2020年北京大学软件与微电子学院金融科技硕士考研真题

劣等品满足 \(\partial x/\partial m<0\)，吉芬品满足 \(\partial x/\partial p>0\)。由斯勒茨基方程 \[ \frac{\partial x}{\partial p} =\frac{\partial x^h}{\partial p} -x\frac{\partial x}{\partial m}, \] 其中补偿需求的替代效应 \(\partial x^h/\partial p\leq0\)。

若商品是吉芬品，总价格效应为正，收入效应 \(-x\,\partial x/\partial m\) 必须为正且压倒负的替代效应，因此必有 \(\partial x/\partial m<0\)，即吉芬品一定是劣等品。劣等品虽有正的收入效应，但若其绝对值不足以抵消替代效应，总价格效应仍为负，所以劣等品不一定是吉芬品。

乱停车的期望效用为 \(EU=pU(W-f)+(1-p)U(W)\)。在 \(W\) 附近作二阶展开， \[ U(W-f)\approx U(W)-fU'(W)+\frac{f^2}{2}U''(W), \] 因而威慑带来的效用损失约为 \[ \Delta U=U(W)-EU\approx pfU'(W)+\frac{pf^2}{2}|U''(W)|. \]

记绝对风险厌恶系数 \(A=-U''/U'>0\)。\(\Delta U\) 对发现概率的弹性为 \(\varepsilon_p=1\)，对罚金的弹性为 \[ \varepsilon_f=\frac{1+fA}{1+fA/2}>1. \] 因此在该二阶近似下，罚金按相同比例增加带来的威慑更强；风险厌恶使较大罚金除提高期望损失外，还增加了风险成本。

（1）该条件保证无差异消费者位于区间内部，两家商店均有正的市场份额，不会出现一家商店覆盖整个市场的角点情形。

（2）无差异消费者满足 \(p_1+bx^2=p_2+b(1-x)^2\)，故 \[ \hat x=\frac{p_2-p_1+b}{2b}, \qquad D_1=\frac{p_2-p_1+b}{2b}, \qquad D_2=\frac{p_1-p_2+b}{2b}. \]

（3）商店 1 的利润为 \(\pi_1=(p_1-c)D_1\)，其最优反应为 \(p_1=(p_2+b+c)/2\)；商店 2 同理。联立得到对称均衡 \[ p_1^*=p_2^*=b+c. \] （4）均衡时每家需求均为 \(1/2\)，所以 \[ \pi_1^*=\pi_2^*=\frac b2. \]

两类消费者的总支付意愿分别为 \[ V_H(q)=10q-\frac{q^2}{2}, \qquad V_L(q)=8q-\frac{q^2}{2}. \] 最优筛选菜单中，低类型的参与约束与高类型的激励相容约束取等号，即 \(T_L=V_L(q_L)\)、\(T_H=V_H(q_H)-V_H(q_L)+V_L(q_L)\)。

高类型数量满足 \(V_H'(q_H)=4\)，故 \(q_H^*=6\)。代入约束后的利润函数并对 \(q_L\) 求导，得到 \(2-q_L=0\)，故 \(q_L^*=2\)。相应总付费为 \[ T_L^*=V_L(2)=14, \qquad T_H^*=V_H(6)-V_H(2)+V_L(2)=38. \] 因而最优销售计划为高类型套餐 \((T,q)=(38,6)\) 与低类型套餐 \((T,q)=(14,2)\)。

（1）均衡条件给出 \(Y^*=(C_0+I)/(1-c)\)。储蓄为 \(S=(1-c)Y-C_0\)，代入均衡产出后始终有 \(S^*=I\)。因此在外生投资不变时，自主消费下降不会改变均衡储蓄。

（2）若 \(C_0\) 下降量为 \(\Delta C>0\)，则 \[ \Delta Y=-\frac{\Delta C}{1-c}<0. \] 每个人都试图通过少消费来增加储蓄，会使总需求和收入经乘数机制下降，最终总储蓄仍等于既定投资，并未增加；这就是节俭悖论。

（3）标准新古典理论中通常不会出现该悖论。价格和利率充分调整时，储蓄意愿上升会压低利率、增加投资与资本积累，产出由供给面决定，储蓄不只是总需求的漏出。

（1）世界利率可能因主要经济体货币紧缩、全球投资需求增加、全球储蓄供给下降或通胀预期上升而提高。

（2）浮动汇率下，\(M/P\) 给定，而利率上升降低货币需求；货币市场均衡要求 \(Y\) 上升。与此同时投资下降，名义汇率必须调整以改善净出口。由于采用间接标价法，结论为 \(Y\) 上升、\(e\) 下降即本币贬值、\(NX\) 增加。

（3）固定汇率下 \(e\) 不变，给定价格水平时贸易余额也不变。投资下降使总需求和 \(Y\) 下降；央行通过卖出外汇、回收本币来维持固定汇率，货币供给随之收缩。因此结论为 \(Y\) 下降、\(e\) 不变、\(NX\) 不变。

记 \(c'=C'(Y-T)\)、\(I_r=\partial I/\partial r<0\)、\(I_Y=\partial I/\partial Y>0\)、\(L_r=\partial L/\partial r<0\)、\(L_Y=\partial L/\partial Y>0\)。在实际货币供给不变时，对两条曲线全微分得 \[ (1-c'-I_Y)dY=I_rdr+dG, \qquad dr=\frac{L_Y}{|L_r|}dY. \]

令 \(B=|I_r|L_Y/|L_r|\)，则 \[ dY=\frac{dG}{1-c'-I_Y+B}>0, \qquad dI=(I_Y-B)dY. \] 因此财政扩张使均衡投资增加的边界条件是 \[ I_Y>\frac{|I_r|L_Y}{|L_r|} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{I_Y}{|I_r|}>\frac{L_Y}{|L_r|}. \] 即投资加速器效应必须强于利率上升造成的挤出效应；等号对应投资不变。

（1）由适应性预期和费雪方程，\(r_t=i_t-\pi_t\)。将货币政策方程代入总需求方程并整理，得到 \[ Y_t=\bar Y- \frac{\alpha\theta_\pi}{1+\alpha\theta_Y}(\pi_t-\pi^*) +\frac{\varepsilon_t}{1+\alpha\theta_Y}. \] 当 \(\theta_\pi>0\) 时，动态总需求曲线在 \((Y,\pi)\) 平面中向右下方倾斜。

（2）泰勒原理要求通胀每上升 1 个百分点，央行将名义利率提高超过 1 个百分点，从而使实际利率上升。本模型中 \(\partial i_t/\partial\pi_t=1+\theta_\pi\)，所以泰勒原理等价于 \(\theta_\pi>0\)。通胀上升时，实际利率随之上升并压低总需求，形成稳定通胀的负反馈。

（3）若 \(\theta_\pi<0\)，央行对通胀的名义利率响应不足，实际利率反而下降，动态总需求曲线转为向右上方倾斜。通胀上升会刺激需求并进一步推高通胀，可能形成发散的通胀或通缩过程，均衡缺乏稳定性。

（1）由 \(y_t=k_t^\alpha\) 以及 \(A_{t+1}L_{t+1}=(1+g)(1+n)A_tL_t\)，得到 \[ k_{t+1}= \frac{sk_t^\alpha+(1-\sigma)k_t}{(1+g)(1+n)}. \]

（2）令 \(k_{t+1}=k_t=k^*>0\)，并记 \[ \lambda=(1+g)(1+n)-1+\sigma=g+n+gn+\sigma, \] 则正的稳态资本为 \[ k^*=\left(\frac s\lambda\right)^{1/(1-\alpha)}. \] 当增长率和折旧率较小时，\(\lambda\approx g+n+\sigma\)。

设转移函数为 \(\phi(k)=[sk^\alpha+(1-\sigma)k]/[(1+g)(1+n)]\)。利用稳态条件可得 \[ \phi'(k^*)=\alpha+(1-\alpha)\frac{1-\sigma}{(1+g)(1+n)}. \] 在通常参数条件下 \(0<\phi'(k^*)<1\)，故正稳态局部稳定；从任意正的初始资本出发，资本会单调趋向该稳态。