同方差

同方差 (Homoscedasticity)

同方差→计量/回归核假设→误差项方差在所有观值恒→$\mathrm{Var}(\varepsilon_i|x_i)=\sigma^2$，∀i→矩阵$E(\varepsilon\varepsilon'|X)=\sigma^2 I_n$→经典线性回归基石→homo="相同"+scedastic="散布"。直观：消费函数→无论收高低→消偏期望程同→高收与低收波动等→残差围归线离散恒。

理论重要性与异方差

高斯-马尔可夫定理→同方差+他假设→OLS为BLUE→最优含最小方差→$\mathrm{Var}(\hat{\beta}_{OLS})=\sigma^2(X'X)^{-1}$。违反=异方差→OLS仍无偏但无效→真方差$\mathrm{Var}=(X'X)^{-1}X'\Omega X(X'X)^{-1}$→标准误有偏、t/F检验失效、置信区间失准→推断不可靠。

异方差($\sigma_i^2\neq$常量)常见→金融收益率（高资产组合波更大）→跨国增长（发达国波更小）→形式：递增/递减/复杂。检验：图示→残vs拟散喇叭扇形即疑→Breusch-Pagan→残差²对解释变回归→LM统计卡方→White检验→残差²对所有变+平方+交叉回归→$W=nR^2\sim\chi^2$→稳健无需预指形式→但耗自由度→Goldfeld-Quandt(两组)→Park/Glejser。

修正与扩展

加权最小二乘WLS：方差大赋小权→若$\sigma_i^2=\sigma^2/w_i$→两边同乘$\sqrt{w_i}$→变后满同方差→权可通残差辅助回归估。稳健标准误White→不改OLS系数→修正协方差$\widehat{\mathrm{Var}}=(X'X)^{-1}(\sum\hat{\varepsilon}_i^2 x_ix_i')(X'X)^{-1}$→现标做法。变换：对数/Box-Cox→重定模。

扩展：广义最小二乘GLS→Ω为任正定阵时BLUE→Ω未知用FGLS→ARCH/GARCH→专时变方差建模（金融）。实建议：理先→规检→明报告修法→稳优先→大样容错→因果识须妥处。核→同方差=OLS有效与传统推断前提→违反虽不偏但暗示检失→现多法补。