2022年北京大学金融硕士考研真题

（1）资产 \(X\) 的收益率均值和方差为 \(1.2\) 与 \(0.09\)，故总回报效用为 \(U_X=12-0.1\times9=11.1\)。资产 \(Y\) 的均值和方差为 \(1.2\) 与 \(0.16\)，故 \(U_Y=12-0.1\times16=10.4\)。应选择 \(X\)，效用为 \(11.1\)。

（2）此时 \(Y\) 的均值和方差为 \(1.3\) 与 \(0.49\)，所以 \(U_Y=13-0.1\times49=8.1\)，仍低于 \(U_X=11.1\)。应继续选择 \(X\)。

（3）两资产协方差为 \(\operatorname{Cov}(R_X,R_Y)=1.35-1.2\times1.3=-0.21\)。组合效用为 \[ U(\alpha)=13-\alpha-0.1(100\alpha^2-140\alpha+49) =-10\alpha^2+13\alpha+8.1. \] 一阶条件给出 \(\alpha^*=13/20=0.65\)，且二阶导数为负。最优配置为 \(X\) 占 65%、\(Y\) 占 35%，最大效用为 \(12.325\)。

（1）柯布—道格拉斯效用的两种商品支出份额分别为 \(1/3\) 和 \(2/3\)，故 \(x^*=8\)，\(y^*=4\)。

（2）商品税下 \(y=\frac{2}{3}\frac{24}{4t_1}=\frac4{t_1}\)。令 \(y=2\)，得 \(t_1=2\)。

（3）所得税下 \(y=\frac{2}{3}\frac{24t_2}{4}=4t_2\)。令 \(y=2\)，得 \(t_2=1/2\)。

（4）商品税方案的消费束为 \((8,2)\)，效用 \(U_1=32\)；所得税方案的消费束为 \((4,2)\)，效用 \(U_2=16\)。在把净化器消费压缩到同一水平时，针对该商品征税的效用损失较小；政策上，若目标是抑制特定商品消费，改变其相对价格通常比普遍压缩收入更有针对性。

两家的利润一阶条件为 \(5q_1+q_2=100\) 与 \(q_1+2\beta q_2=99\)。联立得到 \[ q_1^*=\frac{200\beta-99}{10\beta-1},\qquad q_2^*=\frac{395}{10\beta-1}. \]

（1）由厂商 1 的一阶条件可得 \(p_1=3q_1\)，故 \[ \pi_1^*=\frac52\left(\frac{200\beta-99}{10\beta-1}\right)^2. \]

（2）由厂商 2 的一阶条件可得 \(99-q_1=2\beta q_2\)，故 \[ \pi_2^*=\beta\left(\frac{395}{10\beta-1}\right)^2. \]

（3）厂商 2 在 \(q_2=0\) 处的边际利润为 \(99-q_1\)，故停产条件为 \(q_1\geq99\)。但在题设 \(\beta>1\) 的古诺均衡中，\(q_2^*=395/(10\beta-1)>0\)，不存在使厂商 2 在均衡中停产的 \(\beta\)。

（1）对称纳什均衡满足 \(200-(N+1)q=0\)，所以 \[ q_1=\frac{200}{N+1},\quad Q_1=\frac{200N}{N+1},\quad p_1=\frac{200}{N+1},\quad \pi_1=\frac{40000}{(N+1)^2}. \]

（2）统一决策最大化 \((200-Q)Q\)，得到 \(Q_2=100\)、\(p_2=100\)、总利润 \(10000\)。每户分得利润 \(10000/N\)，对应每户养羊数 \(q_2=100/N\)。

（3）当 \(N>1\) 时，\(q_1>q_2\)、\(Q_1>Q_2\)，但 \(\pi_1<\pi_2\)：分散决策造成过度放牧并降低每户利润。\(N=1\) 时两种情形相同。

（4）分散决策的全村总利润为 \(40000N/(N+1)^2\)，当 \(N\to\infty\) 时趋于 0；统一决策的总利润始终为 \(10000\)。

（5）征税后的对称均衡为 \(q=(200-t)/(N+1)\)。令其等于 \(100/N\)，得到庇古税 \[ t=100-\frac{100}{N}=\frac{100(N-1)}{N}. \]

（1）由 \(\int_{-1}^1c(1-x^2)\,dx=1\)，得 \(c=3/4\)。

（2）密度关于原点对称，故 \(E(X)=0\)。又 \[ E(X^2)=\frac34\int_{-1}^1(x^2-x^4)\,dx=\frac15, \] 因而 \(\operatorname{Var}(X)=1/5\)。

（3）\(Y\) 的取值范围为 \([0,1]\)。对 \(0<y<1\)，两个原像为 \(\pm\sqrt y\)，所以 \[ f_Y(y)=\frac{f_X(\sqrt y)+f_X(-\sqrt y)}{2\sqrt y} =\frac{3(1-y)}{4\sqrt y}. \] 其余取值处密度为 0。

总体标准差已知时，区间半宽 \(E=z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n\)，故样本量应向上取整： \[ n=\left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2. \]

（1）95\% 置信水平、\(E=200\) 时，\(n=(1.96\times1000/200)^2=96.04\)，故需 \(97\) 个样本。

（2）99\% 置信水平、\(E=200\) 时，\(n=(2.576\times1000/200)^2\approx165.89\)，故需 \(166\) 个样本。

（3）95\% 置信水平、\(E=100\) 时，\(n=(1.96\times1000/100)^2=384.16\)，故需 \(385\) 个样本。

（1）\(H_0\)：折扣类型与是否订阅服务相互独立；\(H_1\)：二者不独立。

（2）采用 \(\chi^2=\sum_{i,j}(O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}\)，其中 \(E_{ij}\) 等于对应行合计与列合计之积除以总计。两行期望频数分别为 \[ \left(200,\frac{800}{3},\frac{1000}{3}\right),\qquad \left(100,\frac{400}{3},\frac{500}{3}\right). \] 代入得 \(\chi^2=202.5\)。

（3）自由度为 \((2-1)(3-1)=2\)，0.05 水平的临界值为 \(5.991\)。由于 \(202.5>5.991\)，拒绝 \(H_0\)，有显著证据表明折扣类型与消费者是否订阅服务存在关系。

（1）令 \(Z_i=\ln X_i\)，并以 \(\mathbf W\) 表示列向量依次为常数项、\(X_i\)、\(Z_i\) 的设计矩阵，则正规方程为 \[ \mathbf W'\mathbf W\hat{\boldsymbol\beta}=\mathbf W'\mathbf y, \qquad \hat{\boldsymbol\beta}= \begin{pmatrix}\hat a\\\hat b\\\hat c\end{pmatrix} =(\mathbf W'\mathbf W)^{-1}\mathbf W'\mathbf y. \] 等价地，三条正规方程分别由残差对常数项、\(X_i\) 和 \(\ln X_i\) 的样本内正交条件给出。

（2）检验 \(H_0:c=0\) 对 \(H_1:c\ne0\)。在经典线性回归假定下使用 \[ t=\frac{\hat c}{\operatorname{SE}(\hat c)},\qquad \operatorname{SE}(\hat c)=\hat\sigma\sqrt{[(\mathbf W'\mathbf W)^{-1}]_{33}}, \] 其中 \(\hat\sigma^2=\sum\hat e_i^2/(n-3)\)。若 \(|t|\) 超过临界值则拒绝原假设；也可比较受限与非受限模型残差平方和，作单约束 \(F\) 检验。

（3）仅存在线性关系时，模型为 \(y_i=a+bX_i+e_i\)，且 \[ \hat b=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)(y_i-\bar y)} {\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2}. \] 代入模型可得 \[ \hat b=b+\frac{\sum(X_i-\bar X)e_i}{\sum(X_i-\bar X)^2}. \] 在 \(E(e_i\mid X)=0\) 下，\(E(\hat b\mid X)=b\)，进而 \(E(\hat b)=b\)，所以 \(\hat b\) 无偏。