2025年北京大学金融硕士考研真题

（1）私人自愿供给下，村民 \(i\) 的最优反应满足 \(X_i=\frac{1}{2N}-\frac{1}{2}X_{-i}\)。在对称纳什均衡中，总投入为 \[X^m=\frac{1}{N+1},\] 随 \(N\) 增加而下降。社会最优满足萨缪尔森规则 \(\sum_i MRS_{Xy}^i=1\)，由 \((1-X)/X=1\) 得 \[X^*=\frac{1}{2},\] 与人口数量无关。

（2）公路具有非竞争性和非排他性，个人出资会给他人带来正外部性。分散决策时村民只计算自身收益，搭便车使私人供给低于社会最优，且人口越多供给不足越明显；税收融资、集体决策或集中协调可以内部化外部收益。

（1）三家企业的一阶条件联立后得到 \[x_1=\frac{10}{13},\qquad x_2=x_3=\frac{6}{13},\] 因而完全信息下的行业总产量为 \(Q=\frac{22}{13}\)。

（2）许可证政策下的贝叶斯纳什均衡为 \[x_1=\frac{52}{61},\qquad x_2=x_3=\frac{24}{61}.\] 龙头企业一定销售，两家中游企业各以 \(0.75\) 的概率获证，所以实际销售量的期望为 \[E[Q]=x_1+0.75x_2+0.75x_3=\frac{88}{61}.\] 若“总产量”指事前计划产量，则为 \(x_1+x_2+x_3=\frac{100}{61}\)；通常按实际销售量理解，答案取 \(\frac{88}{61}\)。

（1）记卖空为 \(S\)，不卖空为 \(P\)。收益矩阵为：

最佳反应给出两个纯策略纳什均衡：\((S,S)\) 与 \((P,P)\)。

（2）若对方以概率 \(p\) 卖空，卖空的期望收益为 \(p-0.5(1-p)\)。令其等于不卖空的收益 0，得 \(p=\frac{1}{3}\)。因此每人以 \(\frac{1}{3}\) 的概率卖空、以 \(\frac{2}{3}\) 的概率不卖空。

（3）可提高融券费用、保证金要求和相关税费，限制杠杆、可卖空标的或大额空头头寸，也可临时禁止卖空并强化信息披露。这些措施通过降低卖空的预期净收益，削弱 \((S,S)\) 均衡的吸引力。

（1）两类企业各占一半，银行期望回收额为 \(\frac12\cdot\frac23F+\frac12\cdot\frac12F=\frac{7}{12}F\)。令其等于 100，得 \[F=\frac{1200}{7}\approx171.43\text{ 万}.\]

（2）高类型在 \(F\ge60\) 时选择原项目，低类型在 \(F\ge140\) 时选择原项目。银行期望回收额分段为 \(\frac{7}{12}F\)、\(\frac56F\) 与 \(F\)，可行零利润解中最小者为 \(F=120\) 万。

（3）设无抵押合同成功时偿还 \(F\)，抵押合同成功时偿还 \(F_C\)。分离激励约束为 \[F_C+40\le F\le F_C+80.\] 取低类型无抵押合同 \(F=200\)，高类型抵押合同由 \(\frac23F_C+\frac13\cdot50=100\) 得 \(F_C=125\)。此时 \(165<200\le205\)，故 \((F_C,F)=(125,200)\) 构成一组满足条件的分离合同。

答案：B、C、D。

\(\bar X\sim N(0,1/n)\)，所以 A 错、D 对；按样本标准差定义，\(\bar X\sqrt n/S\sim t(n-1)\)；独立标准正态变量的平方和服从 \(\chi^2(n)\)。

答案：A、B、C、D。

四个统计量的系数和均为 1。由期望线性性，它们的期望分别都是 \(\mu\)，因此全为无偏估计。

答案：A、D。

样本观测值给定后，\(L(\theta)\) 被视为参数的函数；极大似然估计是使似然函数最大化的参数取值，而不是最大似然值本身。D 是极大似然估计的不变性。

答案：B、D。

显著性水平是预先设定的，不因样本量增加而自动提高；经验分布函数单调不减；样本方差的实现值不保证随样本量增大而下降；统计量是样本观测值的函数且不含未知参数。

（1）逐项累加频率，经验分布函数为

\[ F_n(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 0.3125, & 0\le x<1,\\ 0.5625, & 1\le x<2,\\ 0.7875, & 2\le x<3,\\ 0.9125, & 3\le x<4,\\ 0.975, & 4\le x<5,\\ 1, & x\ge5. \end{cases} \]

（2）\(P(X=0)=0.3125\)；\(P(2<X\le4)=F_n(4)-F_n(2)=0.975-0.7875=0.1875\)。

（1）第一类错误是在 \(H_0\) 为真时错误拒绝 \(H_0\)，概率为 \(\alpha\)；第二类错误是在 \(H_0\) 为假时未拒绝 \(H_0\)，概率为 \(\beta\)，检验功效为 \(1-\beta\)。

（2）固定样本量下两类错误通常此消彼长，应先按实际损失判断哪类错误代价更高，再选择显著性水平。第一类错误代价高时取较小 \(\alpha\)；第二类错误代价高时应提高功效。增大样本量、改进实验设计和使用更有效的统计量，可在控制 \(\alpha\) 的同时降低 \(\beta\)。

（1）给定解释变量后，误差和服从 \(N(0,n\sigma^2)\)，故 \[\sum_{k=1}^{n}Y_k\sim N\left(na+b\sum_{k=1}^{n}X_k,\,n\sigma^2\right).\]

（2）最小化残差平方和得到关于斜率的正规方程 \[\sum_{k=1}^{n}X_k(Y_k-\hat a_n-\hat b_nX_k)=0,\] 即题中等式。它表示样本内残差与解释变量正交，残差中不再保留沿 \(X\) 方向的线性信息。

（3） \[\hat b_n=b+\frac{\sum_k(X_k-\bar X)\varepsilon_k}{\sum_k(X_k-\bar X)^2},\] 因而 \(E(\hat b_n\mid X_1,\ldots,X_n)=b\)。又由 \(\hat a_n=\bar Y-\hat b_n\bar X\) 得 \(E(\hat a_n\mid X_1,\ldots,X_n)=a\)，再取无条件期望即可证明二者无偏。

（1）令前两阶样本矩等于总体矩，可得 \[ \hat a_{MM}=\bar X-\sqrt{3\left(\overline{X^2}-\bar X^2\right)},\qquad \hat b_{MM}=\bar X+\sqrt{3\left(\overline{X^2}-\bar X^2\right)}. \]

（2）为使覆盖全部样本的区间长度最小，极大似然估计为 \[\hat a_{MLE}=X_{(1)},\qquad \hat b_{MLE}=X_{(n)}.\]

（3）矩估计中的 \(\hat a_{MM}\) 一般不是无偏估计；\(E[X_{(1)}]=a+\frac{b-a}{n+1}>a\)，故 MLE 也有正偏。利用 \(E[X_{(n)}]=a+\frac{n(b-a)}{n+1}\)，可构造无偏估计 \[\tilde a=\frac{nX_{(1)}-X_{(n)}}{n-1}.\]

（1）2020 年均值更高、波动更大且左偏；2023 年均值为负、波动较小且右偏，两年分布的位置、离散程度和形态均有差异。

（2）合并均值为 \[\bar x=\frac{244\times26.5\%+242\times(-11.2\%)}{486}\approx7.73\%.\] 用组内平方和加组间平方和计算合并样本方差，得 \(s^2\approx0.069\)，故 \(s\approx26.3\%\)。

（3）检验 \(H_0:\mu_1=\mu_2\) 对 \(H_1:\mu_1\ne\mu_2\)，可采用两独立样本 Welch 检验，统计量为 \[T=\frac{\bar x_1-\bar x_2}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}},\] 再按双侧临界值或 \(p\) 值判断；大样本下也可作正态近似。

（4）在正态性假设下，可对 \(H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\) 使用双样本 \(F\) 检验，统计量 \(F=s_1^2/s_2^2\)，自由度为 \((n_1-1,n_2-1)\)。由于题中偏度提示正态性可能不足，实际分析可改用更稳健的 Levene 或 Brown–Forsythe 检验。