不等式约束

不等式约束 (Inequality Constraints)

不等式约束是数学优化/经济学/运筹学核心概念——优化问题中以不等式限制决策变量的条件。允许解集在一个区域内取值（非仅曲面/超平面），比等式约束更贴合现实但求解更复杂。

标准形式

任意不等约束可标准化：$g\ge0\to -g\le0$；$g\le b\to g-b\le0$；$a\le g\le b$ 分解为两个。

活跃约束（$g_i(x)=0$，严格限制；最优解邻域近似等式约束）vs 非活跃约束（$g_i(x)<0$，不施加有效限制；可暂忽略）。

KKT条件

拉格朗日乘子法推广。定义拉格朗日函数 $\mathcal{L}=f+\sum\lambda_i g_i+\sum\mu_j h_j$。在约束规格下最优解$x^*$必满足：（1）稳定性 $\nabla_x\mathcal{L}=0$；（2）原始可行性 $g_i\le0,h_j=0$；（3）对偶可行性 $\lambda_i\ge0$；（4）互补松弛条件 $\lambda_i g_i=0$——非活跃（$g_i<0$）→$\lambda_i=0$不影响最优；活跃（$g_i=0$）→$\lambda_i\ge0$，乘子反映影子价格。

几何与经济应用

每个不等式约束定义决策空间子区域，交集构成可行域。$g_i$凸→子区域凸→交集为凸集→属凸优化（局部最优=全局最优）。最优解处 $-\nabla f(x^*) = \sum_{\text{活跃}} \lambda_i^*\nabla g_i + \sum\mu_j^*\nabla h_j$。

经济学典型应用：非负约束、预算约束（$p\cdot x \le I$）、资源容量约束（$f(x)\le K$）、投资组合约束。

求解方法

内点法（用障碍函数保持迭代点内部，渐近边界——线性规划/凸优化表现最优）；有效集法（动态识别活跃约束，化为等式约束子问题——二次规划常用）；罚函数法（约束违反以惩罚项加入目标函数）；增广拉格朗日法（乘子+罚函数混合）；投影梯度法（负梯度→回投影到可行域）。