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主子式

主子式 (Principal Minors) 主子式 (Principal Minors) 是线性代数和矩阵论中的一个基本概念，指从方阵中选取相同序号的若干行和若干列所构成的子矩阵的行列式。主子式在判断矩阵的正定性、负定性以及最优化理论中的二阶充分条件等方面具有重要应用。定义设 A = (a_ij) 为一个 n n 方阵。选择一组下标 S = \i_1,

浏览 15 更新 2025-12-23

主子式 (Principal Minors)

主子式 (Principal Minors) 是线性代数和矩阵论中的一个基本概念，指从方阵中选取相同序号的若干行和若干列所构成的子矩阵的行列式。主子式在判断矩阵的正定性、负定性以及最优化理论中的二阶充分条件等方面具有重要应用。

定义

设 $A = (a_{ij})$ 为一个 $n \times n$ 方阵。选择一组下标 $S = \{i_1, i_2, \dots, i_k\}$ ，其中 $1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_k \le n$ ，保留 $A$ 中行号和列号均属于 $S$ 的元素，得到 $k \times k$ 子矩阵，该子矩阵的行列式称为 $A$ 的一个 主子式。

根据选取下标集合的不同，主子式可进一步细分为以下两类：

顺序主子式 (Leading Principal Minors)：选取前 $k$ 行和前 $k$ 列构成的主子式，记为 $\Delta_k$ ，其中 $k = 1, 2, \dots, n$ 。即 \Delta\_k = \det \begin{pmatrix} $a_{11}$ \& $a_{12}$ \& \dots \& $a_{1k}$ \\ $a_{21}$ \& $a_{22}$ \& \dots \& $a_{2k}$ \\ \vdots \& \vdots \& \ddots \& \vdots \\ $a_{k1}$ \& $a_{k2}$ \& \dots \& $a_{kk}$ \[ \end{pmatrix} \]
任意主子式 (Arbitrary Principal Minors)：选取任意一组下标 $S$ 所对应的主子式。若下标个数 $k$ 等于矩阵的阶数 $n$ ，则主子式即为矩阵 $A$ 本身的行列式 $\det A$ 。

与矩阵定性的关系

主子式在矩阵定性判别中起着核心作用。最著名的结论是 西尔维斯特判据 (Sylvester's Criterion)。

定理

对于实对称矩阵 $A$ ：

$A$ 是正定矩阵 (Positive Definite) 当且仅当所有顺序主子式均大于零，即 $\Delta_k > 0$ 对所有 $k = 1, 2, \dots, n$ 成立。
$A$ 是负定矩阵 (Negative Definite) 当且仅当 $\Delta_1 < 0$ ，且顺序主子式符号交替变化： $\Delta_k$ 的符号为 $(-1)^k$ ，即 $\Delta_1 < 0, \Delta_2 > 0, \Delta_3 < 0, \dots$ 。
若所有顺序主子式非负（ $\Delta_k \ge 0$ ），则 $A$ 是半正定矩阵 (Positive Semidefinite)。
若 $\Delta_k$ 的符号交替非正（符号为 $(-1)^k$ 或零），则 $A$ 是半负定矩阵 (Negative Semidefinite)。

\paragraph{注意事项} 对于半正定和半负定的情形，仅检查顺序主子式是不够的，还必须检查所有主子式（包括非顺序的主子式）均满足相应的非负或非正条件。例如，矩阵 A = \begin{pmatrix} 0 \& 0 \\ 0 \& -1 \end{pmatrix} 的顺序主子式为 $\Delta_1 = 0$ 、 $\Delta_2 = 0$ ，看似满足半正定的非负条件，但其非顺序主子式（即右下角 $1 \times 1$ 子式）为 $-1 < 0$ ，因此 $A$ 并非半正定。

在最优化中的应用

在微积分和最优化理论中，主子式用于判断多元函数的极值性质。设 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 为二阶连续可微函数，其海塞矩阵 (Hessian Matrix) 为：

H(x) = \left[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right]

在临界点 $x^*$ （即梯度为零向量的点）处：

若海塞矩阵 $H(x^*)$ 正定，则 $x^*$ 为局部极小值点。
若海塞矩阵 $H(x^*)$ 负定，则 $x^*$ 为局部极大值点。
若海塞矩阵不定，则 $x^*$ 为鞍点。

通过计算海塞矩阵的顺序主子式，即可应用西尔维斯特判据做出判断，而无需计算矩阵的全部特征值。

与特征值的关系

主子式与矩阵的特征值之间存在着密切联系。对于 $n \times n$ 矩阵 $A$ ，其特征多项式可展开为：

\det(\lambda I - A) = \lambda^n - \sigma_1 \lambda^{n-1} + \sigma_2 \lambda^{n-2} - \dots + (-1)^n \sigma_n

其中 $\sigma_k$ 恰为 $A$ 的所有 $k$ 阶主子式之和。特别地：

$\sigma_1 = \operatorname{tr}(A)$ ，即所有一阶主子式之和等于矩阵的迹。
$\sigma_n = \det A$ ，即 $n$ 阶主子式等于矩阵的行列式。

计算举例

考虑 $3 \times 3$ 矩阵：

A = \begin{pmatrix}

2 \& 1 \& 0 \\ 1 \& 3 \& -1 \\ 0 \& -1 \& 2

\end{pmatrix}

其一阶、二阶、三阶顺序主子式分别为：

\Delta_1 = 2 > 0,\quad \Delta_2 = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 6 - 1 = 5 > 0,\quad \Delta_3 = \det A = 2 \cdot (3 \cdot 2 - 1) - 1 \cdot (2 \cdot 0 - 0) + 0 = 2 \cdot 5 = 10 > 0

由于所有顺序主子式均为正，可知 $A$ 是正定矩阵。

与加边海塞矩阵的联系

在约束最优化问题中，需要用到加边海塞矩阵 (Bordered Hessian) 的主子式来判断极值。对于带有等式约束的优化问题，极值的二阶充分条件涉及加边海塞矩阵的顺序主子式的符号规律，其判定方式与普通主子式有所不同，这是西尔维斯特判据在约束情形下的推广。

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