行列式

行列式 (Determinant)

行列式（Determinant）是线性代数的核心标量函数，将方阵映射为标量，深刻反映矩阵所代表线性变换的几何与代数性质。它在线性方程组求解、特征值计算、微积分的变量替换及经济学的均衡分析中均有广泛应用。

定义与记法

对于$n \times n$方阵$A = [a_{ij}]$，其行列式记作$\det(A)$或$|A|$。Leibniz公式为：

其中$S_n$是$n$阶排列集合，$\operatorname{sgn}(\sigma)$为排列符号。对$2\times 2$矩阵，\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} = ad - bc；对$3\times 3$矩阵，有Sarrus法则：$\det\begin{pmatrix}a&b&c\d&e&f\g&h&i\end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$。

另一种定义是行列式为满足$\det(I)=1$的唯一交错$n$重线性函数，该视角更便于推导其核心性质。

几何意义

行列式的绝对值代表矩阵行（列）向量所张平行$n$维体的有向体积：$2\times 2$对应平行四边形面积，$3\times 3$对应平行六面体体积。符号指示定向：正号表示保持空间定向，负号表示翻转。若$\det(A)=0$，则行向量线性相关，矩阵不可逆。

在一般均衡理论中，雅可比行列式的非奇异性条件是均衡存在性与唯一性的关键。在计量经济学的联立方程组模型中，系数矩阵行列式是否为零决定结构方程是否可识别。

基本性质

• 乘积性：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$，反映行列式保持矩阵乘法结构。
• 转置不变性：$\det(A^\top) = \det(A)$，行性质与列性质完全对称。
• 多线性：对每一行（列）线性——某行乘以$c$则行列式乘以$c$；某行为两向量之和则可拆分。
• 交错性：交换两行（列）改变行列式符号。
• 可逆性条件：$A$可逆当且仅当$\det(A) \neq 0$，此时$\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$。
• 特征值乘积：$\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，衔接行列式与谱理论。

计算方法

行简化（Gauss消元法）：通过初等行变换将矩阵化为上三角矩阵，行列式即为对角线元素乘积乘以行交换符号，复杂度$O(n^3)$。

Laplace展开：按某行（列）展开，$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$，其中$M_{ij}$为余子式。适合稀疏矩阵与符号计算。

分块矩阵公式：若$A$可逆，则$\det\begin{pmatrix}A&B\C&D\end{pmatrix} = \det(A)\det(D - CA^{-1}B)$，其中$D - CA^{-1}B$即Schur补。

在经济学中的应用

在投入产出分析中，$(I-A)^{-1}$的存在性等价于$\det(I-A) \neq 0$。在计量经济学中，Johansen检验的协整秩检验直接基于行列式的特征值分解。在博弈论中，混合策略纳什均衡计算常涉及行列式非零条件以确保唯一解。

行列式作为最具跨学科影响力的线性代数概念之一，与矩阵的秩、迹、特征值一起构成理解线性变换的不可或缺的工具箱。