2022年北京大学软件与微电子学院金融科技硕士考研真题

（1）边际效用为 \(MU_x=ax^{\delta-1}\)、\(MU_y=by^{\delta-1}\)，故 \[ \mathrm{MRS}_{x,y}=\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{a}{b}\left(\frac{y}{x}\right)^{1-\delta}. \] MRS 只取决于消费比例 \(y/x\)，不取决于消费束的绝对规模，因此偏好是位似的。

（2） \[ \frac{\partial \mathrm{MRS}_{x,y}}{\partial(y/x)} =\frac{a}{b}(1-\delta)\left(\frac{y}{x}\right)^{-\delta}>0. \] 因而在 \(\delta\leq0\) 时，\(y/x\) 上升会使 \(\mathrm{MRS}_{x,y}\) 上升。

（3）先作不改变偏好排序的归一化： \[ \widetilde u_\delta=a\frac{x^\delta-1}{\delta}+b\frac{y^\delta-1}{\delta}. \] 当 \(\delta\to0\) 时，\((x^\delta-1)/\delta\to\ln x\)，故 \(\widetilde u_\delta\to a\ln x+b\ln y=\ln(x^ay^b)\)。对数是严格递增变换，所以极限偏好等价于 \(v(x,y)=x^ay^b\)。

（1）二次效用满足 \(u'(w)=b+2cw\)、\(u''(w)=2c\)，因此 \[ A(w)=-\frac{u''(w)}{u'(w)}=-\frac{2c}{b+2cw},\qquad A'(w)=\frac{4c^2}{(b+2cw)^2}>0. \] 在局部满足 \(u'(w)>0\) 且 \(c<0\) 的风险厌恶区间内，绝对风险厌恶系数为正并随财富上升。

（2）利用 \(E[w^2]=\mu^2+\sigma^2\)，得到 \[ E[u(w)]=a+b\mu+c(\mu^2+\sigma^2). \]

（3）当 \(u(w)=-e^{-\gamma w}\) 时，\(A(w)=\gamma\)，属于常数绝对风险厌恶。由正态分布矩母函数， \[ E[u(w)]=-\exp\left(-\gamma\mu+\frac{1}{2}\gamma^2\sigma^2\right) =-e^{-\gamma(\mu-\gamma\sigma^2/2)}. \]

（1）两期总利润为 \[ \Pi=(a-bq_1)q_1-cq_1+(a-bq_2)q_2-(c-\lambda q_1)q_2. \] 一阶条件为 \((a-c)-2bq_1+\lambda q_2=0\) 与 \((a-c)-2bq_2+\lambda q_1=0\)。均衡具有对称性，故 \[ q_1^m=q_2^m=\frac{a-c}{2b-\lambda}. \]

（2）社会计划者把第一期产量降低第二期成本的学习收益内生化，一阶条件为 \((a-c)-bq_1+\lambda q_2=0\) 与 \((a-c)-bq_2+\lambda q_1=0\)。因此 \[ q_1^*=q_2^*=\frac{a-c}{b-\lambda}. \]

（3）因为 \(b>\lambda>0\)，有 \(q_1^*>q_1^m\)。政府会建议并可通过补贴等方式推动第一期增产，以内化学习效应带来的跨期成本节约。

各厂总成本为 \(TC_k=aq_k+b_kq_k^2\)，边际成本为 \(MC_k=a+2b_kq_k\)，并满足 \(\sum_kq_k=q\)。

（1）若所有 \(b_k>0\)，成本函数为凸函数，应令各厂边际成本相等。由 \(b_kq_k\) 相等可得 \[ q_k=q\frac{1/b_k}{\sum_j1/b_j}, \] 即 \(b_k\) 越小的工厂分配越多。

（2）若所有 \(b_k<0\)，成本函数在产量分配上为凹函数，最小值位于单纯形端点。应把全部产量交给 \(b_k\) 最小、即 \(|b_k|\) 最大的工厂，其余工厂不生产。

（3）存在 \(b_k<0\) 的工厂时，其边际成本低于截距 \(a\)，而正 \(b_k\) 工厂生产后的边际成本高于 \(a\)。因此仍应把全部产量集中到 \(b_k\) 最小的负斜率工厂。

厂商 1 根据自身成本类型选择产量，其两条反应函数为 \[ q_1^H=\frac{a-C_H+0.5q_2}{2},\qquad q_1^L=\frac{a-C_L+0.5q_2}{2}. \] 令期望成本 \(\bar C=\theta C_L+(1-\theta)C_H\)，则厂商 2 面对的期望产量为 \(\bar q_1=\theta q_1^L+(1-\theta)q_1^H\)，反应函数为 \(q_2=(a-c+0.5\bar q_1)/2\)。

联立可得贝叶斯纳什均衡： \[ q_2^*=\frac{2[5a-4c-\theta C_L-(1-\theta)C_H]}{15}, \] \[ q_1^{H*}=\frac{a-C_H+0.5q_2^*}{2},\qquad q_1^{L*}=\frac{a-C_L+0.5q_2^*}{2}. \] 因 \(C_L<C_H\)，低成本类型的均衡产量高于高成本类型。

设弹性价格企业占比为 \(s\)，其定价为 \(p_f=P+a(Y-\bar Y)\)，其中 \(a>0\)；粘性价格企业占比为 \(1-s\)，根据期初预期设定 \(p_s=E[P]\)。总体价格水平是两类价格的加权平均： \[ P=(1-s)E[P]+s[P+a(Y-\bar Y)]. \]

整理得到 \[ P=E[P]+\frac{sa}{1-s}(Y-\bar Y). \] 令 \(\alpha=sa/(1-s)>0\)，即得向上倾斜的短期总供给曲线 \(P=E[P]+\alpha(Y-\bar Y)\)。长期中预期价格调整至实际价格，产出回到自然水平 \(\bar Y\)。

（1）对货币需求函数作对数微分： \[ g_{M/P}=\frac{1}{2}g_Y-g_i. \] 名义利率不变时，按增长率的对数微分口径，实际货币余额增长率为 \(0.5\times10\%=5\%\)。

（2）由 \(V=PY/M=Y/(M/P)\)，有 \[ V=\lambda i\sqrt Y. \]

（3）\(\partial V/\partial\lambda=i\sqrt Y>0\)，所以其他条件不变时，\(\lambda\) 增大会提高货币流通速度。

小型开放经济中 \(r=r^*\)。在浮动汇率制下，\(M\)、\(P\) 和 \(r^*\) 给定，货币市场均衡要求 \(L(r^*,Y-T)\) 不变；由于货币需求随可支配收入增加，必须有 \(\Delta(Y-T)=0\)，即 \(\Delta Y=\Delta T\)。减税时 \(\Delta T<0\)，故总产出下降；汇率升值和净出口下降完成这一调整。

在固定汇率制下，减税提高消费并使 IS* 右移。央行为维持固定汇率，需要通过外汇市场干预增加货币供给，使 LM* 配合右移，因此总产出上升。该结论不同于标准货币需求取决于 \(Y\) 时浮动汇率下财政政策对产出无效的结果。

（1）这是失业的滞后效应：长期失业会造成人力资本折旧和求职意愿下降；内部人—外部人机制会削弱失业者的工资议价与再就业机会；雇主也可能把长期失业经历视为负面信号。因此近期高失业会推高今后的自然失业率。

（2）由 \(\pi-\pi_{-1}=-0.5(u-u^n)\)，若暂时把 \(u^n\) 视为给定，通胀每下降 1 个百分点需要失业率高于自然率 2 个百分点，所以以失业缺口衡量的牺牲率为 2；若按奥肯定律取产出缺口系数 2，则以产出损失衡量约为 4。滞后效应会推高 \(u^n\)，实际反通胀代价可能更大。

（3）长期中 \(\pi=\pi_{-1}\) 且 \(u=u_{-1}=u_{-2}\)，于是 \(u^n=u\)。长期菲利普斯曲线仍为垂直线，即以通胀为纵轴、失业为横轴时斜率为无穷大；但其横向位置由失业历史决定，具有路径依赖。

（1）将生产函数除以 \(L\)，得到 \[ y=A\left[ab^\theta k^\theta+(1-a)(1-b)^\theta\right]^{1/\theta}. \]

题干在资本口径上存在冲突：若 \(K\) 是总资本且 \(L\) 以 \(n\) 增长，则由题给 \(\dot K=sY-(n+\delta)K\) 还应再扣除一次人口稀释，得到 \(\dot k/k=s(y/k)-(2n+\delta)\)。以下沿用源解的意图，即把总资本积累式理解为 \(\dot K=sY-\delta K\)，或把题给的 \(n+\delta\) 视为已经转换到人均资本后的有效折旧率。

（2）按上述源解口径，人均资本动态为 \(\dot k/k=s(y/k)-(n+\delta)\)。当 \(k\to\infty\) 时，\(y/k\to Aa^{1/\theta}b\)，所以持续人均增长要求 \[ s>\frac{n+\delta}{Aa^{1/\theta}b}. \] 该条件要求资本项有效，即 \(a>0\)、\(b>0\)；若 \(a=0\) 或 \(b=0\)，这一持续增长机制不存在。若严格按题面总资本方程理解，则条件中的 \(n+\delta\) 应相应改为 \(2n+\delta\)。

（3）满足上述条件后，严格说经济不会收敛到有限的人均资本稳态，而是进入渐近平衡增长；按源解口径，长期人均资本增长率趋于 \[ g_k=sAa^{1/\theta}b-(n+\delta). \] 若严格按题面总资本方程理解，则应为 \(g_k=sAa^{1/\theta}b-(2n+\delta)\)。

（4）传统索洛模型的资本边际产出趋于零，经济收敛到人均量稳态，储蓄率只影响长期水平；本模型中资本的渐近边际贡献为正常数，可产生持续内生增长，储蓄率会影响长期增长率。