原假设

原假设 (Null Hypothesis)

原假设 (Null Hypothesis)，在学术文献中通常记为 $H_0$，是 推断统计学 中 假设检验 (Hypothesis Testing) 框架的基石。它是一个关于 总体参数 (Population Parameter) 的陈述，通常代表着"没有效应"、"没有差异"或"维持现状"的立场。研究者通常希望通过收集 样本 数据来推翻原假设，从而证明他们所提出的理论（即 备择假设）成立。

原假设在科学探究中扮演着类似"无罪推定"中"假定无罪"的角色。统计检验的目的不是去"证明"原假设正确，而是评估样本证据是否有足够力量来拒绝原假设。

原假设与备择假设

在任何假设检验中，都存在一对互斥且穷尽的假设：原假设 $H_0$ 和 备择假设 (Alternative Hypothesis) $H_1$ 或 $H_a$。

原假设是试图用证据反驳的陈述，总是包含等号（$=$、$\le$ 或 $\ge$）。例如：新药没有效果、两种教学方法的平均得分相同、一个变量与另一个变量不相关。

备择假设是当有足够证据拒绝原假设时所接受的陈述，代表研究者真正想证明的观点。备择假设永远不包含等号的纯粹形式。

关键区分：原假设和备择假设是关于未知 总体参数（如 $\mu$、$p$、$\rho$）的陈述，而非关于 样本统计量（如 $\bar{x}$、$\hat{p}$）的陈述。

假设检验的逻辑

假设检验的核心思路：先假定 $H_0$ 为真，然后观察样本数据，问："如果 $H_0$ 为真，观察到这个样本结果（或更极端的）的概率有多大？"

这个概率即 p值 (p-value)：

• 若 p 值很小（通常小于预设的 显著性水平 $\alpha$，如 0.05），意味着在 $H_0$ 为真时该结果是极不可能的，因此 拒绝原假设。
• 若 p 值较大（大于 $\alpha$），则没有足够证据推翻原假设，只能 未能拒绝原假设。

法庭类比：原假设为"被告无罪"，备择假设为"被告有罪"。拒绝 $H_0$（"有罪"）需要证据超出合理怀疑，这对应统计上 统计显著 的结果；未能拒绝 $H_0$（"无罪"）不意味着被告被证明无辜，仅表示证据不足。同样，未能拒绝 $H_0$ 不意味 $H_0$ 正确，仅表示数据证据不足以反驳它。

检验步骤

1. 陈述假设：明确写出 $H_0$ 和 $H_1$，这决定了检验类型（双尾检验、左尾或右尾）。例如检验某地区大学毕业生平均起薪是否为 60,000 USD：$H_0: \mu = 60000$，$H_1: \mu \neq 60000$。
2. 设定显著性水平：选择 $\alpha$（通常 0.05、0.01 或 0.10），代表愿意承担的 第一类错误 风险。
3. 计算检验统计量：根据样本数据计算 检验统计量（如 z统计量、t统计量 或 卡方统计量），衡量样本统计量与 $H_0$ 设定参数之间的标准化差异。对于均值检验： \[ z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \] 其中 $\bar{x}$ 为样本均值，$\mu_0$ 为原假设总体均值，$\sigma$ 为总体标准差，$n$ 为样本量。
4. 做出统计决策：比较 p 值与 $\alpha$（若 $p \le \alpha$ 则拒绝 $H_0$），或比较检验统计量与 临界值（若落入 拒绝域 则拒绝 $H_0$）。
5. 解释结果：在问题背景下用通俗语言解释统计决策，明确是否有足够证据支持备择假设。

两类错误

• 第一类错误 (Type I Error)：$H_0$ 为真却错误拒绝（"弃真"），发生概率为 $\alpha$。
• 第二类错误 (Type II Error)：$H_0$ 为假却未能拒绝（"取伪"），发生概率为 $\beta$。$(1-\beta)$ 称为 统计功效，即正确拒绝错误 $H_0$ 的概率。

降低一种错误的概率通常会增加另一种错误的风险，选择 $\alpha$ 是在两者之间权衡。

实例应用

一家制药公司开发新降压药，欲证明其比 安慰剂 更有效。随机抽取 100 名患者，50 人服药，50 人服安慰剂。

• $H_0$：新药与安慰剂效果相同 ($\mu_{\text{drug}} - \mu_{\text{placebo}} = 0$)。
• $H_1$：新药优于安慰剂 ($\mu_{\text{drug}} - \mu_{\text{placebo}} > 0$)。

研究人员收集两组血压下降数据，计算 t统计量，得 p 值为 0.02。设定 $\alpha = 0.05$，因 $0.02 < 0.05$，拒绝 $H_0$。结论：有充分的统计证据表明新药比安慰剂更有效。