2019年北京大学软件与微电子学院金融科技硕士考研真题

（1）令 \(z=\min\lbrace x_1,2x_2\rbrace\)。无浪费地生产一单位 \(z\) 需要 \(x_1=1\)、\(x_2=1/2\)，单位成本为 \(w_1+w_2/2\)。由于 \(y=z+x_3\)，两种生产方式完全替代，故 \[ C(y)=y\min\left\lbrace w_1+\frac{w_2}{2},w_3\right\rbrace. \]

（2）最优投入满足 \(x_1=2x_2=x_3=y\)，即 \(x_1=y\)、\(x_2=y/2\)、\(x_3=y\)。因此 \[ C(y)=\left(w_1+\frac{w_2}{2}+w_3\right)y. \]

货币的影子价格是收入增加一单位所带来的最大效用增量，即收入的边际效用；在消费者效用最大化问题中，它等于预算约束的拉格朗日乘数。

考虑 \[ \max_x U(x)\quad\text{s.t.}\quad \sum_i p_ix_i=m, \] 拉格朗日函数为 \(\mathcal L=U(x)+\lambda(m-\sum_i p_ix_i)\)。令间接效用函数为 \(V(p,m)=U(x^*(p,m))\)，由包络定理， \[ \frac{\partial V(p,m)}{\partial m} =\frac{\partial\mathcal L(x^*,\lambda^*;p,m)}{\partial m} =\lambda^*. \] 因而 \(\lambda^*\) 正是货币的影子价格。

（1）设等弹性需求为 \(Q=AP^{-\varepsilon}\)。由 \(P=Q=1\) 得 \(A=1\)，所以 \[ Q=P^{-\varepsilon},\qquad P=Q^{-1/\varepsilon}. \]

（2）当 \(\varepsilon>1\) 时，利润为 \(\pi=Q^{1-1/\varepsilon}-cQ\)。一阶条件给出 \[ P_m=\frac{c\varepsilon}{\varepsilon-1}, \qquad Q_m=\left(\frac{c\varepsilon}{\varepsilon-1}\right)^{-\varepsilon}. \] 若 \(\varepsilon\leq1\)，该需求形式下不存在有限的内点最优解。

（3）竞争均衡为 \(P_c=c\)、\(Q_c=c^{-\varepsilon}\)。故无谓损失为 \[ \begin{aligned} \mathrm{DWL} &=\int_{Q_m}^{Q_c}\left(Q^{-1/\varepsilon}-c\right)dQ\\ &=\frac{\varepsilon}{\varepsilon-1} \left[c^{1-\varepsilon}-\left(\frac{c\varepsilon}{\varepsilon-1}\right)^{1-\varepsilon}\right] -c\left[c^{-\varepsilon}-\left(\frac{c\varepsilon}{\varepsilon-1}\right)^{-\varepsilon}\right]. \end{aligned} \]

（1）垄断利润为 \(\pi=(2-q)mq-m^2\)。一阶条件 \[ (2-2q)m=0, \qquad (2-q)q-2m=0 \] 给出 \(q_m=1\)、\(m_m=1/2\)；相应价格为 \(p_m=1/2\)。

（2）社会福利为 \[ W=\int_0^q(2-x)m\,dx-m^2=m\left(2q-\frac{q^2}{2}\right)-m^2. \] 一阶条件给出 \(q^*=2\)、\(m^*=1\)。因此垄断配置同时存在产量不足和质量不足。

寻找对称递增均衡 \(b_1(v)=b_2(v)=b(v)\)。类型为 \(v\) 的投标人若按类型 \(z\) 出价 \(b(z)\)，其获胜概率为 \(z\)，期望收益为 \[ (v-b(z))z. \] 对 \(z\) 求一阶条件，并在均衡中令 \(z=v\)，得到 \[ v-b(v)=vb'(v), \qquad \frac{d}{dv}[vb(v)]=v. \] 结合边界条件 \(b(0)=0\)，可得两位投标人的最优投标策略均为 \[ b_i(v_i)=\frac{v_i}{2}. \]

凯恩斯消费函数 \(C=C_0+cY\) 预言平均消费倾向 \(APC=C/Y=C_0/Y+c\) 随收入上升而下降。实证中，横截面和短期数据大体支持这一关系，但长期时间序列显示平均消费倾向较为稳定；两者之间的反差即“消费之谜”。

生命周期假说认为消费者依据终生资源而非仅依据当期收入安排消费，并在一生中平滑消费。若写成 \(C=\alpha W+\beta Y\)，短期内财富 \(W\) 变化较小，故 \(APC=\alpha W/Y+\beta\) 随 \(Y\) 上升而下降；长期中财富与收入大致同比例增长，若 \(W=kY\)，则 \(APC=\alpha k+\beta\) 保持稳定。

（1）设 \(C=C_0+c(Y-T)\)，则 \[ Y=\frac{C_0+I+G-cT}{1-c}. \] 政府购买支出乘数为 \(1/(1-c)\)，税收乘数为 \(-c/(1-c)\)，二者之和为 1。当 \(\Delta G=\Delta T\) 时，\(\Delta Y=\Delta G\)。

（2）古典情形下总供给曲线在充分就业产出 \(\bar Y\) 处垂直。平衡预算扩张使总需求右移，实际产出不变，价格水平上升。

（3）极端凯恩斯情形下总供给曲线水平。总需求右移使产出增加 \(\Delta Y=\Delta G\)，价格水平不变。

（1）央行在产出变化时内生调整 \(M\)，使货币市场始终在 \(i=i^*\) 处均衡。因此 LM 曲线是位于目标利率 \(i^*\) 处的水平线，斜率为 0。

（2）在利率固定时，商品市场决定的均衡产出为 \[ Y^*=\frac{C_0+I(i^*)+G-cT}{1-c}, \] 它不随价格水平 \(P\) 变化；价格变化引起的实际货币余额变化会被央行调整 \(M\) 抵消。因此在横轴为产出、纵轴为价格的通常坐标中，AD 曲线垂直，斜率为无穷大。

（1）民众相信固定规则时有 \(\pi^e=\pi\)，于是 \(u=u_n\)。政府据此最小化 \(u_n+\varphi\pi^2\)，得到 \[ \pi^R=\pi^{e,R}=0, \qquad u^R=u_n, \qquad c^R=u_n. \]

（2）给定民众预期，政府最小化 \[ u_n-\beta(\pi-\pi^e)+\varphi\pi^2. \] 一阶条件给出 \(\pi=\beta/(2\varphi)\)。理性预期均衡中 \(\pi^e=\pi\)，故 \[ \pi^D=\pi^{e,D}=\frac{\beta}{2\varphi}, \qquad u^D=u_n, \qquad c^D=u_n+\frac{\beta^2}{4\varphi}. \] 斟酌处置没有降低均衡失业率，却产生了正的通胀偏差。

题干未给出生产函数，因而不能唯一确定数值形式。若补充采用 Cobb–Douglas 人均生产函数 \(y=k^\alpha\)，其中 \(0<\alpha<1\)，则动态方程为 \(\dot k=sk^\alpha-nk\)。

（1）稳态人均资本满足 \(sk^{*\alpha}=nk^*\)，故 \[ k^*=\left(\frac{s}{n}\right)^{1/(1-\alpha)}. \]

（2）稳态人均产出为 \[ y^*=(k^*)^\alpha=\left(\frac{s}{n}\right)^{\alpha/(1-\alpha)}. \]

（3）稳态消费为 \(c=k^\alpha-nk\)，黄金律条件 \(\alpha k^{\alpha-1}=n\) 给出 \[ k_{GR}=\left(\frac{\alpha}{n}\right)^{1/(1-\alpha)}. \] 令 \(z=k^{1-\alpha}\)，可得 \(\dot z+(1-\alpha)nz=(1-\alpha)s\)。结合 \(k(0)=k_0\)，动态路径为 \[ k(t)=\left[ \frac{s}{n}+ \left(k_0^{1-\alpha}-\frac{s}{n}\right) e^{-(1-\alpha)nt} \right]^{1/(1-\alpha)}, \] 且 \(y(t)=k(t)^\alpha\)，二者分别收敛到 \(k^*\) 与 \(y^*\)。