皮尔逊相关系数

皮尔逊相关系数 (Pearson Correlation Coefficient)

皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient，简称 PPMCC）是统计学中度量两个连续变量之间线性关系强度与方向的核心指标，值域为 $[-1, 1]$ 。总体相关系数以 $\rho$ 表示，样本相关系数以 $r$ 或 $r_{xy}$ 表示。

皮尔逊相关系数是两变量协方差除以其标准差之积，即对协方差做标准化以消除量纲影响。

总体定义式：

\rho_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}

样本计算公式（ $n$ 对观测值 $(x_i, y_i)$ ）：

r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}

其中 $\bar{x}, \bar{y}$ 为样本均值。分子是偏差乘积之和，反映协同变化趋势——若 $x_i, y_i$ 同时大于或小于各自均值，乘积为正；反向则乘积为负。分母为标准差的等价形式，将分子标准化至 $[-1, 1]$ 。

为保障有效性与假设检验的可靠性，需满足：

将中心化后的数据视为 $n$ 维向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，则 $r$ 等于两向量夹角 $\theta$ 的余弦：

r = \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|}

当 $\theta = 0^\circ$ ， $r=1$ （同向完美正相关）； $\theta = 90^\circ$ ， $r=0$ （正交、线性无关）； $\theta = 180^\circ$ ， $r=-1$ （反向完美负相关）。这一几何视角将相关性直观化为向量方向的接近程度。

经验参考（不同学科标准有别）：

物理学中 0.8 可能算弱相关，社会科学中则可能为强相关——解读须结合领域惯例。