2018年北京大学软件与微电子学院金融科技硕士考研真题

1. \(a,b,c\) 分别表示三种商品的生存消费量，即获得正效用前需要满足的最低消费水平。
2. 可以。效用只表示偏好排序，将原效用作严格递增幂变换即可把正指数之和正规化为 1，而不改变偏好。
3. 令超额收入 \(\widetilde M=M-P_xa-P_yb-P_zc\)，则 \[ x^*=a+\frac{\alpha\widetilde M}{P_x},\qquad y^*=b+\frac{\beta\widetilde M}{P_y},\qquad z^*=c+\frac{\gamma\widetilde M}{P_z}. \] 间接效用为 \[ V(P_x,P_y,P_z,M)= \left(\frac{\alpha}{P_x}\right)^\alpha \left(\frac{\beta}{P_y}\right)^\beta \left(\frac{\gamma}{P_z}\right)^\gamma (M-P_xa-P_yb-P_zc). \]
4. 它关于全部价格和收入是零次齐次的。对任意 \(t>0\)，价格项贡献 \(t^{-(\alpha+\beta+\gamma)}=t^{-1}\)，超额收入贡献 \(t\)，故 \(V(tP_x,tP_y,tP_z,tM)=V(P_x,P_y,P_z,M)\)。

令总产量 \(y=y_1+y_2\)，分别最小化 \(c_1(y_1)+c_2(y_2)\)。

1. 当 \(y\leq2\) 时全部由分厂 1 生产；当 \(y>2\) 时分厂 1 生产 2，余量由分厂 2 生产。因此 \[ C(y)= \begin{cases} y^2/4,&0\leq y\leq2,\\ y-1,&y>2. \end{cases} \]
2. 两个成本函数均为凹函数，成本最小值在集中生产的角点取得；同一产量下分厂 1 成本更低，故 \(C(y)=\sqrt y\)。
3. 内点成本最小化要求 \(2y_1=4y_2\)，结合 \(y_1+y_2=y\) 得 \(y_1=2y/3\)、\(y_2=y/3\)，所以 \(C(y)=2y^2/3\)。

题干没有说明两数之和恰为 100 时的收益。按纳什需求博弈的通常约定，即总和不超过 100 时双方各得自己的要价，设 A、B 的选择为 \(a,b\)，则纯策略纳什均衡集合为 \[ \{(a,b):a+b=100,\ a,b\in[0,100]\}. \]

给定 \(b=100-a\)，A 降低要价只会少得，抬高要价则使双方收益归零；B 同理。因此均衡有无穷多个，包括 \((50,50)\)、\((100,0)\)、\((0,100)\) 等。若不补充“和等于 100”时的规则，原题不能被完整定义，也就无法唯一确定均衡集。

1. \(\rho=-u''(x)/u'(x)\) 是 A 的常数绝对风险厌恶系数；\(\rho\) 越大，A 越厌恶风险。
2. A 的净收入为 \(b(a+\theta)+F-a^2/2\)。CARA—正态条件下 \[ CE_A=ba+F-\frac{a^2}{2}-\frac{\rho b^2\sigma^2}{2}. \]
3. P 风险中性，故 \(CE_P=E[(1-b)(a+\theta)-F]=(1-b)a-F\)。
4. 合同问题可写为 \[ \max_{b,F,a}\ (1-b)a-F \] 满足参与约束 \(CE_A\geq A\)，以及激励相容约束 \(a\in\arg\max_{\widetilde a}CE_A(\widetilde a)\)。
5. 激励相容给出 \(a=b\)，最优时参与约束取等号。代入委托人的目标函数后得到 \[ b^*=\frac{1}{1+\rho\sigma^2},\qquad F^*=A-\frac{1-\rho\sigma^2}{2(1+\rho\sigma^2)^2}. \] 因而最优线性合同为 \(S^*(\pi)=b^*\pi+F^*\)。
6. 由 \(a=b\)，A 的最优努力为 \(a^*=1/(1+\rho\sigma^2)\)。风险厌恶或利润噪声越大，最优激励强度与努力越低。

• 房住不炒：限购、限贷、持有税等措施提高投机成本，抑制投机性需求，使购房需求曲线左移，减轻投机对居住需求的挤出。
• 多主体供给、多渠道保障：引入政府、企业、集体组织和租赁运营主体，增加商品房、保障房、公租房等供给，使有效供给右移并提高供给弹性。
• 租购并举：扩大并改善租赁住房供给，使租房成为购房的更强替代品，分流购房需求，同时直接满足居住需要。
• 需求侧抑制投机与供给侧扩容结合，有助于降低住房价格压力、提高住房可及性，实现“住有所居”。

持久收入理论认为消费取决于消费者依据一生资源形成的持久收入，而不是只取决于当期收入。理性预期意味着时点 \(t-1\) 已知的信息已经全部进入对持久收入和消费的最优预测。

因此，\(t\) 期消费相对上一期的变化只能来自 \(t\) 期新出现、在 \(t-1\) 期不可预测的信息。可写为 \[ C_t=C_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad E_{t-1}(\varepsilon_t)=0. \] 所以消费水平遵循随机游走，消费变动不可由既有信息系统预测。

1. 费雪方程为 \(i\approx r+\pi^e\)。若共同实际利率为 \(r\)，则 \(\pi^e_{CN}=5\%-r\)、\(\pi^e_{US}=2\%-r\)，因此 \(\pi^e_{CN}-\pi^e_{US}=3\%\)。
2. 不能获得无风险的 3% 套利收益。相对购买力平价和非抛补利率平价意味着人民币预期相对美元贬值约 3%，名义利差被预期汇兑损失抵消：\(5\%-2\%-3\%=0\)。若不对汇率风险进行套期保值，这一交易只是有风险的套息交易。

1. 设每次取款额为 \(C\)，总成本为 \(TC=bY/C+iC/2\)。一阶条件给出 \[ C^*=\sqrt{\frac{2bY}{i}}. \]
2. 平均现金余额为每次取款额的一半，故 \(M^d=C^*/2=\sqrt{bY/(2i)}\)。
3. \(\partial\ln M^d/\partial\ln Y=1/2\)。收入增加 1% 时，平均货币需求增加 0.5%，体现货币管理的规模经济；货币持有量占收入的比例会随收入上升而下降。
4. 该模型由鲍莫尔和托宾分别建立。它以取款交易成本与持有现金的利息机会成本之间的权衡，为交易性货币需求提供微观基础，并说明交易性货币需求也会随利率上升而下降。

（1）弗里德曼与凯恩斯的货币需求理论

（2）新货币数量论与古典货币数量论

1. 规模报酬不变意味着 \(F\) 一次齐次。取 \(\lambda=1/(AL)\)，有 \[ \frac{Y}{AL}=F\left(\frac{K}{AL},1\right)\equiv f(k), \] 因而可用有效劳动人均变量把模型集约化。
2. 由 \(k=K/(AL)\) 和 \(\dot K=sY-\delta K\)，得到 \[ \dot k=sf(k)-(n+g+\delta)k. \]
3. 稻田条件表示资本极度稀缺时边际产出趋于无穷，资本极度充裕时边际产出趋于零。结合严格凹性，它保证储蓄曲线与持平投资线在正象限存在唯一内点交点。
4. 正稳态 \(k^*\) 满足 \[ sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*. \] 当 \(k<k^*\) 时 \(\dot k>0\)，当 \(k>k^*\) 时 \(\dot k<0\)，所以该稳态稳定。
5. 平衡增长路径上 \(k\) 与 \(y\) 不变；\(K\) 和 \(Y\) 以 \(n+g\) 增长；人均资本 \(K/L\) 与人均产出 \(Y/L\) 以 \(g\) 增长。
6. Cobb-Douglas 情形有 \(f(k)=k^\alpha\)，故 \[ k^*=\left(\frac{s}{n+g+\delta}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}},\qquad y^*=\left(\frac{s}{n+g+\delta}\right)^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}. \] 若“人均”指每名劳动者，则 \[ \frac{K(t)}{L(t)}=A(t)k^*,\qquad \frac{Y(t)}{L(t)}=A(t)y^*,\qquad A(t)=A_0e^{gt}. \]