半参数

半参数 (Semiparametric)

半参数 (Semiparametric) 是计量经济学和统计学中一类介于参数模型与非参数模型之间的建模方法。半参数模型将待估函数分解为两部分：一个有限维的参数部分（parametric component）与一个无限维的非参数部分（nonparametric component）。这种分解既保留了参数模型的解释力与$\sqrt{n}$ 收敛速率，又借助非参数部分放松了对函数形式的强假定，从而在灵活性与估计精度之间获得平衡。

动机：参数与非参数的两难

完全的参数模型（如线性回归 $y = \mathbf{x}'\boldsymbol{\beta} + \epsilon$）假定函数形式已知，待估参数 $\boldsymbol{\beta}$ 维数固定。其优势在于估计量在温和条件下具有 $\sqrt{n}$ 收敛速率，但严重的模型误设（misspecification）将导致估计不一致。

完全的非参数模型（如 $y = m(\mathbf{x}) + \epsilon$）不对 $m(\cdot)$ 施加任何参数形式约束，仅要求光滑性或可微性。其优势在于极低的形式假定，但面临着维度灾难（curse of dimensionality）：收敛速率随 $\mathbf{x}$ 维数增大而急剧下降，在多维情形下实际推断极不可靠。

半参数模型的提出正是为了调和二者：将已知或易参数化的结构保留为参数部分，将难以参数化或仅起控制作用的结构留给非参数部分。

经典半参数模型

部分线性模型 (Partial Linear Model)

部分线性模型由 Engle, Granger, Rice \& Weiss (1986) 在电力需求研究中提出，是最经典的半参数模型：

其中 $\mathbf{x}_i'\boldsymbol{\beta}$ 为参数部分，$g(\cdot)$ 为未知光滑函数（非参数部分），$z_i$ 常为一维连续变量。Robinson (1988) 提出了基于 Nadaraya-Watson 核估计的Robinson估计量：以 $g(z) = \mathbb{E}[y - \mathbf{x}'\boldsymbol{\beta} \mid z]$ 的条件期望结构消除 $g(\cdot)$，分两步先非参数估计条件期望，再对差分后的模型使用 OLS，最终 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 在适当条件下达到 $\sqrt{n}$ 收敛并服从渐近正态分布。

单指标模型 (Single Index Model)

单指标模型假定条件期望依赖于自变量的某个线性组合：

其中 $g(\cdot)$ 为一元未知光滑链接函数，$\boldsymbol{\beta}$ 为需要估计的方向参数。该模型避免了完全非参数回归的多维光滑问题，仅需对一维指标 $\mathbf{x}_i'\boldsymbol{\beta}$ 进行非参数估计。Ichimura (1993) 提出了基于核加权的半参数最小二乘估计量，Klein \& Spady (1993) 将其推广至二元选择模型。

部分线性单指标模型

将部分线性模型与单指标模型结合：

该模型允许控制变量线性进入，同时以单指标形式灵活处理高维协变量 $\mathbf{z}_i$。

其他重要半参数模型

• Cox 比例风险模型：生存分析的基石模型，将风险函数分解为基准风险（非参数）与协变量效应（参数，指数形式），由 Cox (1972) 提出，使用部分似然进行估计。
• 半参数二元选择模型：Manski (1975) 的最大得分估计量 (Maximum Score Estimator) 对误差分布不作任何参数假定，仅使用中位数条件 $\text{median}(\epsilon_i \mid \mathbf{x}_i) = 0$。
• 半参数样本选择模型：在 Heckman 两阶段模型基础上，放宽误差项的联合正态假定，使用级数估计或核方法修正选择偏差。
• 部分线性变系数模型：系数本身是某个协变量的光滑函数 $\boldsymbol{\beta}(u)$，将参数线性模型与非参数变系数模型结合。

估计方法

半参数模型的估计方法通常分两类思路：

一、两步估计 (Two-Step Estimation)：先以非参数方法（核回归、局部多项式回归、级数估计）估计或消除非参数分量，再对参数分量使用 GMM 或最小二乘法。Robinson (1988) 估计量是典型代表。

二、轮廓似然 (Profile Likelihood)：将非参数分量视为冗余参数，对每个固定的参数值最大化似然得到非参数分量的估计，再将其代回似然函数对参数分量求极值。

非参数分量的实现工具包括核光滑 (kernel smoothing)、样条 (splines)、级数估计 (series / sieve estimation)、局部线性回归和惩罚似然等。其中 sieve 方法（如使用 B-样条基）在现代应用中尤其流行，因其易于嵌入 GMM 框架并享有良好的理论性质。

渐近性质：$\sqrt{n}$-收敛性

半参数模型的标志性理论结果是：在适当的正则条件下（非参数分量足够光滑、带宽选择适当、识别条件成立），参数分量估计量 $\hat{\boldsymbol{\beta}}$ 可以达到 $\sqrt{n}$ 收敛速率并服从渐近正态分布：

这一结论被称为自适应估计（adaptive estimation）或半参数有效性（semiparametric efficiency）。渐近协方差矩阵 $\mathbf{V}$ 通常为半参数有效界（semiparametric efficiency bound），可通过影响函数方法导出。Bickel, Klaassen, Ritov \& Wellner (1993) 对此提供了系统的半参数推断理论框架。

应用领域

半参数方法在实证经济学中应用广泛：处理效应评估中的倾向得分匹配与半参数双重差分；劳动经济学中的工资方程与样本选择修正；产业组织中的生产函数估计（如 Olley-Pakes 方法和 Levinsohn-Petrin 方法均以半参数方式控制不可观测生产率冲击）；金融计量中的波动率建模与风险价值 (VaR) 估计；以及环境经济学中的 hedonic 定价模型等。