全卷分为微观经济学和宏观经济学两部分，共十道题，每题15分。微观部分依次考查凹偏好下的效用最大化、公平保险、垄断与竞争的福利比较、公共品供给和外部性机制设计。宏观部分覆盖李嘉图等价、内生税收下的 IS 曲线、开放经济贸易保护、货币扩张的短期与长期效应，以及含失业的索罗模型。各题以计算、模型分析和分问简答为主，外部性题还要求判断政府设计的交叉报告与一致性惩罚方案是否有效。
凹偏好下的效用最大化
（15 分）某个消费者的效用函数：\(U(x, y, z)=x^{2}+3 y^{2}+8 z^{2}\)，\(x, y, z\) 为三种消费商品，价格分别为 \(1\)、\(2\)、\(4\)，该消费者的收入为 16，求该消费者最优选择下各商品的消费量。
该效用函数的 Hessian 矩阵为 \(\operatorname{diag}(2,6,16)\)，正定，因而效用函数严格凸。在凸预算集上最大化凸函数，最优解位于角点。
三个角点 \((16,0,0)\)、\((0,8,0)\)、\((0,0,4)\) 的效用分别为 256、192、128。因此最优消费束为 \((x^*,y^*,z^*)=(16,0,0)\)。
公平保险下的最优投保
（15 分）某严格风险厌恶者拥有冯诺依曼效用函数 \(U(W)\)，其初始财富为 \(W_{0}\)，面临损失 \(m\) 的风险，概率为 \(\pi\)。为了规避风险决定买保险，单位财富的保险价格为 \(p\) 且是公平价格，求此人的最优投保金额。
设投保金额为 \(K\)，则无损失和有损失时的财富分别为 \(W_1=W_0-pK\) 与 \(W_2=W_0-m+(1-p)K\)。公平保险满足 \(p=\pi\)。
期望效用最大化的一阶条件化为 \(U'(W_1)=U'(W_2)\)。由于严格风险厌恶意味着 \(U''(W)<0\)，故 \(W_1=W_2\)，解得 \(K^*=m\)，即全额投保。
垄断与竞争的福利比较
（15 分）消费者对某种商品的需求函数为：\(q=p^{\alpha}\)，其中 \(\alpha<-1\)，厂商生产该商品的平均成本和边际成本均为 \(C\)。考虑完全竞争市场和垄断市场，\(\mathrm{CS}_{\mathrm{c}}\)、\(\mathrm{CS}_{\mathrm{m}}\) 分别为完全竞争和垄断情形下的消费者剩余，\(\pi_{\mathrm{m}}\) 为垄断厂商的利润。
完全竞争时 \(p_c=C\)，且 \(CS_c=-C^{\alpha+1}/(\alpha+1)\)。垄断的一阶条件给出 \(p_m=\alpha C/(\alpha+1)\)，相应地 \(CS_m=-p_m^{\alpha+1}/(\alpha+1)\)。因此 \[ \frac{CS_c}{CS_m}=\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)^{\alpha+1}. \]
垄断利润为 \(\pi_m=-\left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^{\alpha}C^{\alpha+1}/(\alpha+1)\)，故 \[ \frac{\pi_m}{CS_c}=\left(\frac{\alpha}{\alpha+1}\right)^{\alpha}. \]
公共品的最优供给
（15 分）某经济体只有甲和乙两个单位和一种商品，甲对该商品的需求函数为 \(\mathrm{q}_{1}=10-\mathrm{P}\)，乙对该商品的需求函数为 \(\mathrm{q}_{2}=20-\mathrm{P}\)。该商品为纯公共品，一旦生产出来，甲乙都获益，该商品的平均成本和边际成本均为 12。
外部性的机制设计
（15 分）假设有两家企业 \(A\) 和 \(B\)，分别生产产品 \(x\) 和 \(y\)。企业 \(A\) 生产函数为 \(x=f\left(I_{1}\right)\)，\(I_{1}\) 为生产要素，\(x\) 的价格为 \(p\)，生产 \(x\) 的成本为 \(C_{1}(x)\)。企业 \(B\) 生产函数为 \(y=f\left(I_{2}, x\right)\)，\(I_{2}\) 为生产要素。企业 \(B\) 为处理企业 \(A\) 带给其外部性所需要的成本为 \(\mathrm{C}_{2}(\mathrm{x})\)。假设两企业对外部性的影响具有完全信息，政府知道外部性却不知道大小。政府设计了如下方案：
第一阶段：企业 \(A\) 和企业 \(B\) 各报出一个庇古税 \(t_{x}\) 和 \(t_{y}\)；
第二阶段：企业 \(A\) 选择产量 \(x\)，对 \(A\) 企业生产 \(x\) 单位的产出征税 \(t_{y}x\)，同时给 \(B\) 企业 \(t_{x}x\) 单位的补偿。当 \(t_{x} \neq t_{y}\) 时，对两家企业都处以 \(\left(t_{x}-t_{y}\right)^{2}\) 的罚金；当 \(t_{x}=t_{y}\) 时，罚金为零。
试说明政府的这种方案是否有效。
社会最优要求 \(p-C_1'(x^*)=C_2'(x^*)\)。给定报告值，企业 A 选择产量的一阶条件是 \(p-C_1'(x)=t_y\)；A 报告的 \(t_x\) 只影响不一致罚金，因此其最优报告满足 \(t_x=t_y\)。
企业 B 选择 \(t_y\) 的一阶条件可写为 \((t_x-C_2'(x))\frac{dx}{dt_y}+2(t_x-t_y)=0\)。均衡中代入 \(t_x=t_y\)，且 \(dx/dt_y\neq0\)，得到 \(t_y=C_2'(x)\)。结合 A 的产量条件，正好得到社会最优条件。因此在同时报告、内点解和常规二阶条件成立时，该方案有效。
李嘉图等价
（15 分）
内生税收与IS曲线
（15 分）考虑 IS 曲线：\(Y=C(Y-T)+I(i)+G\)，\(0<c^{\prime}(Y-T)<1\)，\(I^{\prime}(i)<0\)。若税收 \(T\) 并非外生给定，而是关于收入的函数 \(T=T(Y)\)，若 \(T^{\prime}(Y)>0\)，\(1-c^{\prime}(Y-T)\left(1-T^{\prime}(Y)\right)>0\)。\(T(Y)\) 的增加相比于税收外生给定的情况下，IS 曲线变得更陡峭还是更平缓？
对 \(Y=C(Y-T(Y))+I(i)+G\) 全微分，可得 \[ \frac{dY}{di}=\frac{I'(i)}{1-c'(1-T'(Y))}. \]
当 \(T'(Y)>0\) 时，分母大于外生税收情形下的 \(1-c'\)，所以 \(\left|dY/di\right|\) 变小。以利率为纵轴、产出为横轴时，IS 曲线变得更陡峭；内生税收发挥了自动稳定器作用。
开放经济中的贸易保护政策
（15 分）考虑一个小型开放经济，IS* 曲线方程为 \(Y=C(Y-T)+I\left(r^{*}\right)+NX(e)+G\)，其中 \(r^{*}\) 为世界利率，LM* 曲线方程为 \(\frac{M}{P}=L\left(r^{*}, Y\right)\)。现在该经济实行贸易保护政策。
货币扩张的短期与长期效应
（15 分）央行计划提高货币供给 \(10\%\)，货币流通速度不变
含失业的索罗模型
（15 分）考虑失业对索罗增长模型的影响，假设生产函数为 \(Y=K^{\alpha}[(1-u) L]^{1-\alpha}\)，其中 \(K\) 为资本，\(L\) 为劳动，\(u\) 为自然失业率，\(0<\alpha<1\)。劳动力的增长率为 \(n\)，资本折旧率为 \(\delta\)，\(\dot{K}=\frac{dK}{dt}=sY-\delta K\)。
定义 \(k=K/L\)，则 \(y=Y/L=k^{\alpha}(1-u)^{1-\alpha}\)，资本动态方程为 \(\dot{k}=sk^{\alpha}(1-u)^{1-\alpha}-(\delta+n)k\)。
免责声明：本页真题为历年考生回忆整理的版本，题面、分值与顺序可能与原卷有出入；答案要点由知经精心努力编写，力求准确，但未经命题单位审定，仅供复习参考，不代表评分标准。知经 KNOWECON 是独立的第三方考研辅导机构，与相关院校无隶属、授权或合作关系。
