我们整理了 2026 年北京大学软件与微电子学院金融科技硕士考研真题，并在此和答案要点一起开放给大家。全卷分为微观经济学和宏观经济学两部分，共十道大题，两部分各五题、每题 15 分。微观部分包括补偿需求证明、风险资产投资、长短期平均成本曲线、完全竞争比较静态和共有资源税收。宏观部分考查通货紧缩的稳定效应、平衡预算乘数、乘数—加速数模型、目标汇率下的财政政策以及内生增长条件。
补偿需求的性质（15分）
假设消费者具有反映理性偏好的连续可微效用函数 \(u(x)\)，\(x\) 表示商品向量。给定价格向量 \(P\) 和效用水平 \(u\)，消费者支出最小化下的补偿需求表示为 \(x^c(P,u)\)。给定价格向量 \(P^1\) 和 \(P^2\)，给定效用水平 \(u\)。
证明：\((P^1-P^2)\bigl(x^c(P^1,u)-x^c(P^2,u)\bigr)\leq 0\)。
记 \(x^1=x^c(P^1,u)\)、\(x^2=x^c(P^2,u)\)。由两次支出最小化的最优性， \(P^1\cdot x^1\leq P^1\cdot x^2\)，且 \(P^2\cdot x^2\leq P^2\cdot x^1\)。
两式相加并移项即得 \[(P^1-P^2)\cdot(x^1-x^2)\leq 0.\] 这就是补偿需求定律。
风险资产的最优投资（15分）
假设某投资者的冯·纽曼—摩根斯坦效用函数 \(u(w)=\ln w\)。他的初始财富为 \(W_0\)，面临如下投资：投资额为 \(x\)，被投掷的硬币正面朝上，财富为 \((W_0+x)\)；正面朝下，财富为 \((W_0-x)\)。假设被投掷的硬币正面朝上的概率为 \(\pi\)，求该投资者的最优投资额。
在 \(0\leq x<W_0\) 下，期望效用为 \[EU(x)=\pi\ln(W_0+x)+(1-\pi)\ln(W_0-x).\] 一阶条件为 \(\frac{\pi}{W_0+x}-\frac{1-\pi}{W_0-x}=0\)，内部解是 \(x=(2\pi-1)W_0\)。
因目标函数严格凹，结合 \(x\geq0\) 的约束，最优投资额为 \[ x^*=(2\pi-1)W_0\quad\text{当 }\pi>\frac12;\qquad x^*=0\quad\text{当 }\pi\leq\frac12. \]
短期与长期平均成本曲线的关系（15分）
假设某企业存在连续可微的短期平均成本曲线（SAC）和长期平均成本曲线（AC）。在该企业一组 SAC 的基础上，能否画出一条 U 型的 AC，使得它与每条 SAC 的切点也是该条 SAC 的最低点？为什么？
不能。长期平均成本曲线是各条短期平均成本曲线的包络线，切点处二者斜率相同。若每个切点又都是相应 SAC 的最低点，则各切点的 SAC 斜率均为零，因而 AC 在所有产量处的斜率也均为零，只能是水平线，不可能呈 U 型。
对 U 型 AC 而言，只有 AC 自身最低点处的切点同时是相应 SAC 的最低点；AC 下降段的切点位于相应 SAC 最低点左侧，上升段的切点位于其右侧。
完全竞争下的比较静态分析（15分）
假设完全竞争的市场中，生产某一商品的企业数量为 \(m\)。给定产量 \(q\)，每个企业具有相同的严格凸的可微成本函数 \(c(q,a)\)，其中 \(a\) 为外生参数，\(\partial c(q,a)/\partial a>0\)。该商品的可微的总需求函数为 \(x(p(a))\)，\(p(a)\) 为价格水平，\(x'(p(a))<0\)。每个企业的均衡产出用 \(q^*(a)\) 表示。求每个企业的利润函数 \(\pi^*(a)\) 对参数 \(a\) 的边际变化。
企业满足 \(p=c_q(q^*,a)\)，市场出清条件为 \(mq^*=x(p)\)。由包络定理， \[ \frac{d\pi^*}{da}=q^*\frac{dp}{da}-c_a. \]
对企业一阶条件和市场出清条件微分，得到 \[ \frac{dp}{da}=\frac{m c_{qa}}{m-c_{qq}x'(p)}. \] 因而 \[ \boxed{\frac{d\pi^*}{da}=\frac{m q^*c_{qa}}{m-c_{qq}x'(p)}-c_a.} \] 其中第一项是均衡价格变化的间接效应，第二项是成本上升的直接效应；仅凭题设不能进一步确定总效应的符号。
共有资源与庇古税（15分）
一群渔民围着某村唯一的湖自由捕鱼为生，每艘船的成本为 \(c\)，当湖上有 \(n\) 艘船时，船数可以不为整数，每艘船的捕鱼量相同，总捕鱼量为 \(f(n)\)。\(f(0)=0\)，\(f'(n)>0\)，\(f''(n)<0\)。假设鱼的价格为 \(P\)，且不受打鱼量的影响。
由于 \(f\) 严格凹且 \(f(0)=0\)，平均产量高于边际产量，故自由准入导致 \(n_c>n^*\)；该税恰好内化每艘船造成的拥挤外部性。
通货紧缩的效应（15分）
什么是通货紧缩的稳定效应？
二者分别经由货币市场和财富—消费渠道，使通货紧缩时期的总需求与产出产生向均衡恢复的力量，因而称为稳定效应。
平衡预算乘数（15分）
假设 IS 曲线 \(Y=C(Y-T)+I(i)+G\)，\(0<C'(Y-T)<1\)，\(I'(i)<0\)。LM 曲线 \(M/P=L(i,Y)\)，\(L_i=\partial L(i,Y)/\partial i<0\)，\(L_Y=\partial L(i,Y)/\partial Y>0\)。现在考虑 \(G\) 和 \(T\) 等量增加的政策。
乘数—加速数模型（15分）
考虑国民收入恒等式 \(Y_t=C_t+I_t+G_t+NX_t\)。消费函数为 \(C_t=C_0+cY_t\)，\((C_0>0)\)。边际消费倾向 \(c\in(0,1)\)。投资函数为 \(I_t=a(Y_t-Y_{t-1})\)，\(a>1\)。
目标汇率下的财政政策（15分）
考虑实际浮动汇率下开放经济。IS 曲线为：\(Y=C(Y-T)+I(r)+G+NX(e)\)，\(e\) 为单位本币所能购买的国外货币。LM 曲线为：\(M/P=L(r,Y)\)。CF 曲线为 \(NX(e)=CF(r)\)。
假设该经济体处于均衡状态，宣布该均衡汇率为目标汇率，并承诺未来会通过调整货币供给确保汇率等于该目标水平。现在该经济体想实行某一财政扩张政策。请问收入 \(Y\)、利率 \(r\) 和贸易余额 \(NX\) 将会如何变化？
维持目标汇率意味着 \(de=0\)。由外汇市场均衡 \(NX(e)=CF(r)\) 可得 \(dr=0\)；央行必须配合增加货币供给，抵消财政扩张带来的利率与汇率压力。
IS 曲线微分后有 \[ dY=\frac{dG-C'dT}{1-C'}>0, \] 而 \(dNX=NX'(e)de=0\)。因此，收入增加，利率不变，贸易余额不变。
内生增长模型与索洛模型（15分）
考虑生产函数 \(Y=AK+K^{\alpha}L^{1-\alpha}\)，其中 \(A>0\)，参数 \(\alpha\in(0,1)\)。\(Y\)、\(K\)、\(L\) 分别表示总产出水平、总资本水平和总劳动水平。储蓄率为 \(s\)，劳动人口增长率为 \(n\)，折旧率为 \(\delta\)。资本积累动态方程为：\(\dot K=sY-\delta K\)。
请问人均资本水平能否实现长期增长？若能实现，参数需要什么条件？
令 \(k=K/L\)，则人均生产函数为 \(y=Ak+k^\alpha\)，人均资本动态方程为 \[ \dot k=s(Ak+k^\alpha)-(n+\delta)k. \] 因而 \[ \frac{\dot k}{k}=sA+sk^{\alpha-1}-(n+\delta). \]
当 \(k\to\infty\) 时，\(sk^{\alpha-1}\to0\)。所以人均资本能够以正的长期增长率持续增长的条件是 \[ \boxed{sA>n+\delta}, \] 此时长期增长率趋于 \(sA-(n+\delta)>0\)；若 \(sA<n+\delta\)，经济收敛到有限的人均资本稳态。
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