我们整理了2023年北京大学软件与微电子学院金融科技硕士考研真题，并在此开放完整题面与参考答案要点。全卷分为微观经济学和宏观经济学两部分，共十道题，每题15分。微观部分五题，涉及混合效用函数、垄断补贴、圣彼得堡悖论、公共品供给和鲁滨逊经济。宏观部分五题，涉及IS-LM模型、开放经济溢出、货币乘数、通货膨胀成本和带技术进步的索罗模型。题型包括计算、证明和简答，多道题要求先建立关键条件，再判断政策效果或比较均衡配置。
（15分）某个消费者的效用函数：\(U(x,y,z)=x^{\alpha}(\min\{y,z\})^{1-\alpha}\)，\(\alpha\in(0,1)\)，\(x,y,z\)为三种商品，价格分别为\(P_x,P_y,P_z\)，该消费者的收入为\(m\)，求该消费者的间接效用函数\(V(P_x,P_y,P_z,m)\)。
令\(w=\min\{y,z\}\)。最优时\(y=z=w\)，获得一单位复合商品\(w\)的价格为\(P_y+P_z\)，预算约束化为\(P_xx+(P_y+P_z)w=m\)。
Cobb-Douglas需求为\(x^*=\alpha m/P_x\)、\(w^*=(1-\alpha)m/(P_y+P_z)\)。因此 \[ V(P_x,P_y,P_z,m)=m\left(\frac{\alpha}{P_x}\right)^{\alpha} \left(\frac{1-\alpha}{P_y+P_z}\right)^{1-\alpha}. \]
（15分）政府想通过补贴的方式改变垄断配置的不良影响。假设企业享受每单位价格补贴\(s\)，竞争价格为\(p\)，政府的目标是通过补贴使得消费者的商品总价值与总成本的差额最大化。
（1）（10分）求证：\(-\frac{1}{e}=\frac{s}{p}\)。
（2）（5分）政府如果实行一次性补贴，可以实现目标吗？请给出理由。
（1）社会最优要求\(P(q)=MC=p\)。单位补贴下，垄断者的一阶条件是\(P+P'q+s=MC\)。要使其选择社会最优产量，需有\(s=-P'q\)。由需求价格弹性\(e=(1/P')\cdot(P/q)<0\)，可得\(P'=P/(eq)\)，因而\(s=-p/e\)，即\(s/p=-1/e\)。
（2）不能。一次性补贴只给利润增加一个常数，不改变边际收益和边际成本，厂商仍按垄断条件选择产量；只有单位补贴等边际性政策工具才能改变其产量决策。
（15分）赌局抛硬币，直到出现正面向上即结束，如果第\(n\)次才首次出现正面，则获得\(2^n\)元，正反面概率均为0.5。
（1）（7分）求赌局的期望收益。
（2）（8分）假设效用函数为\(u(x)=\ln x\)，赌局的期望效用是多少？
（1）第\(n\)次首次出现正面的概率是\(2^{-n}\)，故 \[ E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}2^n=\sum_{n=1}^{\infty}1=\infty. \]
（2）\(\ln(2^n)=n\ln2\)，且\(\sum_{n=1}^{\infty}n/2^n=2\)，所以 \[ E[u(X)]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\ln2}{2^n}=2\ln2\approx1.386. \] 对应的确定性等价为\(e^{2\ln2}=4\)元。
（15分）假设两个人的效用函数分别为：\(u_i(x,y_i)=x^{0.5}y_i^{0.5}\)，\(i=1,2\)，其中\(x=x_1+x_2\)表示两个人消费\(x\)的和，\(y_i\)代表个体\(i\)在\(y\)上的消费量。假设两个人的收入均为90，\(P_x=5\)，\(P_y=1\)。
（1）（7分）求解纳什均衡。
（2）（8分）求解有效率的配置。
（1）给定他人的公共品供给\(x_j\)，个体\(i\)在预算\(5x_i+y_i=90\)下的最优反应为\(x_i=9-x_j/2\)。对称纳什均衡为\(x_1^*=x_2^*=6\)，公共品总量\(x^*=12\)，且\(y_1^*=y_2^*=60\)。
（2）有效供给满足萨缪尔森条件\(MRS_1+MRS_2=P_x/P_y=5\)。由于\(MRS_i=y_i/x\)，再结合社会资源约束\(5x+y_1+y_2=180\)，得到\(x^{**}=18\)、\(y_1+y_2=90\)。对称有效配置可取\(y_1=y_2=45\)；公共品贡献如何在两人间分摊取决于融资机制。纳什均衡的公共品供给低于有效水平。
（15分）Robinson的效用函数为\(u(c,L)=c(24-L)\)，其中\(c,L\)分别是对鱼的消费量和劳动时间，\(c=\sqrt{L}\)，鱼的价格为1，劳动的工资率为\(w\)，求解均衡时的\(w,c,L\)。
直接代入生产约束，选择\(L\)最大化\(u=\sqrt{L}(24-L)\)。一阶条件 \[ \frac{24-L}{2\sqrt{L}}-\sqrt{L}=0 \] 给出\(L^*=8\)。
因而\(c^*=\sqrt8=2\sqrt2\)。竞争均衡中工资等于劳动边际产出，故\(w^*=1/(2\sqrt8)=\sqrt2/8\)。所以\((w^*,c^*,L^*)=(\sqrt2/8,2\sqrt2,8)\)。
（15分）考虑一个封闭经济。IS曲线：\(Y=C(Y-T)+I(i)+G\)，\(0<c'(Y-T)<1\)，\(I'(i)<0\)。LM曲线：\(M/P=L(i,Y-T)\)，即实际货币余额需求取决于可支配收入，\(L_i=\partial L(i,Y-T)/\partial i<0\)，\(L_Y=\partial L(i,Y-T)/\partial(Y-T)>0\)。假设其他政策不发生变化，政府实施减税（即\(dT<0\)），要使得产出\(Y\)增加（即\(dY>0\)），需要满足什么条件？
对IS曲线和LM曲线分别全微分： \[ (1-c')dY=-c'dT+I'di,\qquad di=-\frac{L_Y}{L_i}(dY-dT). \] 令\(A=|I'|L_Y/|L_i|>0\)，代入后得到 \[ \frac{dY}{dT}=\frac{A-c'}{1-c'+A}. \]
因为减税要求\(dT<0\)，要有\(dY>0\)，必须使\(dY/dT<0\)。分母恒正，故条件为 \[ \boxed{\frac{|I'|L_Y}{|L_i|}<c'}. \] 即消费扩张效应必须强于货币需求增加、利率上升所造成的投资挤出效应。
（15分）假设某国为小型开放经济，其他国家通过实行投资税收抵免来补贴投资，同时调整其他收入使得税收收入不变，但该国没有实行这样的补贴。
（1）世界利率如何变动？
（2）该国贸易余额如何变动？
（3）该国实际汇率如何变动？
（1）其他国家的投资税收抵免使世界投资需求增加，而税收收入不变意味着世界储蓄不因该政策直接变化，因此世界利率上升。
（2）对该小型开放经济，\(NX=S-I(r^*)\)。本国储蓄不变，世界利率上升使本国投资减少，故净出口增加，贸易余额改善。
（3）由\(NX(\varepsilon)=S-I(r^*)\)且\(NX'(\varepsilon)<0\)，更高的净出口需要实际汇率\(\varepsilon\)下降，即本币实际贬值。
（15分）假设某一经济中的基础货币为10000元，人们以通货的形式持有\(1/3\)的货币，另外\(2/3\)的货币作为银行存款持有。银行将\(1/3\)的存款作为准备金。
（1）求通货存款比。
（2）求货币乘数和货币供应量。
（3）假设人们以通货形式持有一半货币，新的货币供给是多少？
（1）\(C=M/3\)、\(D=2M/3\)，所以通货存款比\(cr=C/D=1/2\)。
（2）准备金率\(rr=1/3\)。货币乘数 \[ m=\frac{1+cr}{rr+cr}=\frac{1+1/2}{1/3+1/2}=\frac95=1.8, \] 因而货币供应量为\(1.8\times10000=18000\)元。
（3）通货占货币一半时，通货存款比变为\(cr'=1\)。新货币乘数为\(m'=(1+1)/(1+1/3)=1.5\)，新货币供给为\(15000\)元。
（15分）考虑索罗模型，假设社会只生产一种商品，既可以消费也可以投资，总生产函数为\(Y=F(K(t),A(t)L(t))\)，\(Y,K,A,L\)分别表示产出、资本、知识和劳动。生产函数满足对\(K\)和\(L\)的一次齐次、边际产出为正且递减等新古典生产函数假设。资本动态方程为\(\dot K=sY-\delta K\)，其中\(\dot K\)是资本对时间求导的结果，\(s\)是资本的储蓄率，\(\delta\)是资本的折旧率。假设\(A(t)\)增长率为\(g\)，\(L(t)\)增长率为\(n\)，令有效人均产出和有效人均资本分别为\(y=Y/(AL)\)，\(k=K/(AL)\)，有效人均产出对资本的弹性为\(\alpha=kf'(k)/f(k)\)。
（1）求平衡增长路径上有效人均产出对技术进步率的弹性。
（2）若\(\alpha=2/3\)，\(n=3\%\)，\(\delta=1.5\%\)，\(g\)由\(1\%\)上升至\(2\%\)，均衡人均产出将变化多少？
（1）稳态满足\(sf(k^*)=(n+g+\delta)k^*\)。对\(g\)求导并利用\(\alpha=kf'(k)/f(k)\)，得到 \[ \frac{dk^*}{dg}=-\frac{k^*}{(1-\alpha)(n+g+\delta)}. \] 因而有效人均产出对技术进步率的弹性为 \[ \boxed{\varepsilon_{y,g} =\frac{dy^*}{dg}\frac{g}{y^*} =-\frac{\alpha g}{(1-\alpha)(n+g+\delta)}}. \]
（2）在\(\alpha=2/3\)不变的Cobb-Douglas情形，\(y^*\propto(n+g+\delta)^{-\alpha/(1-\alpha)}\)。因此 \[ \frac{y^*_{\mathrm{new}}}{y^*_{\mathrm{old}}} =\left(\frac{0.03+0.01+0.015}{0.03+0.02+0.015}\right)^2 =\left(\frac{11}{13}\right)^2 \approx0.716. \] 稳态有效人均产出下降约\(28.4\%\)；与此同时，普通人均产出的长期增长率由\(1\%\)提高到\(2\%\)。
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