2021年北京大学金融硕士考研真题

两种配料单位成本相同，而边际效用分别为 \(MU_1=2\)、\(MU_2=3\)。完全替代偏好下应采用角点解，把全部配料投入单位成本边际效用更高的珍珠，因此 \[X_1:X_2=0:1.\]

（1）在给定价格下，雇员 1 的间接效用可写为 \(V_1(I)=A\sqrt I\)，是严格凹函数；雇员 2 的间接效用为 \(V_2(I)=BI\)，是线性的。不签约时，两人的收入以各 \(1/2\) 概率为 \(M\) 或 0；签约后收入确定为 \(M/2\)。因此 \[A\sqrt{M/2}>\tfrac12A\sqrt M,\qquad B(M/2)=\tfrac12BM.\] 雇员 1 严格愿意签约，雇员 2 无差异，故两人都可以接受。

（2）支付律师费后，双方确定收入为 \((M-x)/2\)。雇员 1 的参与约束给出 \(x\le M/2\)，雇员 2 的参与约束给出 \(x\le0\)。律师费不能为负，所以决定性约束来自风险中性的雇员 2，最大律师费为 \[x_{\max}=0.\]

（1）统一定价 20 元时利润为 \((20-5)\times200=3000\) 元；统一定价 10 元时利润为 \((10-5)\times500=2500\) 元。因此最优统一价格为 20 元，利润为 3000 元。

（2）能够区分消费者后，分别定价 20 元和 10 元，总利润为 \[(20-5)\times200+(10-5)\times300=4500.\] 技术带来的利润增量为 \(4500-3000=1500\) 元，故最高愿付价格为 1500 元。

（1）只有 1 家或 2 家进入时，进入利润分别为 \(150-c>0\) 与 \(75-c>0\)；3 家都进入时利润为 \(50-c<0\)。所以纯策略纳什均衡恰为两家进入、一家不进入： \[(E,E,N),\quad(E,N,E),\quad(N,E,E).\]

（2）设每家以概率 \(p\) 进入。进入的期望收益为 \[(1-p)^2(150-c)+2p(1-p)(75-c)+p^2(50-c).\] 令其等于不进入的收益 0，得 \(50p^2-150p+150-c=0\)。唯一落在 \((0,1)\) 内的根为 \[p=\frac{3-\sqrt{\frac{2c}{25}-3}}{2}.\]

（3）\(c\) 越高，根号项越大，均衡进入概率 \(p\) 越低，因此成本与进入概率负相关。

（1）逆向归纳：李四观察到 \(L\) 时选 \(L\)，观察到 \(R\) 时选 \(R\)。张三据此比较得到 \(L\) 的收益 3 与选 \(R\) 的收益 1，故选择 \(L\)。子博弈精炼均衡策略为张三选 \(L\)，李四分别以 \(L\)、\(R\) 回应 \(L\)、\(R\)；均衡结果为 \((L,L)\)，收益为 \((3,1)\)。

（2）另一纯策略纳什均衡是张三选 \(R\)，李四无论观察到什么都选 \(R\)，结果为 \((R,R)\)。它不是子博弈精炼均衡，因为张三若选 \(L\)，李四在该子博弈中的最优行动应为 \(L\)；“仍选 \(R\)”是不可信威胁。

（3）可令李四选择不观察；在不观察分支中，张三与李四均选 \(R\)；在反事实的观察分支中采用第（1）问的序贯最优策略。李四选择观察只能得到 1，而不观察分支给其收益 3，因此该策略构成与第（2）问结果一致的子博弈精炼均衡，均衡路径结果为 \((R,R)\)。

（1）由支持集 \(0\le x\le y\le1\)，分别积分得 \[f_X(x)=\int_x^1 2(x+y)\,dy=2x+1-3x^2,\quad 0\le x\le1,\] \[f_Y(y)=\int_0^y 2(x+y)\,dx=3y^2,\quad 0\le y\le1,\] 其他取值处均为 0。

（2）令 \(z=x+y\)，则对给定 \(z\)，积分区间为 \(z/2\le y\le\min(z,1)\)，且被积函数为 \(2z\)。因此 \[ f_Z(z)= \begin{cases} z^2,&0\le z\le1,\\ 2z-z^2,&1<z\le2,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \]

源题未给出原始样本数据，无法计算数值结果。设第 \(i\) 个样本作用前后的心率差为 \(d_i\)，样本量为 \(n\)，则 \[\bar d=\frac1n\sum_{i=1}^n d_i,\qquad s_d=\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(d_i-\bar d)^2}.\]

总体平均差 \(\mu_d\) 的 95% 置信区间为 \[\bar d\pm t_{0.975,n-1}\frac{s_d}{\sqrt n}.\] 长期重复抽样时，按此方法构造的区间约有 95% 会包含真实的总体平均心率差。

若区间不包含 0，则在 5% 显著性水平下拒绝“声波对心率无影响”的原假设，认为影响显著；若区间包含 0，则不能拒绝原假设。

（1）\(H_0\)：广告时间与广告印象相互独立；\(H_1\)：二者不独立。

（2）由 \(E_{ij}=\frac{\text{第 }i\text{ 行合计}\times\text{第 }j\text{ 列合计}}{200}\)，期望计数为：

（3）卡方统计量 \[\chi^2=\sum\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\approx9.944,\qquad df=(2-1)(3-1)=2.\] 因 \(9.944>\chi^2_{0.99,2}=9.210\)，在 1% 显著性水平下拒绝 \(H_0\)，广告时间与广告印象存在显著关联；所有期望计数均大于 5，检验条件满足。

（4）不宜只为节约成本机械缩短广告。样本中 24 秒广告的好印象比例最高，为 \(30/70\)，20 秒次之，30 秒最低；可把 24 秒作为候选时长，并结合广告内容、场景与受众继续检验其稳定性。

（1）令 \(S_i=\sin X_i\)、\(\boldsymbol\beta=(a,b,c)^\top\)，设计矩阵 \(\mathbf Z=[\mathbf1,\mathbf X,\mathbf S]\)。正态误差下，对 \(a,b,c\) 极大化似然等价于最小化残差平方和，故 \[\hat{\boldsymbol\beta}=(\mathbf Z^\top\mathbf Z)^{-1}\mathbf Z^\top\mathbf Y,\qquad \hat d=\frac1n\sum_{i=1}^n(Y_i-\hat a-\hat bX_i-\hat c\sin X_i)^2.\]

（2）条件于设计矩阵， \[(\hat a,\hat b,\hat c)^\top\sim N\!\left((a,b,c)^\top,\ d(\mathbf Z^\top\mathbf Z)^{-1}\right).\] 三个估计量的边缘分布即由该均值向量和协方差矩阵相应对角元确定的一元正态分布。

（3）检验 \(H_0:b=0\) 对 \(H_1:b\ne0\)。令 \[t=\frac{\hat b}{\widehat{se}(\hat b)},\qquad \widehat{se}(\hat b)=\sqrt{\frac{RSS}{n-3}\bigl[(\mathbf Z^\top\mathbf Z)^{-1}\bigr]_{22}}.\] 在 \(H_0\) 下，\(t\sim t_{n-3}\)。若 \(|t|>t_{1-\alpha/2,n-3}\)，或等价地 \(b\) 的置信区间不含 0，则认为存在显著线性关系。