文献综述/EFX 公平分配猜想：存在性、近似保证与研究边界
梳理不可分物品的 EFX 公平分配研究，区分完整分配、部分分配与近似公平，并评述截至 2026 年 9 月的一般估值反例、多重图存在性与四人九件物品的计算机辅助证明。
摘要
EFX 要求任意主体之间的嫉妒，在假想移去被嫉妒者所获物品中的任意一件之后消失。 EFX 存在性猜想的核心版本是：在非负加性估值下，任意人数和任意有限件数的不可分物品，是否总能实现完整 EFX 分配。 本文采用叙述性文献综述，比较精确存在、乘法近似、部分分配和福利保证，并核对近期预印本的适用条件与版本。 截至 2026 年 9 月 9 日，一般加性估值猜想仍未解决；三人和至多三种加性主体类型已有存在性证明。 2026 年的研究进一步给出一般单调及次模估值的反例、多重图估值的存在性结果，以及四人、至多九件物品的计算机辅助存在性证明。 这些成果分别限定了估值范围、扩展了特殊情形，并未消除一般加性估值下完整分配的困难。
关键词公平分配；不可分物品；EFX；嫉妒消除；纳什社会福利；算法博弈论
1EFX 猜想的对象与定义
不可分物品的公平分配研究，考察如何把艺术品、设备或其他不能任意切分的资源分给具有不同偏好的主体。 本文的基本模型假定主体具有同等分配权利，物品带来非负效用，不使用货币补偿，也不附加连通性、容量或所有权限制。 这些条件决定了猜想的范围；加入额外约束之后，存在性可能发生变化。 （Amanatidis 等，2023）
基本模型包含主体集合 $N=\{1,\ldots,n\}$ 和物品集合 $M$ 。 主体 $i$ 对物品束的估值为 $v_i:2^M\to\mathbb R_{\geq 0}$ ，空集估值为零。 加性估值意味着物品束的价值等于各件物品价值之和：
$$ v_i(S)=\sum_{g\in S}v_i(g),\qquad v_i(g)\geq 0. $$完整分配 $A=(A_1,\ldots,A_n)$ 要求各个物品束互不相交，且合起来恰好是全部物品。 无嫉妒（envy-freeness，EF）要求每个主体按照自己的估值，都至少同样喜欢自己的物品束与其他任何人的物品束。 如果只有一件双方都重视的物品，完整分配就无法无嫉妒，因此研究需要放宽公平要求。
1.1EF1 与 EFX 的区别是存在量词与全称量词
移去一件物品后无嫉妒（EF1）要求：对于每个有嫉妒的主体对，存在一件可以从被嫉妒者物品束中移去的物品，使嫉妒消失。 移去任意一件物品后无嫉妒（envy-freeness up to any good，EFX）则要求每一件物品都具有这种效果。 对非空的被比较物品束，两种要求分别写为：
$$ \begin{aligned} \mathrm{EF1}:&\quad \forall i,j,\ \exists g\in A_j, \quad v_i(A_i)\geq v_i(A_j\setminus\{g\});\\ \mathrm{EFX}:&\quad \forall i,j,\ \forall g\in A_j, \quad v_i(A_i)\geq v_i(A_j\setminus\{g\}). \end{aligned} $$空物品束不会引起嫉妒，相应比较直接视为满足。 EFX 中的“移去”是检验分配是否公平的假想操作，实际分配仍然保留全部物品；EFX 也允许原始分配中存在一定嫉妒。 Caragiannis 等在 2016 年会议论文、2019 年期刊版本中系统提出并研究 EFX，将其与最大纳什福利及其他公平标准联系起来。 （Caragiannis 等，2019）
一个具有相同加性估值的两人例子可以说明量词差异。 假定三件物品的价值分别是 1、1、2，第一人得到价值为 1 和 2 的两件物品，第二人得到余下的价值为 1 的物品。 第二人的嫉妒在移去第一人价值为 2 的物品后消失，因此分配满足 EF1；但移去价值为 1 的物品后，第一人仍保留价值为 2 的物品，因此分配不满足 EFX。 将两件价值为 1 的物品分给同一人、价值为 2 的物品分给另一人，则可以实现无嫉妒。 （例子参见 Berger 等，2022）
1.2零价值物品与完整分配需要明确约定
EFX 文献存在两种命名惯例。 一部分论文只要求移去对比较者具有正价值的物品；另一部分论文要求移去任何物品，包括零价值物品。 本文采用后一种较强定义，并统称为 EFX；在区分两种定义的论文中，这一版本通常记为 $\mathrm{EFX}_0$ 。 对加性估值，如果某件物品对比较者价值为零，移去该物品不会降低被比较物品束的价值，所以两种定义对同一分配确有区别。 （Amanatidis 等，2021）
一般非负加性估值类的普遍存在性问题，可以通过正扰动与有限分配的极限论证，在两种定义之间转换。 这种存在性联系不表示两种分配条件逐点相同，也不能未经核对就推广到附加了结构约束的估值类。 本文所称核心猜想，是非负加性估值下完整 EFX 分配的普遍存在性。 （Alkassar、Fouz 与 Mehlhorn，2026，第 2 节注 1）
本文以原始论文、正式出版记录和作者保存版本为主要材料，沿参考文献与后续论文核对研究进展，检索截止日期为 2026 年 9 月 9 日。 正式论文按卷期年份引用，近期预印本另行标明版本；本文属于选择性叙述综述，不把搜索命中数量作为文献覆盖率。 定理中的人数、估值类别、未分配物品数、近似比例与算法复杂度均作为独立比较维度。
2精确存在性证明从少数主体扩展到有限类型
2.1两人结果与三人结果采用不同的构造方法
Plaut 与 Roughgarden（2020）证明，同质单调估值下任意人数都存在 EFX 分配，两人情形也允许双方具有不同的单调估值。 同质情形利用经过适当细化的 leximin 规则，优先改善最低效用及有关的物品束大小；两人情形则可以让一方形成对自己 EFX 可行的两束，再让另一方选择。 这些结果不要求加性，但一般估值的查询模型下，即使两人具有相同估值，寻找 EFX 分配也可能需要指数数量的价值查询。 因此，存在性与高效可计算性必须分别证明。 （Plaut 与 Roughgarden，2020）
Chaudhury、Garg 与 Mehlhorn 的三人定理首次突破了异质加性估值下的两人限制，成果发表于 EC 2020，期刊版本发表于 2024 年。 三人证明在部分 EFX 分配之间移动，通过嫉妒关系、冠军关系和物品束重组，使一个按主体优先次序比较的效用向量持续改善，最终分完物品。 冠军关系识别哪些主体能够通过接收某个物品束的一部分及未分配物品得到改善，从而把单件物品的加入转化为多方交换。 （Chaudhury、Garg 与 Mehlhorn，2024）
Akrami 等（2025）给出另一种三人构造，在完整分配之间改进适当的势函数，并放宽估值条件：只要一名主体具有加性估值，另外两名主体就可以具有任意单调估值。 更一般的定理将加性条件放宽为论文定义的 MMS-feasible 估值条件，该条件包含 nice-cancelable 估值类。 这项成果表明，三人存在性并不要求三人的偏好全部具有加性，但某一主体的结构条件仍是定理的一部分。 （Akrami 等，2025）
2.2主体类型数不同于单件物品价值的种类数
Mahara（2023）证明，如果所有主体的加性估值来自两个给定的估值函数，任意人数都存在完整 EFX 分配。 Prakash HV 等在 EC 2025 将主体类型数推进到三种。 三种主体类型允许每一类有许多主体，也允许单个估值函数对不同物品给出许多不同数值；同一类主体的整个估值函数必须相同。 后一结果同时包含三名加性主体与任意人数、两种加性主体类型的情形。 （Mahara，2023； Prakash HV 等，2025）
双值估值限制的是单件物品取值，而不是主体数量或估值函数数量。 Amanatidis 等（2021）证明，当全部主体对全部物品的取值都来自同一组两个非负数时，最大纳什福利分配满足 EFX，并给出直接寻找 EFX 分配的算法。 纳什福利为零的退化情形需要采用论文规定的细化选择规则。 这一结论不能改写为“每个主体任选两个不同数值”，也不能与“两类主体”互换使用。 物品类型数则要求同类物品对每个主体分别具有相同价值，与主体类型数和全局取值种类数也有区别。 （Amanatidis 等，2021）
| 主体与估值条件 | 已建立的结论 | 代表文献 |
|---|---|---|
| 两名主体；单调估值 | 完整 EFX 存在；一般查询模型下不保证多项式复杂度。 | Plaut 与 Roughgarden（2020） |
| 三名主体；非负加性估值 | 完整 EFX 存在；推广结果只要求一名主体具有适当结构。 | Chaudhury 等（2024）；Akrami 等（2025） |
| 任意人数；至多三种加性主体类型 | 完整 EFX 存在；不是任意四名异质主体的结论。 | Prakash HV 等（2025） |
| 任意人数；全局双值加性估值 | 存在 EFX；与适当定义的最大纳什福利相容。 | Amanatidis 等（2021） |
| 任意人数；多重图上的 cancelable 估值 | 完整 EFX 存在且可多项式计算；预印本结果。 | Afshinmehr 等（2026） |
| 四名主体；加性估值；至多九件物品 | 完整 EFX 存在；计算机辅助证明，预印本结果。 | Alkassar 等（2026） |
| 任意人数、任意件数；非负加性估值 | 普遍存在性尚未解决；四人任意件数仍是未解情形。 | 截至 2026 年 9 月的检索结论 |
3图结构通过限制共同需求扩展了存在性范围
图估值模型把主体表示为顶点，把物品表示为边；一件物品只有相应边的两个端点主体可能赋予正价值。 Christodoulou 等（2023）证明，在简单图及主体对关联边具有单调估值的条件下，完整 EFX 分配存在。 简单图意味着同一对主体之间至多存在一件共同重视的物品，因此这项结果控制的是偏好重叠结构，而不是主体人数。 （Christodoulou 等，2023）
图估值模型中的一般分配允许把某件物品分给不重视该物品的主体。 如果进一步要求每件物品只能分给某个端点，问题就成为 EFX 定向问题。 Christodoulou 等证明，EFX 定向不一定存在，而且判定其存在性是 NP 完全的。 因此，完整 EFX 的存在性不能直接解释为所有物品都能分给使用价值为正的人；帕累托效率或禁止浪费是需要另外检验的要求。 （Christodoulou 等，2023）
Afshinmehr 等于 2026 年 6 月发表预印本，将精确存在性扩展到任意多重图上的 cancelable 估值，并给出多项式时间算法。 多重图允许同一对主体共同重视多件物品，cancelable 估值则包含加性估值。 cancelable 条件要求：向两个互不相交的物品束加入同一件外部物品后，如果前者价值严格更高，那么加入之前前者也必须严格更高。 算法先把平行边组织为双方可比较的物品束，再控制部分分配中的嫉妒路径，最后安排余下物品。 这项结果取消了简单图限制，但保留了每件物品至多涉及两个主体的结构，也没有要求分配必须是图的定向。 （Afshinmehr 等，2026）
4部分分配减少了未分配物品但尚未完成核心猜想
部分分配允许保留未分配物品池 $P$ ，因而完整性与公平性成为两个独立要求。 如果没有任何限制，把全部物品留在池中就能使所有主体的空分配满足 EFX。 因此，有意义的部分分配定理需要限制池中的物品数、物品池的主观价值，或者分配实现的福利。
Chaudhury、Kavitha、Mehlhorn 与 Sgouritsa（2021）证明，对一般单调估值，可以找到部分 EFX 分配，使未分配物品少于主体人数，且没有主体更偏好整个未分配物品池。 这项结论可写为：
$$ |P|\leq n-1,\qquad v_i(A_i)\geq v_i(P)\quad\text{对所有 }i. $$上述结果通常称为“带慈善的 EFX”，其中“慈善”是对未分配物品的命名，不表示模型已经指定现实中的受赠者。 物品数量上界与无嫉妒物品池条件共同排除了任意扣留资源的做法，但仍允许个别未分配物品具有较高价值。 （Chaudhury 等，2021）
Berger 等（2022）把四名加性主体的剩余物品数降到至多一件，并在完整版本中把任意人数的加性估值情形改善为至多剩余 $n-2$ 件。 Ghosal 等（2025）进一步按照主体类型数计量，在至少两种加性主体类型时，将相应上界写为类型数减二，并维持无人嫉妒物品池。 同质估值已有完整分配结果，需要单独处理。 （Berger 等，2022； Ghosal 等，2025）
最后一件物品的加入可能同时改变多名主体之间的比较，因此“至多剩余一件”不能直接推出“全部分完”。 三人研究已经给出反例：某个部分 EFX 分配的纳什福利可以高于任何完整 EFX 分配。 这种反例排除了从任意部分 EFX 分配出发、只允许福利不断提高就必能完成分配的普遍论证；它没有否定完整 EFX 分配本身的存在。 （Chaudhury、Garg 与 Mehlhorn，2024）
5近似 EFX 与移去多件物品是不同的放宽方式
5.1乘法近似保留了任意单件删除的要求
乘法近似 EFX 用一个不超过 1 的系数放宽效用比较，要求：
$$ v_i(A_i)\geq\alpha\,v_i(A_j\setminus\{g\}), \qquad \forall i,j,\ \forall g\in A_j,\quad 0<\alpha\leq1. $$近似系数越接近 1，公平要求越强。 系数表示同一主体对两个物品束的价值比较，不表示主体获得了全部资源价值的某一比例，也不等于纳什福利近似率。 Amanatidis、Markakis 与 Ntokos（2020）结合预处理、轮流选择与嫉妒环消除，建立任意人数、非负加性估值下的完整 $(\sqrt5-1)/2\approx0.618$ -EFX 分配算法。 截至本文检索截止日，这仍是该一般模型已核对文献中的最佳通用保证。 （Amanatidis、Markakis 与 Ntokos，2020； Filos-Ratsikas、Kalantzis 与 Wang，2026）
Amanatidis、Filos-Ratsikas 与 Sgouritsa（2024）在至多七名主体、全局至多三个估值数值，或多重图加性估值等特殊情形下，将完整分配保证提高到三分之二。 Prakash HV、Mehta 与 Nimbhorkar（2025）的预印本在至多四种加性主体类型下也建立三分之二保证，允许主体人数任意。 这些条件分别约束人数、数值种类或偏好类型，不能据此宣称任意加性实例已经达到三分之二。 （Amanatidis 等，2024； Prakash HV、Mehta 与 Nimbhorkar，2025）
Filos-Ratsikas、Kalantzis 与 Wang（2026）的预印本将三分之二 EFX 的人数保证推进到八名，并给出多项式算法。 论文附录同时讨论了早期算法运行时间论证中的疏漏及修正。 因此，近似率的存在性结果与原始复杂度证明的有效性应分别引用，不能把早期摘要中的复杂度表述直接视为全部后续版本的结论。 （Filos-Ratsikas、Kalantzis 与 Wang，2026，定理 3.7 与附录 B）
5.2近乎精确的部分分配与 EF2X 改变了其他条件
Akrami 等（2025）利用彩虹环数这一极值组合问题，把加性估值下接近精确 EFX 的未分配物品数量降到约为人数平方根的量级。 更准确地说，对于固定范围内的正参数，存在下述部分分配保证，其中波浪符号隐藏对数因子：
$$ (1-\varepsilon)\text{-EFX},\qquad |P|=\widetilde O\!\left(\sqrt{n/\varepsilon}\right), \quad 0<\varepsilon\leq\tfrac12. $$彩虹环方法通过寻找跨越不同类别的循环交换来分配更多物品。 这一结果同时放宽了精确公平和完整分配；当参数趋于零时，数量上界随之变化，因此不能直接令参数等于零来取得完整 EFX。 论文标题中的“近乎最优”涉及该组合方法能够提供的界限，也不是对核心存在性猜想的解决。 （Akrami 等，2025）
EF2X 则保持完整分配，把假想移去的物品数由一件改为任意两件。 Ashuri、Gkatzelis 与 Sgouritsa（2025）证明，四名主体具有 cancelable 估值时，EF2X 分配存在并可在伪多项式时间内构造。 Filos-Ratsikas 等（2026）进一步给出任意人数、加性估值下的四分之三 EF2X 保证。 EF2X 和近似 EFX 改变的条件不同，四分之三 EF2X 不能当作四分之三 EFX，也不能按系数大小与三分之二 EFX 直接排名。 （Ashuri、Gkatzelis 与 Sgouritsa，2025； Filos-Ratsikas 等，2026）
6公平、福利与实际分配机制需要分别评价
纳什社会福利通常用主体效用的几何平均数衡量，最大值在全部完整分配中取得。 几何平均数与效用乘积具有相同的最大化解，但讨论近似比例时必须保持定义一致：
$$ \mathrm{NW}(A)=\left(\prod_{i=1}^{n}v_i(A_i)\right)^{1/n}. $$Caragiannis 等（2019）的最大纳什福利结果给出 EF1 与帕累托效率的结合，但一般加性估值下最大纳什福利不必满足 EFX。 Lipton 等（2004）的嫉妒环消除方法则提供了构造近似公平分配的基础：将指向更偏好物品束的关系画成有向图，沿环交换物品束，再为合适主体加入物品。 EF1 容许把最后加入的物品作为消除嫉妒的那一件，而 EFX 还要检查其他每一件物品，因此同一构造不能直接保证 EFX。 （Caragiannis 等，2019； Lipton 等，2004）
Caragiannis、Gravin 与 Huang（2019）证明，允许部分物品不分配时，可以同时实现精确 EFX 与至少一半的最大纳什社会福利。 这一福利界限是紧的，但它约束的是几何平均福利，不保证每个主体都得到总价值的一半，也不约束未分配物品的数量。 因此，福利型部分分配与“至多剩余几件物品”的定理解决不同的问题。 （Caragiannis、Gravin 与 Huang，2019）
Feldman、Mauras 与 Ponitka（2024）刻画了更一般的权衡：对加性估值，部分分配能够同时达到 $\alpha$ -EFX 与 $1/(1+\alpha)$ 倍最大纳什福利，且这一权衡是紧的。 在近似系数不超过黄金分割倒数的范围内，论文还能把相应保证扩展到完整分配。 这项研究说明，公平的加强可能要求牺牲福利；准确评价算法需要同时报告公平比例、福利比例和完整性。 （Feldman、Mauras 与 Ponitka，2024）
存在性算法通常把主体报告的估值视为输入，不自动保证主体如实报告。 现实中的分配制度还要处理信息获取、策略行为与执行限制。 因此，EFX 定理可以作为公平保证，却不能单独替代机制设计或经验评价。 （Amanatidis 等，2023）
72026 年的反例明确了加性估值与更一般估值的边界
7.1一般单调估值与次模估值并不保证 EFX 存在
Akrami、Mayorov、Mehlhorn、Srinivas 与 Weidenbach 于 2026 年 4 月公布利用布尔可满足性求解得到的 EFX 反例。 2026 年 5 月的第三版同时给出次模估值结论：三名主体、八件物品即可不存在 EFX，反例可以扩展到人数至少为三、物品数至少比人数多五的情形。 同一研究证明，三名主体、七件物品的一般单调估值实例总存在 EFX，并在 Lean 中形式化验证了有关编码的正确性。 第三版将一般单调估值的反例与次模估值的序关系表示联系起来，扩展了初版结果的表述范围。 （Akrami 等，2026，定理 1—2）
Mackenzie 与 Suzuki（2026）构造了另一组三人、八件物品的反例，以循环重标记形成主体间的偏好差异，再用加权覆盖函数实现次模估值。 论文通过可人工检查的物品束分类论证不存在 EFX，并对单调次可加估值给出严格低于 1 的近似上界：某些实例不允许任何大于 $2^{-1/6}\approx0.891$ 的 EFX 近似系数。 次模函数描述边际收益递减，次可加函数要求合并物品束的价值不超过分别估值之和；这两类函数均比加性函数更一般。 （Mackenzie 与 Suzuki，2026）
本文依据 Mackenzie 与 Suzuki 的加权覆盖公式独立编写检查程序，用 WolframScript 遍历三人、八件物品的全部 6,561 种完整分配，得到满足本文 EFX 定义的分配数为零。 这项复核只检查论文给出的具体加权覆盖实例，不替代论文的结构证明，也不构成对所有近期预印本的独立证明验证。 次模估值反例并非加性估值反例；一般估值下的否定结果与三名加性主体的肯定定理相容。
7.2负效用任务的反例不等于物品猜想被推翻
负效用任务分配通常称为 chores 分配，主体希望减少自己承担的成本。 相应 EFX 检查从嫉妒者自己的任务束中移去任意一项任务，而正效用物品模型从被嫉妒者的物品束中移去物品。 He 与 Tao（2026）的预印本给出至少四名主体、三值正加性成本下不存在 EFX 的实例。 任务模型中已经出现的加性反例，不能通过改变名称就变成正效用物品模型中的加性反例。 （He 与 Tao，2026）
8计算机辅助证明推进了四人的有限规模存在性
Alkassar、Fouz 与 Mehlhorn 于 2026 年 8 月公布四名主体、至多九件物品的完整 EFX 存在性证明，估值允许任意非负实数且具有加性。 证明把归一化估值空间覆盖为较小的线性区域，为各个区域提供候选分配族，再通过精确线性算术验证不存在遗漏的估值实例。 这类计算机辅助证明针对连续估值区域建立普遍命题，不能与随机抽取许多实例后均找到 EFX 的实验混同。 （Alkassar、Fouz 与 Mehlhorn，2026）
四人九件物品结果在本文截止日仍按预印本列入，本文核对了定理范围、证明说明与证书方法，没有重新运行其全部证书计算。 该结果允许任意非负加性估值，但限制物品数，因此既超出了固定估值网格实验，也尚未解决四名主体、任意件数的问题。 计算证明提供了新的研究方法；将这些有限规模成果发展为可扩展的结构定理，仍需要进一步论证。
| 成果 | 结论范围 | 本文采用的版本或状态 |
|---|---|---|
| 三种加性主体类型的精确 EFX | 任意人数、任意件数；同类主体估值完全相同。 | EC 2025；arXiv 第三版 |
| 一般单调及次模估值的反例 | 三人八件物品起即可失败；不涉及加性反例。 | Akrami 等，2026 年 5 月第三版预印本 |
| 次可加估值的近似上界 | 某些三人八件物品实例排除大于约 0.891 的系数。 | Mackenzie 与 Suzuki，2026 年 5 月第一版预印本 |
| 八人的三分之二 EFX | 完整分配、加性估值；同时研究 EFkX。 | Filos-Ratsikas 等，2026 年 5 月第一版预印本 |
| 多重图上的精确 EFX | 任意人数；cancelable 估值；允许向非端点分配。 | Afshinmehr 等，2026 年 6 月第一版预印本 |
| 四人至多九件物品的精确 EFX | 任意非负加性估值；依赖计算机辅助证明。 | Alkassar 等，2026 年 8 月第一版预印本 |
9未解决的问题集中于完整性、偏好结构与可计算性
核心存在性问题仍然要求在任意人数、任意有限件数、非负加性估值下分完全部物品并满足精确 EFX。 表 1与表 2显示，主体类型限制、图结构限制和有限件数限制分别提供了肯定结果，但这些结果尚未覆盖一般实例。 四名主体、任意件数的存在性，以及任意人数下超过约 0.618 的完整 EFX 通用近似保证，仍是可以准确表述的研究目标。
完整性研究需要解释剩余物品如何加入而不破坏其他主体的公平比较；结构研究需要识别哪些偏好性质能够排除新发现的反例；算法研究则需要把存在性证明转化为具有明确输入和运行时间界限的过程。 这三类目标相互联系，但一个目标的进展不能替代另一个目标的证明。 对带福利约束的应用，还需同时记录未分配资源与效率损失。
EFX 的其他放宽方式提供了补充研究方向。 例如，认知意义的 EFX（EEFX）允许每名主体分别寻找一种对其余物品的假想重分配，使自己的物品束满足该主体的 EFX 比较；不同主体所使用的假想分配不必相同。 Akrami 等（2026）的修订预印本证明，加性估值下 EEFX 与 EF1 可以同时实现，并进一步给出比 EF1 更强的联合保证。 这一结果提供了较弱公平标准的联合保证，但没有证明实际分配中的每一个主体对都满足 EFX。 （Akrami、Feige、Mahara、Mehlhorn 与 Rathi，2026）
10参考文献
参考文献按正文主题排列。预印本版本号用于固定本文核对的结果，正式出版年份与最初公开年份可能不同。
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