凹性

凹性 (Concavity)

凹性→数分/微观/金融经济/优化核→函数/集/偏好曲率→经境联边际效用递减/风险厌恶/收益递减。定义：$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\ge\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$→严格凹取>。二阶判：单变$f''(x)\le0$→凹（<0严）；多变→海森矩阵半负定（负定严）。

几何与经济含义

几何：弦在函数下→切在函数上→$f(x)\le f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$→任何局部极大=全局极大。经释：①效用函数凹→风险厌恶→詹森不等式$E[u(W)]\le u(E[W])$→确定财富效>不确定效→Arrow-Pratt量化厌恶度。②生产函数凹→边际收益递减→投增总产↑但边际↓→企需权衡投入成本与边际产。③拟凹→无差异曲线严凸偏好→虽弱于凹→足保消费选择解唯一稳定。

金融应用与性质

投资组合选择→效用凹→反映厌险→最优组→凸优化→唯一解。期权定价→payoff凹/凸定风险特→如熊市看跌凹→下保护。VaR/CVaR→一致风度量→凹性保风险分散化益。

vs凸性：f凹⇔-f凸→凹函数上水平集凸→极大化凹⇔极小化凸。运算保：非负线组/逐点小/仿射变。詹森→$f(E[X])\ge E[f(X)]$→连接凹性与风险→信息经济学基。

实例与扩展

对数效用$u(c)=\ln c$→$u''=-1/c^2<0$严凹（宏经/资产定价常）。平方根$\sqrt{c}$→行为金融。CD产函$\alpha+\beta<1$→严凹。CRRA→$u=c^{1-\gamma}/(1-\gamma)$→γ>0相对风险厌恶。

拟凹→上水集$\{x:f(x)\ge\alpha\}$凸→凹⊂拟凹→足保需求函数良质。对数凹→$\ln f$凹→拍卖/机制设计。核→凹性=连接数形与经济直觉→边际递减数表→理解风险/优化/均衡→保解存在唯一→为政评/实证夯实基。