2026年北京大学金融硕士考研真题

风险规避指在期望收益相同时偏好确定结果；用财富效用函数表示，就是 \(U''(W)<0\)，财富边际效用递减。

现实中的保险需求、投资组合分散以及愿意支付风险溢价等行为，都说明多数人在实际决策中表现出风险规避。

不是。吉芬商品是低档必需品，其价格上涨时，负的收入效应压过替代效应，使需求量反而增加。

股票“追涨杀跌”主要源于投资者对未来价格和收益的预期变化，属于资产选择与跨期投机行为，不是消费品需求中的收入效应机制。

核心涉及逆向选择和道德风险。

• 逆向选择发生在发行定价阶段：企业比外部投资者更了解自身质量，低质量企业可能更有动力争取高估值；信息披露、审计、承销和询价用于缓解这一问题。
• 道德风险发生在融资后：管理层取得募集资金后，可能低效投资、利益输送或偏离投资者预期。
• 价格歧视、沉没成本和外部性并非本题一级市场定价的核心矛盾。

（1）反需求为 \(P_{\text{国}}=26-4X_{\text{国}}\)、\(P_{\text{外}}=14-2X_{\text{外}}\)。分别令边际收益等于边际成本 10，得到 \(X_{\text{国}}=2\)、\(P_{\text{国}}=18\)，\(X_{\text{外}}=1\)、\(P_{\text{外}}=12\)，总销量为 3。

（2）统一价格不高于 14 时，两市场总需求给出 \(P=18-\frac{4}{3}X\)，候选最优点为 \(X=3,P=14\)，利润为 12；价格高于 14 时只服务国内市场，最优为 \(X=2,P=18\)，利润为 16。比较后，统一定价下企业只在国内销售，利润最大化总销量为 2。

（1）企业先投入、政府事后征税时，政府反应函数为 \(\tau=2k\)。企业预见该反应并最大化 \(16k-4k^2\)，故 \(k=2\)、\(\tau=4\)，政府效用为 \(U=4\)。

（2）政府先承诺税率时，企业反应为 \(k=4-\tau/4\)。政府据此最大化 \(4\tau-\tau^2/2\)，得到 \(\tau=4\)、\(k=3\)，政府效用为 \(U=8\)。

（3）两种情形税率都为 4，但可信承诺使投入由 2 升至 3、政府效用由 4 升至 8。这体现动态不一致性或“敲竹杠”问题：投入形成沉没成本后，政府有事后重新选择政策的激励，企业因预见这种激励而减少事前投入。

（1）赛事账面亏损不等于社会总收益为负。马拉松可能提升城市知名度，带动旅游、住宿、餐饮和交通，并促进全民健身；这些正外部性不完全进入赛事自身收入。城市宣传、招商、区域竞争及财政软约束也会强化地方政府的办赛激励。

（2）过度办赛会占用道路、安保和医疗资源，影响居民出行、城市秩序与公共安全，产生负外部性。各地争夺赞助、媒体关注和参赛者还可能形成公地悲剧，导致重复投入、同质化和质量下降；统一监管有助于内部化社会成本并约束无序竞争。

因 \(U''(W)=-2<0\)，小明风险规避。（1）持有彩票的期望效用为 \(\frac{1}{2}U(30)+\frac{1}{2}U(20)=850\)。由 \(U(20+P_{\text{卖}})=850\) 及财富定义域，得 \(P_{\text{卖}}=10-5\sqrt{2}\)。市场价格不低于该值时愿意卖出。

（2）由 \(\frac{1}{2}U(30-P_{\text{买}})+\frac{1}{2}U(20-P_{\text{买}})=U(20)\)，得到 \(P_{\text{买}}=5(\sqrt{3}-1)\)。价格不高于该值时愿意购买。

（3）初始财富下降时，保留卖价上升。本题的绝对风险厌恶系数为 \(A(W)=1/(30-W)\)，财富下降会使绝对风险厌恶程度降低，小明更愿意保留这张正期望收益的彩票，因而要求更高价格才愿出售。

（1）设联合密度为 \(f(x,y)\)，则 \[E[E(X\mid Y)]=\int\!\int x\,\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}f_Y(y)\,dx\,dy=\int x f_X(x)\,dx=E(X).\] 其中交换积分次序使用 Fubini 定理。

（2）由 \(D(X\mid Y)=E(X^2\mid Y)-[E(X\mid Y)]^2\) 以及全期望公式， \[E(X^2)=E[D(X\mid Y)]+E{[E(X\mid Y)]^2}.\] 再减去 \([E(X)]^2=[E(E(X\mid Y))]^2\)，即得 \[D(X)=E[D(X\mid Y)]+D[E(X\mid Y)].\]

变量变换后，联合密度为 \(f_{X,Y}(u,v)=10\)，支撑集是 \(0<u<1\)、\(u<v<u+1/10\)，其余处为 0。

（1）联合分布函数可紧凑写为：令 \(a=\min\{\max\{x,0\},1\}\)、\(t_+=\max\{t,0\}\)，则 \[F_{X,Y}(x,y)=5\left[y_+^2-(y-a)_+^2-\left(y-\frac{1}{10}\right)_+^2+\left(y-a-\frac{1}{10}\right)_+^2\right].\] 该式等价于在上述斜带状支撑集上对密度 10 分段积分。

（2）\(\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(X,X+Z)=D(X)=1/12\)。 （3）\(D(Y)=D(X)+D(Z)=101/1200\)，故 \[\rho_{XY}=\frac{1/12}{\sqrt{(1/12)(101/1200)}}=\frac{10}{\sqrt{101}}.\]

（1）由归一化条件 \(\int_0^1\int_0^x kxy\,dy\,dx=k/8=1\)，得 \(k=8\)。

（2）联合分布函数为 \[F(x,y)=\begin{cases} 0,&x\le0\ \text{或}\ y\le0,\\ 2x^2y^2-y^4,&0<y\le x\le1,\\ x^4,&0<x\le1,\ y>x,\\ 2y^2-y^4,&x>1,\ 0<y\le1,\\ 1,&x>1,\ y>1. \end{cases}\]

（3）边缘密度为 \[f_X(x)=\begin{cases}4x^3,&0\le x\le1,\\0,&\text{其它},\end{cases}\qquad f_Y(y)=\begin{cases}4y(1-y^2),&0\le y\le1,\\0,&\text{其它}.\end{cases}\]

（1）由泊松概率质量函数， \[E[Xg(X)]=\sum_{k=1}^\infty g(k)\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{(k-1)!} =\lambda\sum_{j=0}^\infty g(j+1)\frac{\lambda^j e^{-\lambda}}{j!} =\lambda E[g(X+1)].\]

（2）利用上式递推， \[E(X^3)=\lambda^3+3\lambda^2+\lambda,\qquad E(X^4)=\lambda^4+6\lambda^3+7\lambda^2+\lambda.\]

（3）两个估计量都无偏，且 \[D(\hat{\lambda}_1)=\frac{\lambda}{2},\qquad D(\hat{\lambda}_2)=2\lambda^2+\frac{\lambda}{2}.\] 因 \(\lambda>0\) 时第二个方差严格更大，所以 \(\hat{\lambda}_1\) 更有效。

（4）题面只给出两个样本，严格说并未定义可令样本量趋于无穷的估计量序列。若将 \(\hat{\lambda}_1\) 按一般样本均值 \(\bar X_n\) 理解，则在 \(H_0:\lambda=1\) 下， \[\sqrt{n}(\bar X_n-1)\xrightarrow{d}N(0,1).\] 可取 \(Z=\sqrt{n}(\bar X_n-1)\)，双侧检验在 \(|Z|>z_{1-\alpha/2}\) 时拒绝 \(H_0\)。若按题面把 \(n=2\) 代入正态近似，则 \(\hat{\lambda}_1\overset{a}\sim N(1,1/2)\)，统计量为 \(Z=\sqrt{2}(\hat{\lambda}_1-1)\)。