2023年北京大学金融硕士考研真题

（1）由 \(C_1+S=W\) 和一阶条件 \(1/C_1^2=\beta/(\mu S^2)\)，得到 \[S^*=\frac{W}{1+\sqrt{\mu/\beta}},\qquad C_1^*=\frac{W\sqrt{\mu/\beta}}{1+\sqrt{\mu/\beta}}.\] 因此 \(\mu\) 上升时，最优储蓄下降。

（2）令 \[K=E\left(\frac1R\right)=\frac{1}{2\varepsilon}\ln\frac{\mu+\varepsilon}{\mu-\varepsilon}.\] 一阶条件给出 \[S^*=\frac{W\sqrt{\beta K}}{1+\sqrt{\beta K}},\qquad C_1^*=\frac{W}{1+\sqrt{\beta K}}.\]

（3）由于 \(1/R\) 严格凸，Jensen不等式给出 \(K>1/\mu\)，故风险情形的储蓄高于确定收益率情形。均值不变时，\(\varepsilon\) 上升使分布更分散、\(K\) 上升，因此最优储蓄继续上升。

记 \(W=W_1+W_2\)。（1）给定 \(g\) 时，凹性要求 \(C_1=C_2=(W-g)/2\)；再最大化 \(g(W-g)\)，得到 \[g^*=\frac W2,\qquad C_1^*=C_2^*=\frac W4,\qquad U^*=\frac{W}{\sqrt2}.\]

（2）在两人的选择均为内点时，一阶条件为 \(2g_1+g_2=W_1\)、\(g_1+2g_2=W_2\)，故 \[g_1=\frac{2W_1-W_2}{3},\quad g_2=\frac{2W_2-W_1}{3},\quad g=C_1=C_2=\frac W3.\] 效用和为 \(2W/3<W/\sqrt2\)。个人没有内部化公共品对他人的正外部性，因而公共品供给不足；若财富差异使上述 \(g_i\) 为负，则需改用角点解。

（3）源答案在通常的对称财富情形 \(W_1=W_2\) 下求解：当 \(t<1/3\) 时，税收等额挤出私人供给，总公共品仍为 \(W/3\)；当 \(t\geq1/3\) 时，私人供给为零，\(g=tW\)，且 \(U(t)=\sqrt{2t(1-t)}W\)，故 \(t^*=1/2\)，实现第（1）问配置。题干没有明确给出 \(W_1=W_2\)；若财富不对称，私人供给的角点随财富分布变化，不能直接声称 \(t=1/2\) 实现第（1）问的同一配置。

（1）追随者反应函数为 \(q_2=(1-q_1)/2\)。领导者代入后最大化 \((1-q_1)q_1/2\)，得到 \[q_1^*=\frac12,\qquad q_2^*=\frac14.\]

（2）两家企业的反应函数分别为 \[q_1=\frac{1+\eta-q_2}{2},\qquad q_2=\frac{1-q_1}{2}.\] 联立得到内点均衡 \[q_1^*=\frac{1+2\eta}{3},\qquad q_2^*=\frac{1-\eta}{3}.\] 固定薪酬 \(\omega\) 不影响边际产量选择；\(\eta\) 越大，企业1产量越高、企业2产量越低。

（1）两家的反应函数均为 \(q_i=(6-q_j)/2\)，对称古诺均衡为 \[q_1^*=q_2^*=2.\]

（2）逆向归纳：若不研发，企业1作为产量领导者选择 \(q_1=3\)，企业2选择 \(q_2=3/2\)，企业1利润为 \(9/2\)；若研发，最优产量为 \(q_1=6\)、\(q_2=0\)，扣除研发成本后的利润为 \(7\)。由于 \(7>9/2\)，子博弈完美均衡是企业1研发并选择 \(q_1^*=6\)，企业2选择 \(q_2^*=0\)。

（3）若研发，古诺候选为 \((q_1,q_2)=(4,1)\)，企业1净利润为5，但改为不研发并选 \(q_1=5/2\) 可得 \(25/4\)，故不是均衡。若不研发，候选为 \((2,2)\)，企业1利润为4；改为研发并选 \(q_1=7/2\) 仅得净利润 \(5/4\)。因此纯策略纳什均衡是企业1不研发，且 \(q_1^*=q_2^*=2\)。

因为 \(P(X\geq0)=1/2\)，条件密度在 \(x\geq0\) 上为 \(2\phi(x)\)。因此 \[E(X^3\mid X\geq0)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty x^3e^{-x^2/2}\,dx.\] 令 \(u=x^2/2\)，积分值为2，故 \[E(X^3\mid X\geq0)=\frac{4}{\sqrt{2\pi}}=2\sqrt{\frac{2}{\pi}}.\]

（1）用大样本正态近似，\(90\%\) 置信水平对应 \(z_{0.95}=1.645\)，故近似置信区间为 \[\hat p\pm1.645\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.\]

（2）区间长度为 \(2\times1.645\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}\)。最不利情形是 \(\hat p(1-\hat p)=1/4\)，要求 \[2\times1.645\sqrt{\frac{0.25}{n}}\leq0.01,\] 得 \(n\geq27060.25\)。样本量取整数，因此 \(n_{\min}=27061\)。

（1）由正态总体均值的极大似然估计及不变性，\(\hat\theta=\bar X-\bar Y\)。

（2）该估计量无偏，所以 \[\operatorname{MSE}(\hat\theta)=\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac{\sigma_2^2}{m}.\] 在 \(n+m=N\) 下，一阶条件给出 \(n:m=\sigma_1:\sigma_2\)，即 \[n^*=\frac{\sigma_1}{\sigma_1+\sigma_2}N,\qquad m^*=\frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}N,\] 最小方差为 \((\sigma_1+\sigma_2)^2/N\)。

（3）在最优分配和 \(H_0\) 下， \[Z=\frac{\bar X-\bar Y}{(\sigma_1+\sigma_2)/\sqrt N}\sim N(0,1).\] 显著性水平 \(\alpha\) 的双侧拒绝域为 \(|Z|>z_{1-\alpha/2}\)。

（1）由 \(\hat\beta=(X^\top X)^{-1}X^\top Y\)，有 \[\operatorname{Var}(\hat\beta\mid X)=\sigma^2(X^\top X)^{-1}X^\top V(X)X(X^\top X)^{-1}.\]

（2）令 \[M_1=I_n-X_1(X_1^\top X_1)^{-1}X_1^\top.\] 由Frisch–Waugh–Lovell定理， \[\hat\beta_2=(X_2^\top M_1X_2)^{-1}X_2^\top M_1Y.\]

（3）同方差条件下，利用 \(M_1\) 的对称性和幂等性， \[\operatorname{Var}(\hat\beta_2\mid X)=\sigma^2(X_2^\top M_1X_2)^{-1}.\]