为正时无法出清。

（3）价格相等时，小丽对预算线上的组合均无差异；小贾会把全部支出集中于某一种商品，以最大化 \(\max\{x,y\}\)。因此均衡配置位于盒子边界，小贾只消费一种商品，小丽获得剩余商品。源题没有给出初始禀赋，故无法确定唯一的具体分配，均衡配置一般也不唯一。

（1）居民 \(i\) 把对方捐赠视为既定，反应函数为 \[S_i=\max\left\{\frac{M_i-S_{-i}}2,0\right\}.\] 代入 \(M_L=200\)、\(M_J=100\)，纳什均衡为 \[S_L=100,\qquad S_J=0,\qquad S=100.\] 小贾完全搭便车。

（2）社会最优满足萨缪尔森条件。由于每人的边际支付意愿为 \(MRS_i=x_i/S\)，边际成本为 1，故 \[\frac{x_L+x_J}{S}=1.\] 再结合资源约束 \(x_L+x_J+S=300\)，得到 \(S^*=150\)。私人供给只有 100，是因为个人决策没有计入捐赠给另一位居民带来的外部收益。

（3）补偿预算约束为 \[x_L+P_SS_L=200+C_L,\qquad x_J+P_SS_J=100+C_J,\] 其中 \(C_i=(P_S-1)S_i\)。补偿额恰好覆盖价格变化对原捐赠量增加的支出，使原消费组合仍可负担，因此主要分离出替代效应；代入补偿额后可化为 \(x_i+S_i=M_i\)。

（4）求导时先把 \(C_i\) 视为给定，最优条件为 \(x_i=P_SS\)。再代入补偿额与预算约束，得 \[S_L=200-P_SS,\qquad S_J=100-P_SS.\] 合并两人的需求后，单人逆需求对应 \(P_S=(300-S)/(2S)\)；公共品需求须纵向加总，故社会逆需求为 \[P^D(S)=\frac{300-S}{S}=\frac{300}{S}-1.\] 令其等于边际成本 \(MC=1\)，得到 \(S=150\)，与第（2）问一致。

（1）“无关”通常指不相关：在二阶矩存在时，\(\operatorname{Cov}(X,Y)=0\)；若两者方差为正，则等价于相关系数 \(\rho_{XY}=0\)。它只排除线性相关。

（2）独立要求对任意可测集合 \(A,B\)，有 \[P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B),\] 等价地，联合分布可分解为边缘分布的乘积。

（3）一般不能推出独立。独立且有关期望存在时必有不相关；反之，例如 \(X\sim N(0,1)\)、\(Y=X^2\)，则 \(\operatorname{Cov}(X,Y)=E(X^3)=0\)，但 \(Y\) 完全由 \(X\) 决定，二者不独立。若 \((X,Y)\) 联合正态，则不相关与独立等价。

这是无截距回归 \(y_i=x_ib+e_i\)。（1）最小化 \(\sum_i(y_i-x_ib)^2\) 得 \[\hat b=\frac{\sum_{i=1}^n x_iy_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2}.\]

（2）给定 \(x_1,\ldots,x_n\)， \[E(\hat b\mid X)=b,\qquad \operatorname{Var}(\hat b\mid X)=\frac{c^2}{\sum_i x_i^2},\] 且 \[\hat b\mid X\sim N\left(b,\frac{c^2}{\sum_i x_i^2}\right).\]

（3）令 \[\hat c^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(y_i-x_i\hat b)^2,\qquad T=\frac{\hat b}{\hat c/\sqrt{\sum_i x_i^2}}.\] 在 \(H_0\) 下，\(T\sim t_{n-1}\)。显著性水平 \(\alpha\) 下的单侧拒绝域为 \(T>t_{1-\alpha,n-1}\)；落入拒绝域则认为 \(b>0\)。

还需记录每家企业的企业主性别；仅有总样本数 \(N\) 和违规总数 \(M\) 不能完成检验。记四类观测频数如下：

检验 \(H_0\)：企业主性别与违规行为独立；\(H_1\)：二者不独立。在 \(H_0\) 下，期望频数为 \[E_{ij}=\frac{\text{行合计}\times\text{列合计}}N,\] Pearson 统计量为 \[\chi^2=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} =\frac{N(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.\] 大样本下其服从自由度为 1 的卡方分布；若 \(\chi^2>\chi^2_{1-\alpha,1}\)，则拒绝独立性。期望频数过小时应使用 Fisher 精确检验。

将一周划分为等长区间，设股票 A、B 的区间交易次数分别满足 \[X_i\overset{i.i.d.}{\sim}\operatorname{Poisson}(\lambda_1),\qquad Y_j\overset{i.i.d.}{\sim}\operatorname{Poisson}(\lambda_2).\] 检验 \(H_0:\lambda_1=\lambda_2\) 对 \(H_1:\lambda_1\ne\lambda_2\)。

记 \(S_1=\sum_iX_i\)、\(S_2=\sum_jY_j\)。在 \(H_0\) 下，给定 \(S_1+S_2=m\)，有 \[S_1\mid(S_1+S_2=m)\sim \operatorname{Binomial}\left(m,\frac{n_1}{n_1+n_2}\right).\] 可据此作双侧精确检验；若两只股票的观察区间数相同，二项概率为 \(1/2\)。

大样本时也可用合并估计 \(\hat\lambda=(S_1+S_2)/(n_1+n_2)\) 和 \[Z=\frac{\bar X-\bar Y}{\sqrt{\hat\lambda(1/n_1+1/n_2)}}.\] 若 \(|Z|>z_{1-\alpha/2}\)，则拒绝 \(H_0\)。源题未列出具体交易次数，无法给出数值统计量和最终拒绝结论。

（1）模型估计截距和四个斜率，共 5 个参数。样本量为 20 时残差自由度只有 \(20-5=15\)。虽然模型可以识别，但标准误、异常值敏感性和统计功效都可能较差，只适合作初步分析，难以形成稳健结论。

（2）扩充到 80 家后，系数估计值通常会随样本改变，但在模型正确时应更稳定。标准误一般下降，因此真实非零系数的 \(|t|\) 往往增大；调整 \(R^2\) 也会随新样本和拟合情况改变，不能断言必然上升或下降。

（3）最常见原因是多重共线性：解释变量联合起来有较强解释力，使 \(R^2\) 较高，但高度相关会放大单个系数的标准误，使 \(t\) 检验不显著。还应排查样本过小、误差方差较大、模型设定错误和异常值。可检查相关矩阵与 VIF，删除、合并或重新定义高度相关变量，扩大样本，并在研究目的允许时采用主成分回归或岭回归；若整体 \(F\) 检验显著而个别 \(t\) 检验不显著，应优先诊断共线性。