2019年北京大学金融硕士考研真题

由 \((4,2)\) 与 \((2,4)\) 无差异， \[4^n2^{1-\alpha}=2^n4^{1-\alpha}\quad\Rightarrow\quad n=1-\alpha.\] 因而效用排序等价于比较 \(x_1x_2\)。原组合的乘积为 8，新组合 \((5,1)\) 或 \((1,5)\) 的乘积为 5，所以新方案的效用更低，支付意愿不会提高，反而会下降。

原预算下，消费者平均分配两种商品的支出，故原取暖效果为 \[U_0=\frac{w^2}{4P_1P_2}.\]

（1）价格补贴后天然气实际价格为 \(P_3-t\)，取暖效果为 \(w^2/[4P_1(P_3-t)]\)。令其等于 \(U_0\)，得到 \[\boxed{t=P_3-P_2}.\]

（2）收入补贴后预算为 \(w+T\)，取暖效果为 \((w+T)^2/(4P_1P_3)\)。令其等于 \(U_0\)，得到 \[\boxed{T=w\left(\sqrt{\frac{P_3}{P_2}}-1\right)}.\]

（1）风险中性意味着 \(a=1\)。以当期价值比较，投资与不投资无差异要求 \[X_0=P\frac{X_1}{1+r}+(1-P)\frac{X_2}{(1+r)^2}.\] 因而 \[\boxed{P=\frac{X_0(1+r)^2-X_2}{X_1(1+r)-X_2}}.\] 题设已保证存在可行概率，故该值应落在 \([0,1]\) 内。

（2）第二个人的效用 \(U(X)=X^2\) 为凸函数，是风险偏好者。第一问的概率使项目贴现值 \(\widetilde V\) 满足 \(E(\widetilde V)=X_0\)，由 Jensen 不等式， \[E(\widetilde V^2)\geq[E(\widetilde V)]^2=X_0^2.\] 若两种状态的贴现值不同，不等式严格成立，因此第二个人会投资。

（1）分别求一阶条件可得 \[\boxed{h_a^*=\frac{a}{2c}},\qquad \boxed{h_b^*=\frac{b}{2c}}.\]

（2）迁移后，\(A\) 城市选择自身教育水平时，迁入者的人力资本是既定的；\(B\) 城市只能获得留在本地的 \(L-m\) 名劳动者的产出。因此 \[h_a^{**}=\frac{a}{2c},\qquad h_b^{**}=\frac{b(L-m)}{2cL}=\frac{b}{2c}\left(1-\frac{m}{L}\right).\] 与（1）相比，\(A\) 不变，\(B\) 因教育收益外溢而降低投入。

（3）中央政府内部化迁移收益，得到 \[h_a^{***}=\frac{a}{2c},\qquad h_b^{***}=\frac{am+b(L-m)}{2cL}=\frac{b}{2c}+\frac{(a-b)m}{2cL}.\] 因 \(a>b\)，中央统筹下 \(B\) 的教育水平高于（1），而 \(A\) 仍不变。

（1）令总量 \(Q=Nq_1+Nq_2\)。在两区均为内点的对称均衡中， \[ q_1^{NE}=\frac{200-(N+1)c_1+Nc_2}{2N+1},\qquad q_2^{NE}=\frac{200-(N+1)c_2+Nc_1}{2N+1}. \] 若 \(c_1<c_2\)，社会最优把生产交给第一区，\(Q^{SO}=(200-c_1)/2\)；若 \(c_2<c_1\)，则 \(Q^{SO}=(200-c_2)/2\)。即 \[Q^{SO}=\frac{200-\min\{c_1,c_2\}}{2},\] 并需结合非负产量约束判断角点。

（2）题设未限定 \(c_1,c_2\) 的关系；统一税不改变两区的成本差，因而一般不能同时实现最优总量与最优生产配置。对称成本 \(c_1=c_2=c\) 时，两区产量相同，实施税率 \[\boxed{t=\frac{(200-c)(2N-1)}{4N}}\] 可得到 \[\boxed{q_1=q_2=\frac{200-c}{4N}},\qquad Q=\frac{200-c}{2}.\]

（3）同样在 \(c_1=c_2=c\) 的基准下，只对第一区征税时，内点均衡为 \[ q_1=\frac{200-c-(N+1)t}{2N+1},\qquad q_2=\frac{200-c+Nt}{2N+1}. \] 令总量等于社会最优会给出 \(t=(200-c)(2N-1)/(2N)\)，但 \(N>1\) 时由此得到 \(q_1<0\)，不可行。只有 \(N=1\) 时可实施： \[\boxed{t=\frac{200-c}{2},\qquad q_1=0, \qquad q_2=\frac{200-c}{2}}.\] 因此，除这一边界情形外，仅向第一区征税不能达到社会最优。

（1）不一定。若 \(Y=aX+b\) 且方差非零，则 \[\rho_{XY}=\frac{a}{|a|}.\] 所以 \(a>0\) 时相关系数为 1，\(a<0\) 时为 \(-1\)；\(a=0\) 时 \(Y\) 为常数，相关系数无定义。

（2）一定。在 \(\operatorname{Var}(X),\operatorname{Var}(Y)>0\) 下，\(\rho_{XY}=1\) 意味着 Cauchy–Schwarz 不等式取等号，故存在 \(k>0\) 使 \[Y-E(Y)=k[X-E(X)]\] 以概率 1 成立，即二者具有严格的正线性关系。

（1）令设计矩阵 \(\mathbf Z=[\mathbf x,\mathbf x^2]\)、参数向量 \(\boldsymbol\beta=(a,b)^\top\)。极大化正态似然等价于最小化残差平方和，故 \[\boxed{\hat{\boldsymbol\beta}=(\mathbf Z^\top\mathbf Z)^{-1}\mathbf Z^\top\mathbf y}.\] 若 \(S_k=\sum x_i^k\)、\(S_{xy}=\sum x_iy_i\)、\(S_{x^2y}=\sum x_i^2y_i\)、\(D=S_2S_4-S_3^2\)，则 \[ \hat a=\frac{S_{xy}S_4-S_{x^2y}S_3}{D},\qquad \hat b=\frac{S_{x^2y}S_2-S_{xy}S_3}{D}. \]

（2）条件于观测到的 \(x_i\)， \[ E(\hat{\boldsymbol\beta})=\boldsymbol\beta,\qquad \operatorname{Var}(\hat{\boldsymbol\beta})=c^2(\mathbf Z^\top\mathbf Z)^{-1}, \] 且 \[\hat{\boldsymbol\beta}\sim N_2\!\left(\boldsymbol\beta,c^2(\mathbf Z^\top\mathbf Z)^{-1}\right).\] 因此 \(\hat a,\hat b\) 均无偏，其边际方差为该协方差矩阵相应的对角元。

（3）检验 \(H_0:b=0\) 对 \(H_1:b\ne0\)。令 \(s^2=SSE/(n-2)\)，并记 \(v_{22}\) 为 \((\mathbf Z^\top\mathbf Z)^{-1}\) 的第 \((2,2)\) 个元素，则 \[t=\frac{\hat b}{\sqrt{s^2v_{22}}}\sim t_{n-2}\quad(H_0).\] 若 \(|t|>t_{1-\alpha/2,n-2}\)，则拒绝线性关系；否则样本不足以表明二次项显著。

（1）总体是该连锁店全体信用卡顾客收到赠券后的使用行为，总体参数为使用率 \(p\)；样本是先期收到赠券的 100 名顾客及其是否使用赠券的观测结果。

（2）\(\hat p=13/100=0.13\)。Wald 型 90% 置信区间为 \[ 0.13\pm1.645\sqrt{\frac{0.13\times0.87}{100}} =[0.0747,0.1853]. \] 重复抽样时，按此方法构造的区间约有 90% 会覆盖真实总体使用率。

（3）设 \(H_0:p\leq0.10\)，\(H_1:p>0.10\)。在边界值 \(p_0=0.10\) 下， \[Z=\frac{0.13-0.10}{\sqrt{0.10\times0.90/100}}=1.00.\] 因 \(1.00<z_{0.95}=1.645\)，且 \(p\) 值约为 0.159，故在 5% 水平下不能拒绝 \(H_0\)。现有证据不足以证明使用率超过 10%，不宜据此立即在全国推广。

设 \(H_0\)：性别与满意程度独立；\(H_1\)：二者不独立。四个期望频数依次为 \[\frac{250}{7},\quad\frac{450}{7},\quad\frac{275}{7},\quad\frac{495}{7}.\] Pearson 统计量为 \[\chi^2=\sum\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}=\frac{448}{165}\approx2.715,\qquad df=1.\] 因 \(2.715<\chi^2_{0.95,1}=3.841\)，在 5% 显著性水平下不能拒绝 \(H_0\)。样本没有显示男女职工的满意程度存在显著差异。