决定系数 ($R^2$)

决定系数 (Coefficient of Determination, $R^2$)

决定系数 (Coefficient of Determination)，记作 $R^2$，是回归分析中衡量模型拟合优度的核心统计量。它表示因变量的总变异中由回归模型中的自变量所解释的比例，取值范围在 $[0, 1]$ 之间。$R^2 = 1$ 表示模型完美拟合全部观测值，$R^2 = 0$ 表示模型未能解释因变量的任何变异。在普通最小二乘法 (OLS) 框架下，决定系数是评价线性回归模型解释力的最常用指标。

数学定义与分解

对于含有截距项的线性回归模型 $y_i = \beta_0 + \mathbf{x}_i'\boldsymbol{\beta} + \epsilon_i$，OLS拟合产生三个平方和的恒等分解：

其中 $\text{TSS} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ 为总平方和（total sum of squares），度量因变量围绕均值的总变异；$\text{ESS} = \sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2$ 为回归平方和（explained sum of squares），度量回归模型捕捉的结构性变异；$\text{RSS} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ 为残差平方和（residual sum of squares），度量模型未能解释的随机变异。

决定系数定义为被解释变异占总变异的比例：

该定义在OLS估计下保证 $0 \leq R^2 \leq 1$。此外，$R^2$ 等于因变量观测值 $y_i$ 与拟合值 $\hat{y}_i$ 之间皮尔逊相关系数的平方：$R^2 = [\text{Corr}(y, \hat{y})]^2$。

调整决定系数

$R^2$ 的一个关键缺陷是随自变量数量增加而单调递增——即使新增的变量毫无解释力，$R^2$ 也永不下降。因为OLS通过添加变量总能使残差平方和略微减小，从而虚增模型的表面拟合度。

为解决这一问题，调整决定系数 (adjusted $R^2$) 引入了对参数个数的惩罚：

其中 $n$ 为样本量，$k$ 为自变量的个数（不含截距）。调整 $R^2$ 仅在新增变量带来的拟合改善足以补偿自由度损失时才上升；若变量毫无解释力，调整 $R^2$ 可能下降甚至为负。在模型选择中，调整 $R^2$ 与赤池信息准则 (AIC) 和贝叶斯信息准则 (BIC) 共同构成常用的模型比较标准。

解释适用性与局限

决定系数在经济学实证研究中广泛使用，但其解释需审慎。首先，$R^2$ 的高低并不直接反映模型的因果有效性：一个高 $R^2$ 的回归可能由于遗漏变量、测量误差或同时性偏误而给出有偏不一致的估计；反之，低 $R^2$ 并非模型"失败"的标志，许多微观经济数据（如个人工资或消费）因个体异质性极大，$R^2$ 在 0.1 至 0.3 之间是常见且可接受的水平。其次，$R^2$ 对异常值敏感，少数极端观测即可显著改变其数值。在时间序列分析中，若因变量存在单位根，$R^2$ 倾向于虚假地接近 1，此时应避免将其作为模型质量的指标。

在比较不同模型时，$R^2$ 仅适用于因变量相同的模型。对于不同函数形式的模型（如线性对对数线性），或广义线性模型中因变量的变换，$R^2$ 的定义和可比性丧失。伪R平方 (pseudo $R^2$) 类指标在逻辑回归等非线性模型中虽被广泛报告，但这些指标并不具备方差分解的直观解释，各指标间的数值不可直接比较。