2024年北京大学金融硕士考研真题

（1）设第一期购买国债 \(b\)，则 \(c_1=2-b\)、\(c_2=1+1.1b\)。Euler 方程 \(1/c_1=1.1/c_2\) 与跨期预算约束给出 \(c_1=16/11\)，故 \(b=6/11\approx0.55\)。

（2）此时期望效用为 \(\ln(2-b)+0.5\ln(2+1.1b)+0.5\ln(1.1b)\)。一阶条件化为 \(11b^2+4b-10=0\)，取正根得 \(b=(-2+\sqrt{114})/11\approx0.79\)。坏状态下收入为零使消费者增加预防性储蓄。

由 \(U(x)=20x-5x^2\) 得反需求 \(P(Q)=20-10Q\)，边际成本为 10。（1）四家厂商对称古诺竞争时，每家产量 \(q=0.2\)，总供给量 \(Q=0.8\)。（2）联合最大化总利润 \((20-10Q)Q-10Q\)，得 \(Q=0.5\)。

（3）消费者剩余 \(CS=U(Q)-P(Q)Q=5Q^2\)。两种情形分别为 \(3.2\) 与 \(1.25\)，故古诺竞争下的消费者剩余高出 \(1.95\)。

各行动组合的净收益如下：

（1）纯策略纳什均衡为（卖空，卖空）与（放弃，放弃）。混合均衡中，令对方以概率 \(p\) 卖空，卖空的期望收益为 \(200p-100\)，与放弃收益 0 无差异时 \(p=1/2\)；故双方各以 \(1/2\) 的概率卖空。

（2）后行动者观察到对方卖空时选择卖空，观察到对方放弃时选择放弃。先行动者预见该反应后选择卖空，因此子博弈完美纳什均衡的均衡路径是双方都卖空；后行动者在未到达的“先行动者放弃”节点选择放弃。

（1）若两类公司都融资，融资后价值分别为 \(V_1=400+100+30=530\) 与 \(V_2=100+100+10=210\)。市场按等概率混同估值 \(E(V)=370\)；为筹集 100，公司应出让 \(\alpha=100/370=10/37\approx27.03\%\) 的股权。

（2）状态一原股东融资后的财富为 \((27/37)\times530\approx386.8<400\)，因被低估而不融资。状态二愿意融资；状态一退出后，市场将融资者识别为状态二，按 \(V_2=210\) 定价，出让比例为 \(10/21\)，原股东财富为 110，高于不融资时的 100。最终形成状态一不融资、状态二融资的分离均衡。

这是配对样本 \(t\) 检验。令 \(d_i\) 为增加睡眠后的得分减去通常睡眠下的得分，则（1）\(H_0:\mu_d=0\)，\(H_1:\mu_d\neq0\)。

（2）差值为 \((6,6,2,-2,7,2,7,8,-2)\)，\(\bar d=34/9\)，\(S_d^2=547/36\)，故 \(t=\bar d/(S_d/\sqrt9)=68/\sqrt{547}\approx2.91\)，自由度为 8。

（3）双侧拒绝域为 \(|t|>2.306\)。由于 \(2.91>2.306\)，拒绝原假设；在 \(5\%\) 显著性水平下，增加 1 小时睡眠会显著影响记忆力得分，且样本均值差为正，表现为得分上升。

\(P(X>a)=0.05\) 表明 \(a\) 是正态总体的 \(95\%\) 分位点，因此 \(a=\mu+1.645\sigma\)。正态总体参数的极大似然估计为 \(\hat\mu=\bar X\)、\(\hat\sigma^2=(1/n)\sum_i(X_i-\bar X)^2\)。

由极大似然估计的不变性，\(a\) 的极大似然估计为 \[ \hat a=\bar X+1.645\sqrt{\frac{1}{n}\sum_i(X_i-\bar X)^2}. \]

利用恒等式 \(\max\{X,Y\}=(X+Y+|X-Y|)/2\)。由于 \(E(X+Y)=0\)，且 \(X-Y\sim N(0,2)\)，可写为 \(X-Y=\sqrt2 Z\)，其中 \(Z\sim N(0,1)\)。

由 \(E|Z|=\sqrt{2/\pi}\)，有 \(E|X-Y|=2/\sqrt\pi\)，故 \[ E[\max\{X,Y\}]=\frac{1}{\sqrt\pi}. \]

令 \(X_1,\ldots,X_n\) 独立同分布于参数为 3 的指数分布，其联合密度为 \(3^n e^{-3\sum_iX_i}\)。原式即 \(E[\cos(\bar X_n)]\)。

因 \(E(X_i)=1/3\)，强大数定律给出 \(\bar X_n\to1/3\)（几乎处处）。余弦函数连续且有界，由有界收敛定理，所求极限为 \(\cos(1/3)\)。