2021年北京大学软件与微电子学院金融科技硕士考研真题

（1）按 CES 形式 \(U=(x^\rho+y^\rho)^{1/\rho}\)，本题 \(\rho=6\)。形式上的替代弹性为 \(1/(1-\rho)=-1/5\)，通常报告其绝对值 \(\sigma=1/5\)。但 \(\rho>1\) 也意味着该效用函数不满足通常的凹性条件。

（2）在 \(x,y\geq0\)、价格为正的通常消费集合上，效用最大值出现在预算线端点，因此 \[ V(m,P_x,P_y)=\max(m/P_x,m/P_y)=m/\min(P_x,P_y). \] 内点一阶条件得到的 \(m/(P_x^{6/5}+P_y^{6/5})^{5/6}\) 是预算线上的内点极小值，并非全局间接效用。

（3）是。对任意 \(t>0\)，有 \(V(tm,tP_x,tP_y)=tm/[t\min(P_x,P_y)]=V(m,P_x,P_y)\)，所以收入和所有价格同比例变化不改变最优效用。

（1）无差异条件为 \(E[U(W+h)]=U(W-p)\)。在 \(W\) 附近作二阶泰勒展开，并利用 \(E(h)=0\)，得到 \[ E[U(W+h)]\approx U(W)+\tfrac12U''(W)\operatorname{Var}(h), \qquad U(W-p)\approx U(W)-U'(W)p. \] 因而 \(p\approx-\tfrac12[U''(W)/U'(W)]\operatorname{Var}(h)=\tfrac12A(W)\operatorname{Var}(h)\)。该式是小风险下的二阶近似。

（2）不一定。近似风险溢价是否随财富变化取决于 \(A(W)\)：CARA 效用的绝对风险厌恶系数为常数，\(p\) 与 \(W\) 无关；对数效用满足 \(A(W)=1/W\)，\(p\) 随财富增加而下降。

（3）均匀分布 \([-3,3]\) 的方差为 3，故近似风险溢价为 \(p\approx3/(2W)\)。若 \(W>3\) 且要求精确值，则 \[ p=W-\exp\left(((W+3)\ln(W+3)-(W-3)\ln(W-3))/6-1\right). \]

可以。该函数关于要素价格一次齐次、连续且非递减；\(\sqrt{w_1w_2}\) 关于 \((w_1,w_2)\) 凹，因此 \(c\) 关于要素价格凹。由 Shephard 引理，条件要素需求为 \[ x_1=q\left(1+\tfrac12\sqrt{w_2/w_1}\right),\qquad x_2=q\left(1+\tfrac12\sqrt{w_1/w_2}\right), \] 二者均非负。

消去相对价格可得 \((x_1/q-1)(x_2/q-1)=1/4\)。取满足成本对偶关系的较小根，对应的规模报酬不变生产函数为 \[ f(x_1,x_2)=\tfrac23\left[(x_1+x_2)-\sqrt{x_1^2-x_1x_2+x_2^2}\right]. \]

（1）期望效用为 \(\theta\ln a+(1-\theta)\ln[(1-t)w]\)。由预算约束 \(a=(1-\theta)tw/\theta\)，代入并对 \(t\) 求一阶条件，得 \[ t^*=\theta,\qquad a^*=(1-\theta)w. \] 此时 \(a^*=(1-t^*)w\)，就业与失业状态消费相同，实现完全保险。

（2）\(dt^*/d\theta=1>0\)，\(da^*/d\theta=-w<0\)。失业概率上升时，需要由更少的就业者支付更高税率，而平衡预算下每名失业者可获得的保障金下降。

（3）结果不变。对任意严格递增、严格凹的效用函数，公平保险下的一阶条件都要求两种状态的边际效用相等，从而要求消费相等；因此仍有 \(t^*=\theta\)、\(a^*=(1-\theta)w\)，比较静态也相同。

预算约束为 \(c=wl+n\)，时间约束为 \(h=1-l\)。（1）内点一阶条件 \(w/\sqrt c=1/\sqrt h\) 给出 \[ l^*=(w^2-n)/(w^2+w), \] 并须结合 \(0\leq l\leq1\) 检查角点；内点要求相应参数使该值落在区间内。

（2）内点处 \[ dl^*/dw=(w^2+2nw+n)/(w^2+w)^2>0 \] （取 \(n\geq0\)）。因此工资上升时替代效应占主导，最优劳动时间增加。

（3）新的内点一阶条件给出 \(l^*=(\sqrt w-n)/(w+\sqrt w)\)。其导数符号与 \(-w+2n\sqrt w+n\) 相同，因此一般不能在所有工资水平上一概而论：工资较低时可能上升，超过阈值后下降；特别地，\(n=0\) 时 \(l^*=1/(1+\sqrt w)\)，工资越高，劳动时间越少。

货币市场均衡给出 \(M=kPY\)。（1）按增长率近似，\(\pi=\hat M-\hat Y=10\%-4\%=6\%\)。若按离散复合增长精确计算，则 \(\pi=1.10/1.04-1\approx5.77\%\)。

（2）由 \(MV=PY\) 与 \(M=kPY\) 可得 \(V=1/k\)，即剑桥常数与货币流通速度互为倒数。

（3）由 \(MV=PY\)，增长率近似为 \(\pi=\hat M+\hat V-\hat Y=6\%+\theta\)。若 \(\theta\) 表示离散增长率，精确值为 \((1.10)(1+\theta)/1.04-1\)。

（1）流动性陷阱中 LM 曲线在零利率附近水平。价格下降虽然提高实际货币余额 \(M/P\)，但利率不能进一步下降，投资和均衡产出不变。因此在横轴为产出、纵轴为价格的通常坐标中，AD 曲线垂直，斜率为无穷大；等价地说 \(dY/dP=0\)。

（2）在标准 IS–LM 模型中无关。价格即使充分弹性，也无法修复已经失效的“实际货币余额—利率—投资—产出”传导链条，产出仍由 IS 一侧决定。若另行加入实际余额效应，价格下降可通过财富效应刺激消费，此时才会恢复价格与产出的负向关系。

用奥肯定律把产出缺口写为 \(Y-Y_n=-\beta(u-u_n)\)，其中 \(\beta>0\)。与总供给方程联立，得 \[ P-EP=-(\beta/\alpha)(u-u_n). \]

定义通货膨胀率 \(\pi=P-P_{-1}\) 和预期通胀率 \(\pi^e=EP-P_{-1}\)，则 \(P-EP=\pi-\pi^e\)。所以附加预期的菲利普斯曲线为 \[ \pi=\pi^e-(\beta/\alpha)(u-u_n). \] 短期预期给定时，失业率低于自然率对应实际通胀高于预期；长期预期调整后，\(u=u_n\)。

失业人数的流入为 \(fE_t\)，流出为 \(sU_t\)，故 \[ \dot U_t=fE_t-sU_t=fL-(s+f)U_t. \] 因 \(L\) 为常数，失业率满足 \(\dot u_t=f-(s+f)u_t\)。令 \(\dot u_t=0\)，得到稳态失业率 \[ u^*=f/(s+f). \]

动态方程可改写为 \(\dot u_t=-(s+f)(u_t-u^*)\)，解为 \[ u_t-u^*=(u_0-u^*)e^{-(s+f)t}. \] 因 \(s+f>0\)，指数项随时间趋于 0，所以任意初始失业率都收敛到 \(u^*\)，该均衡全局稳定。