加法法则

加法法则 (Addition Rule)

加法法则（Addition Rule，也称加法定理或和法则）是概率论中最基本的运算规则之一，用于计算两个或多个事件之并集的概率。它与乘法法则并列构成概率演算的两大支柱，是概率公理化定义的直接推论。加法法则的核心思想是：当从"事件 A 发生"和"事件 B 发生"的概率出发求解"事件 A 或事件 B 发生"的概率时，不能简单地将两者相加——必须扣除被重复计算的部分，即它们的交集。

一般加法法则

对于任意两个事件 $A$ 和 $B$（不必互斥），加法法则的一般形式为：

其中 $P(A \cup B)$ 表示事件 A 或事件 B（或两者同时）发生的概率，$P(A \cap B)$ 为 A 与 B 同时发生的联合概率。这一公式可以直接从文氏图的直观理解得出：在计算 $P(A) + P(B)$ 时，交集 $A \cap B$ 被计算了两次，因此需要减去一次。从概率测度的角度，该法则源于测度的有限可加性与容斥原理的结合。

推广至三个事件 $A, B, C$：

该推广遵循容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle），符号正负交替：加单事件概率，减两两交集，加三三交集，以此类推。对于 $n$ 个事件的一般情况：

互斥事件下的简化形式

当事件 A 和 B 是互斥事件（Mutually Exclusive Events，即 $A \cap B = \varnothing$，两者不可能同时发生）时，$P(A \cap B) = 0$，加法法则简化为：

这被称为互斥事件的加法法则或有限可加性，也是柯尔莫哥洛夫公理体系中的第三条公理（可数可加性）在有限情形下的体现。例如，掷一枚公平骰子，令 A 为"掷出1点"，B 为"掷出2点"，则 $P(A \cup B) = 1/6 + 1/6 = 1/3$。这一简化形式在日常生活中最为常用，但必须谨防在事件不互斥时错误套用——这是概率初学者的常见陷阱。

更一般地，若 $\{A_i\}_{i=1}^{n}$ 构成一个完备事件组（即两两互斥且 $\bigcup_i A_i = \Omega$），则有：

补事件与加法法则

加法法则与补事件的概率计算密切相关。对于任意事件 A，其补事件 $A^c$ 满足 $A \cup A^c = \Omega$ 且 $A \cap A^c = \varnothing$。由互斥事件的加法法则：

这一关系在计算"至少发生一次"类问题时极为实用：直接计算往往需要复杂的容斥展开，而通过"先求都不发生的概率再取补"可以大幅简化计算。例如，进行 $n$ 次独立试验，每次成功的概率为 $p$，则"至少成功一次"的概率为 $1 - (1-p)^n$，这比直接运用容斥原理逐项求和更为便捷。

应用与示例

示例 1（抽牌问题）：从一副标准 52 张扑克牌中随机抽取一张，求抽到"红心"或"人头牌（J/Q/K）"的概率。令 A = {抽到红心}，B = {抽到人头牌}。则 $P(A) = 13/52 = 1/4$，$P(B) = 12/52 = 3/13$。注意红心中也有人头牌（J♥, Q♥, K♥），故 $P(A \cap B) = 3/52$。由加法法则：

示例 2（可靠性工程）：在可靠性理论中，并联系统的可靠度计算直接依赖于加法法则。若两个独立组件 A 和 B 的可靠度分别为 $R_A$ 和 $R_B$，则并联系统（任意一个正常工作即系统正常）的可靠度为：

与概率公理体系的关系

在柯尔莫哥洛夫的概率公理化体系中，加法法则的互斥形式（可数可加性）被直接列为公理之一，而一般形式则作为定理从此公理和非负性、规范性公理中推导得出。这一地位凸显了加法法则在概率论大厦中的基石性角色。同时，加法法则也是条件概率公式 $P(A \mid B) = P(A \cap B) / P(B)$ 以及全概率公式推导中不可或缺的工具。在贝叶斯统计的框架下，加法法则与乘法法则共同支撑了贝叶斯定理的推导，因此也被称为概率演算的"两条腿"。