2020年北京大学金融硕士考研真题

设市民月收入为 \(M\)。价格补贴下，柯布—道格拉斯需求为 \[ x_1^0=\frac{0.4M}{p_1},\qquad x_2^0=\frac{0.8M}{p_2}. \] 取消价格补贴后收入为 \(M+s\)，令新旧间接效用相等，得到 \[M+s=2^{0.2}M,\qquad s_{\min}=(2^{0.2}-1)M\approx0.149M.\]

固定收入补贴下的最优出行为 \[ x_1^1=\frac{0.2\cdot2^{0.2}M}{p_1},\qquad x_2^1=\frac{0.8\cdot2^{0.2}M}{p_2}. \]

价格补贴的财政支出为 \(0.5p_1x_1^0=0.2M\)，固定收入补贴支出为 \((2^{0.2}-1)M\)。因此固定收入补贴负担更小，少支出 \[ \bigl[0.2-(2^{0.2}-1)\bigr]M=(1.2-2^{0.2})M\approx0.051M. \]

设冰激凌占比为 \(\alpha\)。高温和正常气温时的收入分别为 \(W_H=1600+900\alpha\) 与 \(W_N=900-500\alpha\)，故 \[ EU(\alpha)=\tfrac12\sqrt{1600+900\alpha}+\tfrac12\sqrt{900-500\alpha}. \] 一阶条件给出 \(81(900-500\alpha)=25(1600+900\alpha)\)，所以 \[\alpha^*=\frac{47}{90},\qquad1-\alpha^*=\frac{43}{90}.\]

买保险且只卖冰激凌时，两种状态收入为 \((2100,800)\)，期望效用约为 \(37.06\)。最优混合销售时收入为 \((2070,5750/9)\)，期望效用约为 \(35.40\)。因为 \(37.06>35.40\)，小商贩应购买保险并只售卖冰激凌。

因 \(v_a=4L_a\)、\(v_b=L_b\)，居民效用为 \(U=8\sqrt{L_a+L_b}-4L_a-L_b\)。给定总就业时应全部配置给污染较少的 B；再最大化 \(8\sqrt{L_b}-L_b\)，得到 \[L_a^*=0,\quad L_b^*=16,\qquad v_a^*=0,\quad v_b^*=16.\]

无规制时，企业 A 最大化 \(60\sqrt{L_a}-5L_a\)，得 \(L_a=36\)、\(v_a=144\)；企业 B 最大化 \(30\sqrt{L_b}-5L_b\)，得 \(L_b=9\)、\(v_b=9\)。总排污量为 \[v_a+v_b=153.\]

总排污约束为 \(4L_a+L_b=16\)。总就业 \(L_a+L_b=16-3L_a\) 随 \(L_a\) 下降，因此就业最大化的配置仍为 \((v_a,v_b)=(0,16)\)。

不能用有限的统一排污费复制该配置。任意有限 \(t\) 下，企业 A 在 \(L_a\to0\) 时的边际产出收益趋于无穷，不会选择零产出；而令 B 选择 \(L_b=16\) 需要 \(15/4=5+t\)，即 \(t=-5/4\)，更无法使 A 停产。需采用差别化工具或数量管制。

给定 \(p_u\)，下游利润为 \(\pi_D=(p_d-p_u)(1-p_d)\)，一阶条件给出反应函数 \[p_d^*(p_u)=\frac{1+p_u}{2}.\]

因销量为 \(q=(1-p_u)/2\)，上游利润为 \(\pi_U=p_u(1-p_u)/2\)。故 \[p_u^*=\frac12,\qquad p_d^*=\frac34.\]

分离经营时 \(q^*=1/4\)，上下游利润分别为 \(1/8\) 与 \(1/16\)，产业总利润为 \[\Pi^*=\frac{3}{16}.\]

纵向整合后最大化 \(p(1-p)\)，得到 \(p^M=1/2\)、\(q^M=1/2\)、\(\Pi^M=1/4\)。消费者剩余由 \(1/32\) 增至 \(1/8\)。因此整合消除双重加价，使销量、产业利润和消费者福利均提高。

原假设为公司规模与是否开展项目独立。观察频数中，“是”为 \((18,74,52)\)，“否”为 \((182,126,148)\)；在原假设下，两行各列的期望频数分别为 \(48\) 和 \(152\)。

卡方统计量与自由度为 \[ \chi^2=\sum\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}=43.64, \qquad df=(2-1)(3-1)=2. \] 因 \(43.64>\chi^2_{0.95}(2)=5.991\)，在 5% 显著性水平下拒绝原假设，不同规模公司的项目开展比率存在显著差异。

联合密度（似然函数）为 \[ L(\beta,\sigma)=\frac{1}{(2\sigma)^n} \exp\!\left(-\frac1\sigma\sum_{i=1}^n|x_i-\beta|\right). \]

固定 \(\beta\) 对 \(\sigma\) 极大化对数似然，得到 \[ \hat\sigma(\beta)=\frac1n\sum_{i=1}^n|x_i-\beta|, \qquad \hat\sigma=\frac1n\sum_{i=1}^n|x_i-\hat\beta|. \]

对 \(\beta\) 极大化似然等价于最小化绝对偏差和，故 \(\hat\beta\) 为样本中位数。若 \(n\) 为奇数，\(\hat\beta=X_{((n+1)/2)}\)；若 \(n\) 为偶数，则区间 \([X_{(n/2)},X_{(n/2+1)}]\) 中任一点都是极大似然估计，通常取区间中点。

记 \(f_X\) 为 \(X_i\) 的边缘密度。给定 \(X_i\)，有 \(Y_i\mid X_i\sim N(\beta_0+\beta_1X_i,i)\)，因此 \[ \ell(\beta_0,\beta_1)=\sum_{i=1}^n\ln f_X(x_i) -\frac n2\ln(2\pi)-\frac12\sum_{i=1}^n\ln i -\frac12\sum_{i=1}^n\frac{(y_i-\beta_0-\beta_1x_i)^2}{i}. \]

令设计矩阵 \(\mathbf X=[\mathbf1,\mathbf x]\)、\(\Omega=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)\)、 \(\mathbf W=\Omega^{-1}\)。极大似然估计即加权最小二乘估计： \[ \hat{\boldsymbol\beta} =(\mathbf X^\top\mathbf W\mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top\mathbf W\mathbf Y, \qquad \boldsymbol\beta=(\beta_0,\beta_1)^\top. \]

条件于设计矩阵，\(\mathbf Y\mid\mathbf X\sim N(\mathbf X\boldsymbol\beta,\Omega)\)，故 \[ \hat{\boldsymbol\beta}\mid\mathbf X \sim N\!\left(\boldsymbol\beta, (\mathbf X^\top\mathbf W\mathbf X)^{-1}\right). \]

因 \(X_i\sim\operatorname{Bernoulli}(p)\)，中心极限定理给出 \[ \bar X\overset{\mathrm{approx}}{\sim} N\!\left(p,\frac{p(1-p)}n\right). \]

标准误差为 \(\sqrt{p(1-p)/n}\)。事前未知 \(p\) 时取最大值 \(p(1-p)=1/4\)，要求 \(\sqrt{0.25/n}\le0.01\)，得到最小样本量 \[n=2500.\]

作双侧检验 \(H_0:p=0.20\) 对 \(H_1:p\ne0.20\)，统计量为 \[ Z=\frac{\bar X-0.20}{\sqrt{0.20\times0.80/n}}. \] 在 \(H_0\) 下 \(Z\) 近似服从标准正态分布。若 \(|Z|>1.96\)，则在 5% 水平拒绝原假设，认为今年占有率与 20% 显著不同；否则不能拒绝原假设。

泊松分布是离散分布，严格说应写概率质量函数。若 \(X_1\sim\operatorname{Poisson}(\mu_1)\)，则 \[ P(X_1=k)=\frac{\mu_1^ke^{-\mu_1}}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots. \]

独立泊松变量具有可加性： \[ X_1+X_2\sim\operatorname{Poisson}(\mu_1+\mu_2),\qquad P(X_1+X_2=k)=\frac{(\mu_1+\mu_2)^ke^{-(\mu_1+\mu_2)}}{k!}. \]

一般不服从。\(2X_1\) 只能取非负偶数，且 \(E(2X_1)=2\mu_1\)、\(\operatorname{Var}(2X_1)=4\mu_1\)，不满足泊松分布均值等于方差的性质。仅在 \(\mu_1=0\) 的退化情形例外。