2025年北京大学软件与微电子学院金融科技硕士考研真题

记第一期消费束为 \(X=(60,60)\)，第二期消费束为 \(X'=(80,y)\)。第一期买得起 \(X'\) 的条件是 \(6000\geq 4000+50y\)，即 \(y\leq 40\)；第二期买得起 \(X\) 的条件是 \(4000+40y\geq 5400\)，即 \(y\geq 35\)。因此两束相互直接显示偏好、违反 WARP 的区间为 \(35\leq y\leq 40\)。

仅按“第二期消费束被直接显示偏好于第一期消费束”的定义，需要 \(P'X'\geq P'X\)，故 \(y\geq 35\)。若题意还要求两期选择不违反 WARP、能够由一致偏好合理化，则须排除 \(35\leq y\leq 40\)，结论为 \(y>40\)。

（1）马歇尔需求关于全部价格与收入是零次齐次的。由欧拉定理， \(\sum_{j=1}^{n}p_j\frac{\partial x_i}{\partial p_j}+l\frac{\partial x_i}{\partial l}=0\)。两边除以 \(x_i\)，即得 \(\sum_{j=1}^{n}e_{i,j}+e_{i,l}=0\)。

（2）由预算恒等式 \(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i(p,l)=l\)，对 \(l\) 求偏导可得 \(\sum_{i=1}^{n}p_i\frac{\partial x_i}{\partial l}=1\)。又因为 \(s_ie_{i,l}=p_i\frac{\partial x_i}{\partial l}\)，所以 \(\sum_{i=1}^{n}s_ie_{i,l}=1\)。

（1）持有资产的期望效用为 \(\frac12\sqrt{9+7}+\frac12\sqrt{9+27}=5\)。设最低出售价格为 \(C\)，无差异条件 \(\sqrt{9+C}=5\) 给出 \(C=16\) 元。

（2）设最高购买价格为 \(p\)，无差异条件为 \(\frac12\sqrt{16-p}+\frac12\sqrt{36-p}=3\)。令 \(a=\sqrt{16-p}\)、\(b=\sqrt{36-p}\)，则 \(a+b=6\)、\((b-a)(b+a)=20\)，解得 \(a=\frac43\)，从而 \(p=16-\frac{16}{9}=\frac{128}{9}\approx 14.22\) 元。

设消费者支付的含税价格为 \(p^d\)，生产者实际取得的价格为 \(p^s\)。无论法定纳税人是哪一方，都有同一个税楔 \(p^d-p^s=t\)，市场出清条件也同为 \(x(p^d)=y(p^s)\)。因此两种征税方式面对完全相同的方程组，解出的 \(p^d\)、\(p^s\) 与均衡数量均相同；法定纳税人只改变缴税流程，不改变经济税负与均衡消费量。

（1）企业利润为 \(\Pi(q,I)=p(q)q-c(I)q-I\)。一阶条件为 \(p(q)+qp'(q)=c(I)\) 与 \(-c'(I)q=1\)，即边际收益等于单位成本，投资带来的边际成本节约等于投资边际成本。

（2）社会福利为 \(W(q,I)=\int_0^q p(x)\,dx-c(I)q-I\)。一阶条件为 \(p(q)=c(I)\) 与 \(-c'(I)q=1\)。社会最优产量高于垄断产量，因此相应的最优投资也更高。

（3）给定政府投资 \(I\)，企业按 \(p(q_m)+q_mp'(q_m)=c(I)\) 选择 \(q_m(I)\)。政府的一阶条件为 \([p(q_m)-c(I)]q_m'(I)-c'(I)q_m=1\)。政府会计入降成本带来的垄断产量扩张收益，故投资高于企业自行选择的水平；但垄断产量仍低于社会最优产量。在题设采用的标准比较下，\(I_m<I_g<I^*\)，所以政府投资仍低于社会最优投资。

消费之谜是：短期横截面或时间序列中，消费对当期收入的边际反应较小，并呈现正的自主消费；但长期数据中消费与收入大致同比增长，\(C/Y\) 较稳定，消费函数近似通过原点。

永久收入假说把收入分为永久收入与暂时收入，\(Y=Y^P+Y^T\)，并认为消费主要取决于永久收入：\(C=\alpha Y^P\)。短期收入变化常含较多暂时成分，消费者通过储蓄平滑消费，因此短期 MPC 较低；长期中暂时收入平均趋近于零，当前收入与永久收入同向增长，于是 \(C/Y\approx\alpha\) 保持稳定，长期 MPC 高于短期 MPC。

将 \(i=r+E\pi\) 代入模型。IS 方程全微分得到 \(dY=\frac{I'_r}{1-C'}dr\)；在实际货币余额不变时，LM 方程给出 \(0=L'_i(dr+dE\pi)+L'_YdY\)。

联立可得 \[\frac{dr}{dE\pi}=-\frac{L'_i}{L'_i+\frac{L'_YI'_r}{1-C'}}<0.\] 因而当 \(E\pi\) 下降时，实际利率 \(r\) 上升。直观上，预期通胀下降先提高给定名义利率下的实际利率，投资与产出随之下降；货币需求减少会使名义利率下降，但其降幅不足以完全抵消预期通胀的下降。

投资增加要求利率下降。由于产出固定，LM 方程表明利率下降会提高实际货币需求，因此应实施扩张性货币政策、增加 \(M\)。

在大型开放经济中，利率下降会增加资本净流出 \(CF(i)\)。汇率 \(e\) 固定时，国际收支条件要求净出口同步增加，因此需要采用进口限制等贸易保护政策，使 \(NX\) 在既定汇率下上升。

投资和净出口同时增加会推高总需求。为保持 \(Y\) 不变，应配合紧缩性财政政策，即减少政府支出或增加税收，且财政紧缩要足以抵消投资与净出口的扩张效应。政策组合因此是“扩张货币＋紧缩财政＋贸易保护”。

（1）减税提高劳动的税后回报，劳动供给增加。由 \(\bar Y=F(\bar K,\bar L)\)，自然就业与自然产出随之上升。

（2）可支配收入提高、消费增加，使 AD 右移；自然产出提高，使 LRAS 右移。SRAS 的移动取决于短期模型：黏性价格模型中可视为暂不移动；若劳动市场持续出清，劳动供给增加会使 SRAS 右移。

（3）短期内产出上升。若 SRAS 不动，价格水平上升；若 SRAS 也右移，产出增幅更大而价格涨幅更小，价格方向取决于两条曲线的相对移动。长期产出提高至新的自然产出水平；长期价格水平同样取决于 AD 与 LRAS 右移的相对幅度，不能仅凭题设唯一确定。

（1）令 \(\tilde k=K/(AL)^{\beta/(1-\alpha)}\)。由于 \(R\) 固定，其动态方程可写为 \[\frac{\dot{\tilde k}}{\tilde k}=sR^{1-\alpha-\beta}\tilde k^{\alpha-1}-\delta-\frac{\beta}{1-\alpha}(g+n).\] 因为 \(0<\alpha<1\)，右端随 \(\tilde k\) 严格递减，并从正值跨越到负值，所以存在唯一且稳定的正稳态，即唯一稳定的平衡增长路径。

（2）平衡增长路径上 \(Y/K\) 为常数，因此资本与总产出同速增长。对生产函数取增长率，并使用 \(g_R=0\)，有 \(g_Y=\alpha g_K+\beta(g+n)\)。令 \(g_Y=g_K=\gamma\)，得到 \[\gamma=\frac{\beta}{1-\alpha}(g+n).\] 固定自然资源会使长期总产出增长率低于 \(g+n\)，但只要 \(g+n>0\)，并不会使总产出增长必然停滞。